Co-Domäne - Codomain

Eine Funktion f von X nach Y . Das blaue Oval Y ist die Codomäne von f . Das gelbe Oval innerhalb von Y ist das Bild von f .

In der Mathematik ist die Kodomäne oder Zielmenge einer Funktion die Menge, in die die gesamte Ausgabe der Funktion beschränkt ist. Es ist die Menge Y in der Notation f : X → Y . Der Begriff Bereich wird manchmal mehrdeutig verwendet, um sich entweder auf die Codomäne oder das Bild einer Funktion zu beziehen .

Eine Kodomäne ist Teil einer Funktion f , wenn f als Tripel ( X , Y , G ) definiert ist , wobei X die Domäne von f , Y ihre Kodomäne und G ihr Graph genannt wird . Die Menge aller Elemente der Form f ( x ) , wobei x über die Elemente des Gebietes X reicht , heißt das Bild von f . Das Bild einer Funktion ist eine Teilmenge ihrer Kodomäne, sodass sie möglicherweise nicht mit ihr übereinstimmt. Eine nicht surjektive Funktion hat nämlich Elemente y in ihrem Kobereich, für die die Gleichung f ( x ) = y keine Lösung hat.

Eine Kodomäne ist nicht Teil einer Funktion f, wenn f nur als Graph definiert ist. In der Mengenlehre ist es beispielsweise wünschenswert, dass der Definitionsbereich einer Funktion eine echte Klasse X ist , in diesem Fall gibt es formal kein Tripel ( X , Y , G ) . Mit einer solchen Definition haben Funktionen keine Kodomäne, obwohl einige Autoren diese nach Einführung einer Funktion in der Form f : X → Y immer noch informell verwenden .

Beispiele

Für eine Funktion

${\displaystyle f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}$

definiert von

${\displaystyle f\colon \,x\mapsto x^{2},}$ oder gleichwertig ${\displaystyle f(x)\ =\ x^{2},}$

die Kodomäne von f ist , aber f wird auf keine negative Zahl abgebildet . Somit ist das Bild von f die Menge ; dh das Intervall [0, ) . ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$

Eine alternative Funktion g ist so definiert:

${\displaystyle g\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{0}^{+}}$

${\displaystyle g\colon \,x\mapsto x^{2}.}$

Während f und g ein gegebenes x auf dieselbe Zahl abbilden , sind sie in dieser Ansicht nicht dieselbe Funktion, da sie unterschiedliche Kodomänen haben. Eine dritte Funktion h kann definiert werden, um zu demonstrieren, warum:

${\displaystyle h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}.}$

Die Domäne von h kann nicht sein , kann aber definiert werden als : ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$

${\displaystyle h\colon\mathbb{R}_{0}^{+}\rightarrow\mathbb{R} .}$

Die Kompositionen sind bezeichnet mit

${\displaystyle h\circ f,}$

${\displaystyle h\circ g.}$

Bei der Betrachtung ist h ∘ f nicht sinnvoll. Es ist wahr, dass das Bild von f nicht bekannt ist, sofern nicht anders definiert ; es ist nur bekannt, dass es eine Teilmenge von ist . Aus diesem Grund ist es möglich, dass h , wenn es mit f zusammengesetzt ist , ein Argument erhält, für das keine Ausgabe definiert ist – negative Zahlen sind keine Elemente des Definitionsbereichs von h , der Quadratwurzelfunktion . ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R}}$

Die Funktionskomposition ist daher nur dann ein nützlicher Begriff, wenn die Kodomäne der Funktion auf der rechten Seite einer Komposition (nicht ihr Bild , das eine Folge der Funktion ist und auf der Ebene der Komposition unbekannt sein könnte) eine Teilmenge der Domäne ist der Funktion auf der linken Seite.

Die Kodomäne beeinflusst, ob eine Funktion eine Surjektion ist , da die Funktion genau dann surjektiv ist, wenn ihre Kodomäne ihrem Bild entspricht. Im Beispiel ist g eine Surjektion, während f keine ist. Die Kodomäne hat keinen Einfluss darauf, ob eine Funktion eine Injektion ist .

Ein zweites Beispiel für den Unterschied zwischen Kodomäne und Bild zeigen die linearen Transformationen zwischen zwei Vektorräumen – insbesondere alle linearen Transformationen von zu sich selbst, die durch die 2×2- Matrizen mit reellen Koeffizienten dargestellt werden können. Jede Matrix stellt eine Karte mit der Domäne und der Codomäne dar . Das Bild ist jedoch unsicher. Einige Transformationen haben möglicherweise ein Bild gleich der gesamten Kodomäne (in diesem Fall die Matrizen mit Rang 2 ), aber viele tun dies nicht, sondern werden stattdessen in einen kleineren Unterraum (die Matrizen mit Rang 1 oder 0 ) abgebildet . Nehmen wir zum Beispiel die Matrix T gegeben durch ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

was eine lineare Transformation darstellt, die den Punkt ( x , y ) auf ( x , x ) abbildet . Der Punkt (2, 3) liegt nicht im Bild von T , aber immer noch in der Kodomäne, da lineare Transformationen von nach explizit relevant sind. Wie alle 2×2- Matrizen repräsentiert T ein Mitglied dieser Menge. Die Untersuchung der Unterschiede zwischen Bild und Codomäne kann oft nützlich sein, um die Eigenschaften der fraglichen Funktion zu entdecken. Zum Beispiel kann daraus geschlossen werden, dass T keinen vollen Rang hat, da sein Bild kleiner als die gesamte Codomäne ist. ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$

Siehe auch

• Bijektion  – Funktion, die eins zu eins ist (Mathematik)
• Morphismus#Codomain

Anmerkungen

Verweise

• Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles . Elemente der Mathematik. Springer. ISBN 9783540340348.
• Eccles, Peter J. (1997), Eine Einführung in das mathematische Denken: Zahlen, Mengen und Funktionen , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0
• Forster, Thomas (2003), Logik, Induktion und Sets , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53361-4
• Mac Lane, Saunders (1998), Kategorien für den arbeitenden Mathematiker (2. Aufl.), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2
• Scott, Dana S.; Jech, Thomas J. (1967), Axiomatische Mengenlehre , Symposium in Pure Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0245-8
• Sharma, AK (2004), Einführung in die Mengenlehre , Discovery Publishing House, ISBN 978-81-7141-877-0
• Stewart, Ian; Tall, David Orme (1977), Die Grundlagen der Mathematik , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4