Radontransformation. Karten
f auf der (
x, y ) -Domäne zu
Rf auf der (
α, s ) -Domäne.
Radon-Transformation der
Indikatorfunktion von zwei Quadraten, die im Bild unten gezeigt wird. Hellere Bereiche zeigen größere Funktionswerte an. Schwarz bedeutet Null.
Die Originalfunktion ist im weißen Bereich gleich eins und im dunklen Bereich gleich null.
In der Mathematik ist die Radon-Transformation die Integraltransformation, die eine auf der Ebene definierte Funktion f zu einer auf dem (zweidimensionalen) Raum der Linien in der Ebene definierten Funktion Rf führt , deren Wert an einer bestimmten Linie gleich dem Linienintegral ist der Funktion über diese Zeile. Die Transformation wurde 1917 von Johann Radon eingeführt , der auch eine Formel für die inverse Transformation bereitstellte. Radon enthielt außerdem Formeln für die Transformation in drei Dimensionen , bei denen das Integral über Ebenen aufgenommen wird (das Integrieren über Linien wird als Röntgentransformation bezeichnet ). Es wurde später auf höherdimensionale euklidische Räume verallgemeinert , und im weiteren Sinne im Kontext der integralen Geometrie . Das komplexe Analogon der Radon-Transformation ist als Penrose-Transformation bekannt . Die Radon-Transformation ist weithin auf die Tomographie anwendbar , die Erzeugung eines Bildes aus den Projektionsdaten, die mit Querschnittsscans eines Objekts verbunden sind.
Erläuterung
Wenn eine Funktion eine unbekannte Dichte darstellt, stellt die Radon-Transformation die Projektionsdaten dar, die als Ausgabe eines tomographischen Scans erhalten wurden. Somit kann die Umkehrung der Radon-Transformation verwendet werden, um die ursprüngliche Dichte aus den Projektionsdaten zu rekonstruieren und bildet somit die mathematische Grundlage für die tomographische Rekonstruktion , auch als iterative Rekonstruktion bekannt .
Horizontale Projektionen durch die Form führen zu einem akkumulierten Signal (mittlerer Balken). Das Sinogramm auf der rechten Seite wird durch das Sammeln vieler solcher Projektionen erzeugt, während sich die Form dreht. Hier wird Farbe verwendet, um hervorzuheben, welches Objekt welchen Teil des Signals erzeugt. Beachten Sie, wie gerade Elemente bei Ausrichtung auf die Projektionsrichtung zu stärkeren Signalen führen.
Die Radon-Transformationsdaten werden oft als Sinogramm bezeichnet, da die Radon-Transformation einer Quelle außerhalb des Zentrums eine Sinuskurve ist. Folglich erscheint die Radon-Transformation einer Anzahl kleiner Objekte grafisch als eine Anzahl unscharfer Sinuswellen mit unterschiedlichen Amplituden und Phasen.
Die Radon-Transformation ist nützlich in der axialen Computertomographie (CAT-Scan), Barcode- Scannern, der Elektronenmikroskopie von makromolekularen Anordnungen wie Viren und Proteinkomplexen , der Reflexionsseismologie und bei der Lösung hyperbolischer partieller Differentialgleichungen .
Definition
Sei eine Funktion, die die drei Regularitätsbedingungen erfüllt:
-
ist kontinuierlich;
- das sich über die ganze Ebene erstreckende Doppelintegral konvergiert;
- für jeden beliebigen Punkt auf der Ebene gilt
Die Radon-Transformation, , ist eine Funktion, die auf dem Raum der geraden Linien durch das Linienintegral entlang jeder dieser Linien definiert ist:
Konkret lässt sich die Parametrisierung einer beliebigen Geraden in Bezug auf die Bogenlänge immer schreiben:
Dabei ist der Abstand vom Ursprung und der Winkel, den der Normalenvektor mit der -Achse bildet. Daraus folgt, dass die Größen als Koordinaten auf dem Raum aller Geraden in betrachtet werden können und die Radon-Transformation in diesen Koordinaten ausgedrückt werden kann durch:
Allgemeiner ausgedrückt ist im eindimensionalen
euklidischen Raum die Radon-Transformation einer Funktion, die die Regularitätsbedingungen erfüllt, eine Funktion auf dem Raum aller Hyperebenen in . Es ist definiert durch:
Inverse Radon-Transformation
wo das Integral in Bezug auf die natürliche genommen Hyper Maßnahme , (den verallgemeinernde Begriff aus dem -dimensionalen Fall). Beachten Sie, dass jedes Element von als Lösungsort einer Gleichung gekennzeichnet ist , wobei ein Einheitsvektor und ist . Somit kann die -dimensionale Radon-Transformation als Funktion auf über umgeschrieben werden:
Es ist auch möglich, die Radon-Transformation noch weiter zu verallgemeinern, indem stattdessen überdimensionale affine Unterräume von integriert werden . Die Röntgentransformation ist der am weitesten verbreitete Spezialfall dieser Konstruktion und wird durch Integration über Geraden erhalten.
Zusammenhang mit der Fourier-Transformation
Berechnen der 2-dimensionalen Radon-Transformation in Form von zwei Fourier-Transformationen.
Die Radon-Transformation ist eng mit der Fourier-Transformation verwandt . Wir definieren die univariate Fourier-Transformation hier als:
Für eine Funktion von a -vector lautet die univariate Fourier-Transformation:
Der Einfachheit halber bezeichnen Sie . Der Fourier-Scheibensatz besagt dann:
wo
Somit ist die zweidimensionale Fourier-Transformation der Anfangsfunktion entlang einer Linie beim Neigungswinkel die eine variable Fourier-Transformation der Radon-Transformation (erfasst bei Winkel ) dieser Funktion. Diese Tatsache kann verwendet werden, um sowohl die Radon-Transformation als auch ihre Umkehrung zu berechnen. Das Ergebnis lässt sich in
n Dimensionen verallgemeinern :
Duale Transformation
Die duale Radon-Transformation ist eine Art Adjungierte zur Radon-Transformation. Beginnend mit einer Funktion g auf dem Raum ist die duale Radon-Transformation die Funktion auf
R n definiert durch:
Das Integral wird hier über die Menge aller mit dem Punkt einfallenden Hyperebenen genommen , und das Maß ist das eindeutige Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Menge, die unter Rotationen um den Punkt invariant ist .
Konkret ist für die zweidimensionale Radon-Transformation die duale Transformation gegeben durch:
Im Zusammenhang mit der Bildverarbeitung wird die duale Transformation allgemein als Rückprojektion bezeichnet, da sie eine auf jeder Linie in der Ebene definierte Funktion übernimmt und sie "verschmiert" oder über die Linie zurückprojiziert, um ein Bild zu erzeugen.
Ineinandergreifendes Anwesen
Lassen Sie das bezeichnen
Laplace auf , definiert durch:
Dies ist ein natürlicher, rotationsinvarianter Differentialoperator zweiter Ordnung . Bei ist auch die "radiale" zweite Ableitung rotationsinvariant. Die Radon-Transformation und ihr Dual sind ineinandergreifende Operatoren für diese beiden Differentialoperatoren in dem Sinne, dass:
Bei der Analyse der Lösungen der Wellengleichung in mehreren räumlichen Dimensionen führt die Verflechtungseigenschaft zur translatorischen Darstellung von Lax und Philips. In der bildgebenden und numerischen Analyse wird dies ausgenutzt, um mehrdimensionale Probleme in eindimensionale als dimensionale Aufspaltungsmethode zu reduzieren.
Wiederaufbauansätze
Der Rekonstruktionsprozess erzeugt das Bild (oder die Funktion im vorherigen Abschnitt) aus seinen Projektionsdaten.
Die Rekonstruktion ist ein inverses Problem .
Radon-Inversionsformel
Im zweidimensionalen Fall ist die am häufigsten verwendete analytische Formel zur Wiederherstellung aus ihrer Radon-Transformation die
gefilterte Rückprojektionsformel oder die Radon-Inversionsformel :
wo ist das so . Der Faltungskernel wird in der Literatur als Ramp-Filter bezeichnet.
Schlechte Haltung
Intuitiv sehen wir in der gefilterten Rückprojektionsformel in Analogie zur Differentiation, dass der Filter eine Operation ähnlich einer Ableitung durchführt. Grob gesagt, dann macht die Filterobjekte
mehr singulär. Eine quantitative Aussage über die Unausgeglichenheit der Radon-Inversion lautet wie folgt:
wobei das zuvor definierte Adjungierte zur Radon-Transformation ist. Somit haben wir für :
Die komplexe Exponentialfunktion ist somit eine Eigenfunktion von mit Eigenwert . So sind die singulären Werte von sind . Da diese singulären Werte zu tendieren , ist unbegrenzt.
Iterative Rekonstruktionsmethoden
Verglichen mit der Methode der gefilterten Rückprojektion kostet die iterative Rekonstruktion viel Rechenzeit, was ihre praktische Anwendung einschränkt. Aufgrund der ungünstigen Einstellung der Radon-Inversion kann das Verfahren der
gefilterten Rückprojektion jedoch in Gegenwart von Diskontinuität oder Rauschen nicht durchführbar sein. Iterative Rekonstruktionsmethoden ( zB iterative Sparse Asymptotic Minimum Variance ) könnten Metallartefaktreduktion, Rausch- und Dosisreduktion für das rekonstruierte Ergebnis ermöglichen, was weltweit großes Forschungsinteresse weckt.
Inversionsformeln
Explizite und rechnerisch effiziente Inversionsformeln für die Radon-Transformation und ihr Dual stehen zur Verfügung. Die Radon-Transformation in Dimensionen kann durch die Formel invertiert werden:
wobei , und die Potenz des Laplace -Operators wird gegebenenfalls durch die Fourier-Transformation als Pseudodifferentialoperator definiert :
Für Berechnungszwecke wird die Potenz des Laplace-Operators mit der dualen Transformation umgewandelt , um Folgendes zu erhalten:
wo ist die Hilbert-Transformation in Bezug auf die s- Variable. In zwei Dimensionen erscheint der Operator in der Bildverarbeitung als Rampenfilter . Aus dem Fourier-Scheibensatz und der Variablenänderung für die Integration kann man direkt beweisen, dass für eine kompakt unterstützte stetige Funktion zweier Variablen:
Somit kann in einem Bildverarbeitungskontext das Originalbild aus den 'Sinogramm'-Daten durch Anwenden eines Rampenfilters (in der Variablen) und anschließender Rückprojektion wiederhergestellt werden . Da der Filterungsschritt effizient durchgeführt werden kann (beispielsweise unter Verwendung digitaler Signalverarbeitungstechniken ) und der Rückprojektionsschritt einfach eine Akkumulation von Werten in den Pixeln des Bildes ist, führt dies zu einem hocheffizienten und daher weit verbreiteten Algorithmus.
Explizit lautet die durch die letztere Methode erhaltene Inversionsformel:
Die duale Transformation kann auch durch eine analoge Formel invertiert werden:
Radontransformation in algebraischer Geometrie
In der algebraischen Geometrie wird eine Radon-Transformation (auch als Brylinski-Radon-Transformation bekannt ) wie folgt konstruiert.
Schreiben
für die universelle Hyperebene , dh H besteht aus Paaren ( x , h ), wobei x ein Punkt im d- dimensionalen projektiven Raum und
h ein Punkt im dualen projektiven Raum ist (mit anderen Worten, x ist eine Linie durch den Ursprung in ( d + 1)-dimensionaler affiner Raum , und h ist eine Hyperebene in diesem Raum), so dass x in h enthalten ist .
Dann ist die Brylinksi-Radon-Transformation der Funktor zwischen geeigneten abgeleiteten Kategorien von étale Garben
Der Hauptsatz dieser Transformation ist, dass diese Transformation eine Äquivalenz der Kategorien der perversen Garben auf dem projektiven Raum und seinem dualen projektiven Raum bis hin zu konstanten Garben induziert .
Siehe auch
Anmerkungen
Verweise
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Weiterlesen
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Externe Links