Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene - Distance from a point to a plane

Im euklidischen Raum ist der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene der Abstand zwischen einem bestimmten Punkt und seiner orthogonalen Projektion auf der Ebene oder dem nächsten Punkt auf der Ebene.

Es kann gefunden werden, beginnend mit einer Änderung von Variablen , die den Ursprung so bewegt, dass er mit dem gegebenen Punkt übereinstimmt, und dann den Punkt auf der verschobenen Ebene findet, der dem Ursprung am nächsten liegt . Der resultierende Punkt hat kartesische Koordinaten : ${\ displaystyle axe + by + cz = d}$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$

${\ displaystyle \ displaystyle x = {\ frac {ad} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}, \ quad \ quad \ displaystyle y = {\ frac {bd} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}, \ quad \ quad \ displaystyle z = {\ frac {cd} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 }}}}$.

Der Abstand zwischen dem Ursprung und dem Punkt beträgt . ${\ displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}$

Konvertieren eines allgemeinen Problems in ein Problem mit der Entfernung vom Ursprung

Angenommen, wir möchten den nächstgelegenen Punkt auf einer Ebene zu dem Punkt ( ) finden, an dem die Ebene durch gegeben ist . Wir definieren , , , und zu erhalten , wie die Ebene , in Bezug auf die transformierten Variablen ausgedrückt. Jetzt besteht das Problem darin, den nächstgelegenen Punkt auf dieser Ebene zum Ursprung und dessen Entfernung vom Ursprung zu finden. Der Punkt auf der Ebene in Bezug auf die ursprünglichen Koordinaten kann von diesem Punkt aus unter Verwendung der obigen Beziehungen zwischen und , zwischen und und zwischen und gefunden werden ; Der Abstand in Bezug auf die ursprünglichen Koordinaten entspricht dem Abstand in Bezug auf die überarbeiteten Koordinaten. ${\ displaystyle X_ {0}, Y_ {0}, Z_ {0}}$${\ displaystyle aX + bY + cZ = D}$${\ displaystyle x = X-X_ {0}}$${\ displaystyle y = Y-Y_ {0}}$${\ displaystyle z = Z-Z_ {0}}$${\ displaystyle d = D-aX_ {0} -bY_ {0} -cZ_ {0}}$${\ displaystyle axe + by + cz = d}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle Z}$

Restatement mit linearer Algebra

Die Formel für den dem Ursprung am nächsten gelegenen Punkt kann unter Verwendung der Notation aus der linearen Algebra prägnanter ausgedrückt werden . Der Ausdruck in der Definition einer Ebene ist ein Punktprodukt , und der Ausdruck , der in der Lösung erscheint, ist die quadratische Norm . Wenn also ein gegebener Vektor ist, kann die Ebene als der Satz von Vektoren beschrieben werden, für den und der nächstgelegene Punkt auf dieser Ebene der Vektor ist ${\ displaystyle axe + by + cz}$ ${\ displaystyle (a, b, c) \ cdot (x, y, z)}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}$ ${\ displaystyle | (a, b, c) | ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} = (a, b, c)}$${\ displaystyle \ mathbf {w}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w} = d}$

${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ mathbf {v} d} {| \ mathbf {v} | ^ {2}}}}$.

Der euklidische Abstand vom Ursprung zur Ebene ist die Norm dieses Punktes.

${\ displaystyle {\ frac {| d |} {| \ mathbf {v} |}} = {\ frac {| d |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 }}}}}$.

Warum ist dies der nächste Punkt?

In den Koordinaten- oder Vektorformulierungen kann man überprüfen, ob der gegebene Punkt auf der gegebenen Ebene liegt, indem man den Punkt in die Gleichung der Ebene einfügt.

Um zu sehen, dass dies der nächstgelegene Punkt zum Ursprung in der Ebene ist, beobachten Sie, dass dies ein skalares Vielfaches des Vektors ist , der die Ebene definiert, und daher orthogonal zur Ebene ist. Somit kann , wenn jeder Punkt auf der Ebene außer ist selbst, dann werden die Liniensegmente von dem Ursprung zu und von zu einer Form , rechtwinkliges Dreieck , und durch den Satz des Pythagoras die Entfernung von dem Ursprung zu IS ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle {\ sqrt {| \ mathbf {p} | ^ {2} + | \ mathbf {p} - \ mathbf {q} | ^ {2}}}$.

Da es sich um eine positive Zahl handeln muss, ist dieser Abstand größer als der Abstand vom Ursprung zu . ${\ displaystyle | \ mathbf {p} - \ mathbf {q} | ^ {2}}$${\ displaystyle | \ mathbf {p} |}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

Alternativ ist es möglich, die Gleichung der Ebene unter Verwendung von Punktprodukten mit anstelle des ursprünglichen Punktprodukts mit (da diese beiden Vektoren skalare Vielfache voneinander sind) umzuschreiben, wonach die Tatsache, dass der nächstgelegene Punkt ist, eine unmittelbare Folge von wird die Cauchy-Schwarz-Ungleichung . ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

Nächster Punkt und Abstand für eine Hyperebene und einen beliebigen Punkt

Die Vektorgleichung für eine Hyperebene im eindimensionalen euklidischen Raum durch einen Punkt mit normalem Vektor ist oder wo . Die entsprechende kartesische Form ist wo . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} \ neq \ mathbf {0}}$${\ displaystyle (\ mathbf {x} - \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {a} = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {a} = d}$${\ displaystyle d = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {a}}$${\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} = d}$${\ displaystyle d = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {a} = a_ {1} p_ {1} + a_ {2} p_ {2} + \ cdots a_ {n} p_ {n}}$

Der Punkt auf dieser Hyperebene, der einem beliebigen Punkt am nächsten liegt, ist ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {y} - \ left [{\ dfrac {(\ mathbf {y} - \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {a}} {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}} \ right] \ mathbf {a} = \ mathbf {y} - \ left [{\ dfrac {\ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {a} -d} {\ mathbf {a } \ cdot \ mathbf {a}}} \ right] \ mathbf {a}}$

und die Entfernung von der Hyperebene ist ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ right \ | = \ left \ | \ left [{\ dfrac {(\ mathbf {y} - \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {a}} {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}} \ right] \ mathbf {a} \ right \ | = {\ dfrac {\ left | (\ mathbf {y} - \ mathbf { p}) \ cdot \ mathbf {a} \ right |} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}} = {\ dfrac {\ left | \ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {a} -d \ right |} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}}}$.

In kartesischer Form geschrieben, ist der nächste Punkt für wo angegeben ${\ displaystyle x_ {i} = y_ {i} -ka_ {i}}$${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$

${\ displaystyle k = {\ dfrac {\ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {a} -d} {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}} = {\ dfrac {a_ {1} y_ { 1} + a_ {2} y_ {2} + \ cdots a_ {n} y_ {n} -d} {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots a_ {n} ^ {2}}}}$,

und die Entfernung von der Hyperebene ist ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$

${\ displaystyle {\ dfrac {\ left | a_ {1} y_ {1} + a_ {2} y_ {2} + \ cdots a_ {n} y_ {n} -d \ right |} {\ sqrt {a_ { 1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots a_ {n} ^ {2}}}}$.

Somit ist in dem Punkt auf einer Ebene , der einem beliebigen Punkt am nächsten liegt, gegeben durch ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle axe + by + cz = d}$${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$${\ displaystyle (x, y, z)}$

${\ displaystyle \ left. {\ begin {array} {l} x = x_ {1} -ka \\ y = y_ {1} -kb \\ z = z_ {1} -kc \ end {array}} \ Recht\}}$

wo

${\ displaystyle k = {\ dfrac {ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} -d} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}$,

und der Abstand vom Punkt zur Ebene ist

${\ displaystyle {\ dfrac {\ left | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} -d \ right |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 }}}}}$.

Siehe auch

• Entfernung von einem Punkt zu einer Linie
• Hessen Normalform
• Schräglinien # Abstand

Verweise