Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung - Quasiprobability distribution

Eine Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung ist ein mathematisches Objekt, das einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ähnlich ist, aber einige von Kolmogorovs Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie lockert . Quasiwahrscheinlichkeiten teilen einige allgemeine Merkmale mit gewöhnlichen Wahrscheinlichkeiten, wie zum Beispiel die Fähigkeit, Erwartungswerte in Bezug auf die Gewichte der Verteilung zu liefern . Sie können jedoch das σ -Additivitätsaxiom verletzen : Sie zu integrieren ergibt nicht notwendigerweise Wahrscheinlichkeiten von sich gegenseitig ausschließenden Zuständen. Tatsächlich haben Quasiwahrscheinlichkeitsverteilungen widersprüchlicherweise auch Bereiche negativer Wahrscheinlichkeitsdichte , was dem ersten Axiom widerspricht . Quasiwahrscheinlichkeitsverteilungen entstehen natürlich beim Studium der Quantenmechanik, wenn sie in der Phasenraumformulierung behandelt werden , die üblicherweise in der Quantenoptik , Zeit-Frequenz-Analyse und anderswo verwendet wird.

Einführung

In der allgemeinsten Form wird die Dynamik eines quantenmechanischen Systems durch eine Mastergleichung im Hilbertraum bestimmt : eine Bewegungsgleichung für den Dichteoperator (normalerweise geschrieben ) des Systems. Der Dichteoperator ist bezüglich einer vollständigen Orthonormalbasis definiert . Obwohl es möglich ist, diese Gleichung für sehr kleine Systeme (dh Systeme mit wenigen Teilchen oder Freiheitsgraden) direkt zu integrieren, wird dies für größere Systeme schnell unhandlich. Es ist jedoch möglich zu beweisen, dass der Dichteoperator immer in Diagonalform geschrieben werden kann, vorausgesetzt, er bezieht sich auf eine übervollständige Basis. Wenn der Dichteoperator in einer solchen übervollständigen Basis dargestellt wird, kann er auf eine Weise geschrieben werden, die einer gewöhnlichen Funktion ähnlicher ist, jedoch auf Kosten der Funktion einer Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung. Die Entwicklung des Systems wird dann vollständig durch die Entwicklung der Quasiwahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion bestimmt. ${\widehat {\rho}}$

Als übervollständige Basis in der oben beschriebenen Konstruktion dienen die kohärenten Zustände , dh die rechten Eigenzustände des Annihilationsoperators . Die kohärenten Zustände haben per Definition die folgende Eigenschaft: ${\widehat{a}}$

{\begin{aligned}{\widehat{a}}|\alpha\rangle &=\alpha |\alpha\rangle\\\langle\alpha|{\widehat{a}}^{\dagger}& =\langle\alpha |\alpha^{*}.\end{ausgerichtet}}

Sie haben auch einige zusätzliche interessante Eigenschaften. Beispielsweise sind keine zwei kohärenten Zustände orthogonal. Tatsächlich, wenn | α〉 und | β〉 ein Paar kohärenter Zustände sind, dann

\langle \beta \mid \alpha\rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*} \alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta).

Beachten Sie, dass diese Zustände jedoch korrekt normiert sind mit . α | α〉 = 1. Wegen der Vollständigkeit der Basis von Fock-Zuständen muss die Wahl der Basis kohärenter Zustände übervollständig sein. Klicken Sie hier, um einen formlosen Nachweis anzuzeigen.

Beweis der Übervollständigkeit der kohärenten Zustände

Die Integration über die komplexe Ebene kann in Polarkoordinaten mit geschrieben werden . Wo der Austausch von Summe und Integral erlaubt ist, erhalten wir einen einfachen Integralausdruck der Gammafunktion : $d^{2}\alpha =r\,dr\,d\theta$

{\begin{ausgerichtet}\int |\alpha\rangle\langle\alpha |\,d^{2}\alpha &=\int\sum _{n=0}^{\infty}\sum _ {k=0}^{\infty}e^{-{|\alpha |^{2}}}\cdot {\frac {\alpha^{n}(\alpha^{*})^{k}} {\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,d^{2}\alpha \\&=\int _{0}^{\infty}\int _{0}^ {2\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r ^{n+k+1}e^{i(nk)\theta}}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle\langle k|\,d\theta\,dr\\&= \sum _{n=0}^{\infty}\int _{0}^{\infty}\sum _{k=0}^{\infty}\int _{0}^{2\pi}e ^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}e^{i(nk)\theta}}{\sqrt {n!k!}}}|n \rangle \langle k|\,d\theta \,dr\\&=2\pi \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty}\sum _{k =0}^{\infty}e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}\delta (nk)}{\sqrt {n!k!} }}|n\rangle \langle k|\,dr\\&=2\pi\sum_{n=0}^{\infty}\int e^{-{r^{2}}}\cdot { \frac {r^{2n+1}}{n!}}|n\rangle \langle n|\,dr\\&=\pi\sum _{n=0}^{\infty}\int e^ {-u}\cdot {\frac {u^{n}}{n!}}|n\rangle \langle n|\,du\\&=\pi\sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|\\&=\pi {\widehat{I}}.\end{ausgerichtet}}

Offensichtlich können wir den Hilbert-Raum überspannen, indem wir einen Zustand schreiben als

|\psi\rangle ={\frac{1}{\pi}}\int |\alpha\rangle\langle\alpha |\psi\rangle\,d^{2}\alpha.

Andererseits beweist der Faktor von π>1 trotz korrekter Normierung der Zustände, dass diese Basis übervollständig ist.

In der Basis kohärenter Zustände ist es jedoch immer möglich, den Dichteoperator in der Diagonalform auszudrücken

{\widehat{\rho}}=\int f(\alpha,\alpha^{*})|\alpha\rangle\langle\alpha |\,d^{2}\alpha

wobei f eine Darstellung der Phasenraumverteilung ist. Diese Funktion f wird als Quasiwahrscheinlichkeitsdichte betrachtet, da sie die folgenden Eigenschaften hat:

$\int f(\alpha ,\alpha^{*})\,d^{2}\alpha =\operatorname {tr} ({\widehat {\rho}})=1$ (Normalisierung)
Wenn es sich um einen Operator handelt, der als Potenzreihe der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in einer Ordnung Ω ausgedrückt werden kann, dann ist sein Erwartungswert $g_{\Omega}({\widehat{a}},{\widehat{a}}^{\dagger})$

\langle g_{\Omega}({\widehat{a}},{\widehat{a}}^{\dagger})\rangle =\int f(\alpha ,\alpha^{*})g_ {\Omega}(\alpha,\alpha^{*})\,d\alpha\,d\alpha^{*}

( Optischer Äquivalenzsatz ).

Die Funktion f ist nicht eindeutig. Es gibt eine Familie verschiedener Darstellungen, die jeweils mit einer anderen Ordnung Ω verbunden sind. Die beliebteste in der allgemeinen Physikliteratur und historisch gesehen die erste von diesen ist die Wigner-Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung , die mit der symmetrischen Operatorordnung zusammenhängt. Speziell in der Quantenoptik werden oft die interessierenden Operatoren, insbesondere der Teilchenzahloperator , natürlich in normaler Reihenfolge ausgedrückt . In diesem Fall ist die entsprechende Darstellung der Phasenraumverteilung die Glauber-Sudarshan-P-Darstellung . Die quasiprobabilistische Natur dieser Phasenraumverteilungen wird am besten in der $P-$ Darstellung aufgrund der folgenden Schlüsselaussage verstanden:

Hat das Quantensystem ein klassisches Analogon, zB einen kohärenten Zustand oder eine Wärmestrahlung , dann ist P überall nichtnegativ wie eine gewöhnliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wenn das Quantensystem jedoch kein klassisches Analogon hat, zB einen inkohärenten Fock-Zustand oder ein verschränktes System , dann ist P irgendwo negativ oder singulärer als eine Deltafunktion .

Diese pauschale Aussage ist in anderen Darstellungen nicht verfügbar. Zum Beispiel ist die Wigner-Funktion des EPR- Zustands positiv definit, hat aber kein klassisches Analogon.

Zusätzlich zu den oben definierten Darstellungen gibt es viele andere Quasiwahrscheinlichkeitsverteilungen, die in alternativen Darstellungen der Phasenraumverteilung auftreten. Eine weitere beliebte Darstellung ist die Husimi Q Darstellung , die nützlich ist , wenn Unternehmer sind anti -normale Ordnung. In jüngerer Zeit wurden die positive $P-$ Darstellung und eine breitere Klasse verallgemeinerter $P-$ Darstellungen verwendet, um komplexe Probleme in der Quantenoptik zu lösen. Diese sind alle äquivalent und ineinander umwandelbar, d.h. Klassenverteilungsfunktion nach Cohen .

Charakteristische Funktionen

Analog zur Wahrscheinlichkeitstheorie können Quanten-Quasiwahrscheinlichkeitsverteilungen in Form von charakteristischen Funktionen geschrieben werden , aus denen alle Operatorerwartungswerte abgeleitet werden können. Die charakteristischen Funktionen für die Wigner-, Glauber-P- und Q-Verteilungen eines N- Mode-Systems sind wie folgt:

$\chi_{W}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat { \mathbf {a}}}+i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a}}}^{\dagger}})$
$\chi_{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a}}}^{\dagger}}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a}}}})$
$\chi_{Q}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat { \mathbf {a}}}}e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a}}}^{\dagger}})$

Hier und sind Vektoren, die die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren für jeden Modus des Systems enthalten. Diese charakteristischen Funktionen können verwendet werden, um Erwartungswerte von Operatormomenten direkt auszuwerten. Die Anordnung der Vernichtungs- und Schöpfungsoperatoren in diesen Momenten ist spezifisch für die jeweilige charakteristische Funktion. Zum Beispiel können normal geordnete Momente (Vernichtungsoperatoren vor Erzeugungsoperatoren) wie folgt bewertet werden aus : ${\widehat {\mathbf {a}}}$ ${\widehat{\mathbf{a}}}^{\dagger}$ $\chi_{P}\,$

\langle {\widehat{a}}_{j}^{\dagger m}{\widehat{a}}_{k}^{n}\rangle ={\frac {\partial ^{m+ n}}{\partial (iz_{j}^{*})^{m}\partial (iz_{k})^{n}}}\chi_{P}(\mathbf{z},\mathbf{ z} ^{*}){\Big |}_{\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}=0}

Ebenso können Erwartungswerte antinormal geordneter und symmetrisch geordneter Kombinationen von Annihilations- und Erzeugungsoperatoren aus den charakteristischen Funktionen für die Q- bzw. Wigner-Verteilungen ausgewertet werden. Die Quasiwahrscheinlichkeitsfunktionen selbst sind als Fourier-Transformationen der obigen charakteristischen Funktionen definiert. Das ist,

\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^{*})={\frac{1}{\pi^{2N}}}\ int \chi_{\{W\mid P\mid Q\}}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})e^{-i\mathbf {z} ^{*}\cdot \mathbf {\alpha} ^{*}}e^{-i\mathbf {z} \cdot \mathbf {\alpha} }\,d^{2N}\mathbf {z} .

Hier und können im Fall der Glauber-P- und Q-Verteilungen als kohärente Zustandsamplituden identifiziert werden , aber einfach als c-Zahlen für die Wigner-Funktion. Da die Differentiation im Normalraum zur Multiplikation im Fourierraum wird, können aus diesen Funktionen Momente wie folgt berechnet werden: $\alpha_{j}\,$ $\alpha_{k}^{*}$

$\langle {\widehat {\mathbf {a}}}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a}}}_{k}^{n}\rangle =\int P(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^{*})\alpha_{j}^{n}\alpha_{k}^{*m}\,d^{2N}\mathbf {\alpha}$
$\langle {\widehat {\mathbf {a}}}_{j}^{m}{\widehat {\mathbf {a}}}_{k}^{\dagger n}\rangle =\int Q(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^{*})\alpha_{j}^{m}\alpha_{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha}$
$\langle ({\widehat {\mathbf {a}}}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a}}}_{k}^{n})_{S }\rangle =\int W(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^{*})\alpha_{j}^{m}\alpha_{k}^{*n}\,d ^{2N}\mathbf{\alpha}$

Hier bezeichnet symmetrische Anordnung. $(\cdots)_{S}$

Diese Darstellungen sind alle durch Faltung durch Gaußsche Funktionen miteinander verbunden , Weierstrass-Transformationen ,

$W(\alpha,\alpha^{*})={\frac{2}{\pi}}\int P(\beta,\beta^{*})e^{-2|\alpha - \beta |^{2}}\,d^{2}\beta$
$Q(\alpha,\alpha^{*})={\frac{2}{\pi}}\int W(\beta,\beta^{*})e^{-2|\alpha - \beta |^{2}}\,d^{2}\beta$

oder unter Verwendung der Eigenschaft, dass die Faltung assoziativ ist ,

$Q(\alpha,\alpha^{*})={\frac{1}{\pi}}\int P(\beta,\beta^{*})e^{-|\alpha -\ Beta |^{2}}\,d^{2}\beta ~.$

Zeitentwicklung und Operatorkorrespondenzen

Da jede der obigen Transformationen von $ρ$ in die Verteilungsfunktionen linear ist , kann die Bewegungsgleichung für jede Verteilung erhalten werden, indem die gleichen Transformationen bis durchgeführt werden . Da außerdem jede Mastergleichung, die in Lindblad-Form ausgedrückt werden kann, vollständig durch die Wirkung von Kombinationen von Annihilations- und Erzeugungsoperatoren auf den Dichteoperator beschrieben wird, ist es nützlich, die Wirkung solcher Operationen auf jede der Quasiwahrscheinlichkeitsfunktionen zu berücksichtigen. ${\dot {\rho}}$

Betrachten Sie zum Beispiel den Vernichtungsoperator, der auf $ρ$ wirkt . Für die charakteristische Funktion der P-Verteilung gilt ${\widehat{a}}_{j}\,$

\operatorname {tr} ({\widehat {a}}_{j}\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a}}}^{ \dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a}}}})={\frac {\partial }{\partial (iz_{j})}}\chi_ {P}(\mathbf{z} ,\mathbf{z}^{*}).

Unter Verwendung der Fourier-Transformation in Bezug auf die der Aktion entsprechende Aktion auf die Glauber-P-Funktion finden wir ${\displaystyle\mathbf{z}\,}$

${\widehat{a}}_{j}\rho\rightarrow\alpha_{j}P(\mathbf{\alpha},\mathbf{\alpha}^{*}).$

Durch Befolgen dieses Verfahrens für jede der obigen Verteilungen können die folgenden Operatorkorrespondenzen identifiziert werden:

${\widehat{a}}_{j}\rho\rightarrow\left(\alpha_{j}+\kappa {\frac{\partial}{\partial\alpha_{j}^{*} }}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf{\alpha} ,\mathbf{\alpha}^{*})$
$\rho {\widehat{a}}_{j}^{\dagger}\rightarrow\left(\alpha_{j}^{*}+\kappa {\frac {\partial}{\partial\ alpha_{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf{\alpha} ,\mathbf{\alpha} ^{*})$
${\widehat{a}}_{j}^{\dagger}\rho \rightarrow \left(\alpha_{j}^{*}-(1-\kappa){\frac {\partial} {\partial \alpha_{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha} ,\mathbf {\alpha} ^{*})$
$\rho {\widehat{a}}_{j}\rightarrow \left(\alpha_{j}-(1-\kappa){\frac {\partial}{\partial\alpha_{j} ^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf{\alpha} ,\mathbf{\alpha} ^{*})$

Hier gilt $κ = 0, 1/2$ oder 1 für P-, Wigner- bzw. Q-Verteilungen. Auf diese Weise können Mastergleichungen als Bewegungsgleichungen von Quasiwahrscheinlichkeitsfunktionen ausgedrückt werden.

Beispiele

Kohärenter Zustand

Nach Konstruktion ist P für einen kohärenten Zustand einfach eine Deltafunktion: $|\alpha_{0}\rangle$

P(\alpha,\alpha^{*})=\delta^{2}(\alpha -\alpha_{0}).

Die Wigner- und Q- Darstellungen folgen unmittelbar aus den obigen Gaußschen Faltungsformeln:

W(\alpha,\alpha^{*})={\frac{2}{\pi}}\int\delta^{2}(\beta -\alpha_{0})e^{- 2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac{2}{\pi}}e^{-2|\alpha -\alpha_{0}| ^{2}}

Q(\alpha,\alpha^{*})={\frac{1}{\pi}}\int\delta^{2}(\beta -\alpha_{0})e^{- |\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac{1}{\pi}}e^{-|\alpha -\alpha_{0}|^{ 2}}.

Die Husimi-Darstellung kann auch mit der obigen Formel für das innere Produkt zweier kohärenter Zustände gefunden werden:

Q(\alpha,\alpha^{*})={\frac{1}{\pi}}\langle\alpha|{\widehat{\rho}}|\alpha\rangle ={\frac{ 1}{\pi}}|\langle\alpha_{0}|\alpha\rangle |^{2}={\frac{1}{\pi}}e^{-|\alpha -\alpha_{ 0}|^{2}}

Fock-Zustand

Die P- Darstellung eines Fock-Zustands ist $|n\rangle$

P(\alpha,\alpha^{*})={\frac{e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial^{2n}}{ \partial\alpha^{*n}\,\partial\alpha^{n}}}\delta^{2}(\alpha).

Da dies für n > 0 singulärer ist als eine Deltafunktion, hat ein Fock-Zustand kein klassisches Analogon. Die Nicht-Klassizität ist weniger transparent, wenn man mit den Gaußschen Faltungen fortfährt. Wenn L _n die n - te ist Laguerre - Polynom , W ist

W(\alpha,\alpha^{*})=(-1)^{n}{\frac {2}{\pi}}e^{-2|\alpha |^{2}}L_ {n}\left(4|\alpha |^{2}\right)~,

die negativ werden kann, aber begrenzt ist. Q bleibt immer positiv und beschränkt:

Q(\alpha,\alpha^{*})={\frac{1}{\pi}}\langle\alpha|{\widehat{\rho}}|\alpha\rangle ={\frac{ 1}{\pi}}|\langle n|\alpha\rangle |^{2}={\frac{1}{\pi n!}}|\langle 0|{\widehat{a}}^{n }|\alpha\rangle |^{2}={\frac {|\alpha |^{2n}}{\pi n!}}|\langle 0|\alpha\rangle |^{2}

Gedämpfter quantenmechanischer Oszillator

Betrachten Sie den gedämpften harmonischen Quantenoszillator mit der folgenden Mastergleichung:

{\frac {d{\widehat {\rho}}}{dt}}=i\omega _{0}[{\widehat {\rho}},{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat{a}}]+{\frac{\gamma}{2}}(2{\widehat{a}}{\widehat{\rho}}{\widehat{a}}^{\dagger} -{\widehat{a}}^{\dagger }{\widehat{a}}{\widehat{\rho}}-\rho {\widehat{a}}^{\dagger }{\widehat{a}} )+\gamma\langle n\rangle ({\widehat{a}}{\widehat{\rho}}{\widehat{a}}^{\dagger}+{\widehat{a}}^{\dagger} {\widehat {\rho}}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho}}-{\widehat {\rho }}{\widehat{a}}{\widehat{a}}^{\dagger}).

Daraus ergibt sich die Fokker-Planck-Gleichung

{\frac {\partial }{\partial t}}\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha^{*},t)=\left[(\gamma +i\ omega _{0}){\frac {\partial}{\partial\alpha}}\alpha +(\gamma -i\omega_{0}){\frac {\partial}{\partial\alpha^{* }}}\alpha^{*}+{\frac{\gamma}{2}}(\langle n\rangle+\kappa){\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha\,\ partiell \alpha^{*}}}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha^{*},t)

wobei κ = 0, 1/2, 1 für die P- , W- bzw. Q- Darstellungen ist. Befindet sich das System zunächst im kohärenten Zustand , so hat dies die Lösung $|\alpha_{0}\rangle$

\{W\mid P\mid Q\}(\alpha,\alpha^{*},t)={\frac{1}{\pi\left[\kappa+\langle n\rangle\left (1-e^{-2\gamma t}\right)\right]}}\exp {\left(-{\frac {\left|\alpha -\alpha_{0}e^{-(\gamma +i\omega_{0})t}\right|^{2}}{\kappa +\langle n\rangle\left(1-e^{-2\gamma t}\right)}}\right) }

Verweise

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