Funktionsumfang - Range of a function

${\displaystyle f}$ist eine Funktion von Domäne X zu Codomäne Y . Das gelbe Oval innerhalb von Y ist das Bild von . Manchmal bezieht sich "Bereich" auf das Bild und manchmal auf die Codomain.${\displaystyle f}$

In der Mathematik kann sich der Bereich einer Funktion auf eines von zwei eng verwandten Konzepten beziehen:

• Die Kodomäne der Funktion
• Das Bild der Funktion

Bei zwei Mengen X und Y ist eine binäre Relation f zwischen X und Y eine (Gesamt-)Funktion (von X nach Y ), wenn für jedes x in X genau ein y in Y existiert, so dass f x zu y in Beziehung setzt . Die Mengen X und Y werden Domäne bzw. Kodomäne von f genannt . Das Bild von f ist dann die Teilmenge von Ybestehend aus nur den Elementen y von Y, so dass es mindestens ein x in X mit f ( x ) = y gibt .

Terminologie

Da der Begriff „Bereich“ unterschiedliche Bedeutungen haben kann, empfiehlt es sich, ihn bei der ersten Verwendung in einem Lehrbuch oder Artikel zu definieren. Ältere Bücher, die das Wort "Bereich" verwenden, neigen dazu, das zu verwenden, was heute als Codomain bezeichnet wird . In moderneren Büchern wird, wenn überhaupt, das Wort „Reichweite“ verwendet, um das zu bezeichnen, was heute als Bild bezeichnet wird . Um Verwirrung zu vermeiden, verwenden einige moderne Bücher das Wort "Bereich" überhaupt nicht.

Ausarbeitung und Beispiel

Gegeben eine Funktion

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

mit domain , der Bereich von , manchmal mit oder bezeichnet , kann sich auf die Co- Domain oder Zielmenge (dh die Menge, in die die gesamte Ausgabe von beschränkt sein muss) oder auf das Bild der Domäne von unter (dh, die Teilmenge von besteht aus allen tatsächlichen Ausgaben von ). Das Bild einer Funktion ist immer eine Teilmenge des Kobereichs der Funktion. ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {ran} (f)}$${\displaystyle \operatorname {Bereich} (f)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$

Betrachten Sie als Beispiel für die beiden unterschiedlichen Verwendungen die Funktion, wie sie in der reellen Analyse verwendet wird (d. h. als Funktion, die eine reelle Zahl eingibt und ihr Quadrat ausgibt). In diesem Fall ist seine Kodomäne die Menge der reellen Zahlen , aber ihr Bild ist die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen , da niemals negativ ist, wenn reell ist. Wenn wir für diese Funktion "range" verwenden, um codomain zu bedeuten , bezieht es sich auf ; Wenn wir "range" verwenden, um image zu bedeuten , bezieht es sich auf . ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{+}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{}} }$${\displaystyle \mathbb{R} ^{+}}$

In vielen Fällen können das Bild und die Codomäne zusammenfallen. Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion , die eine reelle Zahl eingibt und ihr Double ausgibt. Für diese Funktion sind die Kodomäne und das Bild identisch (beide sind die Menge der reellen Zahlen), sodass der Wortbereich eindeutig ist. ${\displaystyle f(x)=2x}$

Siehe auch

• Bijektion, Injektion und Surjektion
• Wesentliches Sortiment

Hinweise und Referenzen

Literaturverzeichnis

• Kinder (2009). Eine konkrete Einführung in die Höhere Algebra . Bachelortexte in Mathematik (3. Aufl.). Springer. ISBN 978-0-387-74527-5. OCLC  173498962 .
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstrakte Algebra (3. Aufl.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. OCLC  52559229 .
• Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra . Abschlusstexte der Mathematik . 73 . Springer. ISBN 0-387-90518-9. OCLC-  703268 .
• Rudin, Walter (1991). Funktionsanalyse (2. Aufl.). McGraw-Hügel. ISBN 0-07-054236-8.