Sackur-Tetrode-Gleichung - Sackur–Tetrode equation

Die Sackur-Tetrode-Gleichung ist ein Ausdruck für die Entropie eines einatomigen idealen Gases .

Es ist nach Hugo Martin Tetrode (1895–1931) und Otto Sackur (1880–1914) benannt, die es ungefähr zur gleichen Zeit im Jahr 1912 unabhängig voneinander als Lösung von Boltzmanns Gasstatistik und Entropiegleichungen entwickelten.

Formel

Die Sackur-Tetrode-Gleichung drückt die Entropie eines einatomigen idealen Gases in Bezug auf seinen thermodynamischen Zustand aus - insbesondere sein Volumen , seine innere Energie und die Anzahl der Partikel : ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ frac {S} {k _ {\ rm {B}} N}} = \ ln \ left [{\ frac {V} {N}} \ left ({\ frac {4 \ pi m} { 3h ^ {2}}} {\ frac {U} {N}} \ rechts) ^ {3/2} \ rechts] + {\ frac {5} {2}}}$

wo ist Boltzmanns Konstante , ist die Masse eines Gasteilchens und ist Plancksche Konstante . ${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle h}$

Die Gleichung kann auch als thermische Wellenlänge ausgedrückt werden : ${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ displaystyle {\ frac {S} {k _ {\ rm {B}} N}} = \ ln \ left ({\ frac {V} {N \ Lambda ^ {3}}} \ right) + {\ frac {5} {2}}}$

Entropie-Temperatur-Kurven klassischer und quantenidealer Gase ( Fermigas , Bose-Gas ) in drei Dimensionen. Obwohl alle bei hohen Temperaturen in enger Übereinstimmung sind, stimmen sie bei niedrigen Temperaturen nicht überein, bei denen die klassische Entropie (Sackur-Tetrode-Gleichung) beginnt, sich negativen Werten anzunähern.

Eine Ableitung der Sackur-Tetrode-Gleichung finden Sie im Gibbs-Paradoxon . Zu den Einschränkungen, die der Entropie eines idealen Gases allein durch die Thermodynamik auferlegt werden, siehe den idealen Gasartikel .

Die obigen Ausdrücke gehen davon aus, dass sich das Gas im klassischen Regime befindet und durch die Maxwell-Boltzmann-Statistik (mit "korrekter Boltzmann-Zählung") beschrieben wird. Nach der Definition der thermischen Wellenlänge bedeutet dies, dass die Sackur-Tetrode-Gleichung nur dann gültig ist, wenn

${\ displaystyle {\ frac {V} {N \ Lambda ^ {3}}} \ gg 1}$

Tatsächlich nähert sich die durch die Sackur-Tetrode-Gleichung vorhergesagte Entropie der negativen Unendlichkeit, wenn sich die Temperatur Null nähert.

Sackur-Tetrode-Konstante

Die Sackur-Tetrode-Konstante , geschrieben S ₀ / R , ist gleich S / k _B N, bewertet bei einer Temperatur von T  = 1  Kelvin bei Standarddruck (100 kPa oder 101,325 kPa, zu spezifizieren) für ein Mol eines ideales Gas aus Massenpartikeln gleich der Atommassenkonstante ( m _u  =  1,660 539 066 60 (50) × 10 ^–27  kg ). Der empfohlene CODATA- Wert für 2018 lautet:

S ₀ / R = –1,151 707 537 06 (45) für p ^o = 100 kPa

S ₀ / R = –1,164 870 523 58 (45) für p ^o = 101,325 kPa.

Informationstheoretische Interpretation

Zusätzlich zur thermodynamischen Perspektive der Entropie können die Werkzeuge der Informationstheorie verwendet werden, um eine Informationsperspektive der Entropie bereitzustellen . Insbesondere ist es möglich, die Sackur-Tetrode-Gleichung informationstheoretisch abzuleiten. Die Gesamtentropie wird als die Summe von vier einzelnen Entropien dargestellt, dh vier verschiedenen Quellen fehlender Informationen. Dies sind Positionsunsicherheit, Impulsunsicherheit, das quantenmechanische Unsicherheitsprinzip und die Ununterscheidbarkeit der Teilchen. Summiert man die vier Teile, so ergibt sich die Sackur-Tetrode-Gleichung als

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {S} {k _ {\ rm {B}} N}} & = [\ ln V] + \ left [{\ frac {3} {2}} \ ln \ left (2 \ pi emk _ {\ rm {B}} T \ right) \ right] + [- 3 \ ln h] + \ left [- {\ frac {\ ln N!} {N}} \ right] \\ & \ approx \ ln \ left [{\ frac {V} {N}} \ left ({\ frac {2 \ pi mk _ {\ rm {B}} T} {h ^ {2}}} \ right ) ^ {\ frac {3} {2}} \ right] + {\ frac {5} {2}} \ end {align}}}$

Die Ableitung verwendet Stirling Annäherung , . Streng genommen ist die Verwendung von dimensionierten Argumenten für die Logarithmen falsch, ihre Verwendung ist jedoch eine "Abkürzung", die der Einfachheit halber gemacht wurde. Wenn jedes logarithmische Argument durch einen nicht spezifizierten Standardwert geteilt würde, ausgedrückt als nicht spezifizierte Standardmasse, -länge und -zeit, würden sich diese Standardwerte im Endergebnis aufheben und die gleiche Schlussfolgerung ergeben. Die einzelnen Entropiebegriffe sind nicht absolut, sondern hängen vielmehr von den gewählten Standards ab und unterscheiden sich bei verschiedenen Standards durch eine additive Konstante. ${\ displaystyle \ ln N! \ ca. N \ ln NN}$

Verweise

Weiterführende Literatur

• Emch, GG; Liu, C. (2002), Logik der thermostatistischen Physik , Springer-Verlag , Kapitel 3: Kinetische Theorie der Gase .
• Koutsoyiannis, D. (2013), "Physik der Unsicherheit, das Gibbs-Paradoxon und nicht unterscheidbare Teilchen", Studien zur Geschichte und Wissenschaftstheorie Teil B , 44 (4): 480–489, Bibcode : 2013SHPMP..44..480K , doi : 10.1016 / j.shpsb.2013.08.007 . (Dies leitet eine Sackur-Tetrode-Gleichung auf andere Weise ab, auch basierend auf Informationen.)
• Paños, FJ; Pérez, E. (2015), "Sackur-Tetrode-Gleichung im Labor", European Journal of Physics , 36 (5): 055033, Bibcode : 2015EJPh ... 36e5033J , doi : 10.1088 / 0143-0807 / 36/5 / 055033 .
• Williams, Richard (2009), "Die Sackur-Tetrode-Gleichung: Wie Entropie auf Quantenmechanik trifft" , APS News , 18 (8) .