Bose Gas - Bose gas

Ein ideales Bose-Gas ist eine quantenmechanische Phase der Materie , analog zu einem klassischen idealen Gas . Es besteht aus Bosonen , die einen ganzzahligen Spinwert haben und der Bose-Einstein-Statistik entsprechen . Die statistische Mechanik von Bosonen wurde von Satyendra Nath Bose für ein Photonengas entwickelt und von Albert Einstein auf massive Teilchen erweitert, der erkannte, dass ein ideales Gas von Bosonen im Gegensatz zu einem klassischen idealen Gas bei einer ausreichend niedrigen Temperatur ein Kondensat bilden würde. Dieses Kondensat ist als Bose-Einstein-Kondensat bekannt .

Einführung und Beispiele

Bosonen sind quantenmechanische Teilchen, die der Bose-Einstein-Statistik folgen oder gleichwertig einen ganzzahligen Spin besitzen . Diese Teilchen können als elementar klassifiziert werden: Dies sind das Higgs-Boson , das Photon , das Gluon , das W / Z und das hypothetische Graviton ; oder zusammengesetzt wie das Wasserstoffatom , das Atom von ¹⁶ O , der Kern von Deuterium , Mesonen usw. Zusätzlich können einige Quasiteilchen in komplexeren Systemen auch als Bosonen wie die Plasmonen (Quanten von Ladungsdichtewellen ) betrachtet werden.

Das erste Modell, das ein Gas mit mehreren Bosonen behandelte, war das von Bose entwickelte Photonengas , ein Photonengas . Dieses Modell führte zu einem besseren Verständnis des Planckschen Gesetzes und der Schwarzkörperstrahlung . Das Photonengas kann leicht zu jeder Art von Ensemble masseloser nicht wechselwirkender Bosonen expandiert werden. Das Phonon - Gas , auch bekannt als Debye - Modell , ist ein Beispiel , wo die Normalmoden der Schwingung des Kristallgitters eines Metalls, als wirksamer massless Bosonen behandelt werden. Peter Debye verwendete das Phonongasmodell, um das Verhalten der Wärmekapazität von Metallen bei niedriger Temperatur zu erklären .

Ein interessantes Beispiel für ein Bose-Gas ist ein Ensemble von Helium-4- Atomen. Wenn ein System von ⁴ He-Atomen auf eine Temperatur nahe dem absoluten Nullpunkt abgekühlt wird , sind viele quantenmechanische Effekte vorhanden. Unterhalb von 2,17 Kelvin verhält sich das Ensemble wie ein Superfluid , eine Flüssigkeit mit einer Viskosität von nahezu Null . Das Bose-Gas ist das einfachste quantitative Modell, das diesen Phasenübergang erklärt . Wenn ein Gas aus Bosonen abgekühlt wird, bildet es hauptsächlich ein Bose-Einstein-Kondensat , ein Zustand, in dem eine große Anzahl von Bosonen die niedrigste Energie einnimmt, der Grundzustand und Quanteneffekte makroskopisch sichtbar sind wie Welleninterferenzen .

Die Theorie der Bose-Einstein-Kondensate und Bose-Gase kann auch einige Merkmale der Supraleitung erklären, bei denen Ladungsträger paarweise ( Cooper-Paare ) koppeln und sich wie Bosonen verhalten. Infolgedessen verhalten sich Supraleiter so, als hätten sie bei niedrigen Temperaturen keinen spezifischen elektrischen Widerstand .

Das äquivalente Modell für halbzahlige Teilchen (wie Elektronen oder Helium-3- Atome), das der Fermi-Dirac-Statistik folgt, heißt Fermi-Gas (ein Ensemble nicht wechselwirkender Fermionen ). Bei niedriger genug Partikelanzahldichte und hohe Temperatur, sowohl das Fermi - Gas und die Bose Gas verhält sich wie ein klassisches ideales Gas .

Makroskopische Grenze

Die Thermodynamik eines idealen Bose-Gases lässt sich am besten mit dem großen kanonischen Ensemble berechnen . Das große Potenzial für ein Bose-Gas ist gegeben durch:

{\ displaystyle \ Omega = - \ ln ({\ mathcal {Z}}) = \ sum _ {i} g_ {i} \ ln \ left (1-ze ^ {- \ beta \ epsilon _ {i}} \ richtig).}

wobei jeder Term in der Summe einem bestimmten Einzelteilchenenergieniveau & _epsi ; _{i entspricht} ; g _i ist die Anzahl der Zustände mit der Energie ε _i ; z ist die absolute Aktivität (oder "Flüchtigkeit"), die auch als chemisches Potential μ ausgedrückt werden kann, indem definiert wird:

{\ displaystyle z (\ beta, \ mu) = e ^ {\ beta \ mu}}

und β definiert als:

{\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}}}

Dabei ist k _B die Boltzmannsche Konstante und T die Temperatur . Alle thermodynamischen Größen können aus dem großen Potential abgeleitet werden, und wir werden alle thermodynamischen Größen als Funktionen nur der drei Variablen z , β (oder T ) und V betrachten . Alle partiellen Ableitungen werden in Bezug auf eine dieser drei Variablen genommen, während die anderen beiden konstant gehalten werden.

Der zulässige Bereich von z reicht von einer negativen Unendlichkeit bis +1, da jeder darüber hinausgehende Wert eine unendliche Anzahl von Partikeln für Zustände mit einem Energieniveau von 0 ergeben würde (es wird angenommen, dass die Energieniveaus so versetzt wurden, dass das niedrigste Energieniveau erreicht wird ist 0).

Makroskopische Grenze, Ergebnis für nicht kondensierte Fraktion

Druck-Temperatur-Kurven klassischer und quantenidealer Gase ( Fermigas , Bose-Gas) in drei Dimensionen. Der Bose-Gasdruck ist niedriger als bei einem äquivalenten klassischen Gas, insbesondere unterhalb der kritischen Temperatur (markiert mit ★), bei der sich die Partikel massenhaft in die kondensierte Nulldruckphase bewegen.

Nach dem im Gas in einem Kastenartikel beschriebenen Verfahren können wir die Thomas-Fermi-Näherung anwenden, bei der davon ausgegangen wird, dass die durchschnittliche Energie im Vergleich zur Energiedifferenz zwischen den Pegeln groß ist, sodass die obige Summe durch ein Integral ersetzt werden kann. Dieser Ersatz ergibt die makroskopische Funktion des großen Potentials , die in der Nähe von : ${\ displaystyle \ Omega _ {m}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

{\ displaystyle \ Omega _ {\ rm {m}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ ln \ left (1-ze ^ {- \ beta E} \ right) \, dg \ approx \ Omega .}

Die Entartung dg kann für viele verschiedene Situationen durch die allgemeine Formel ausgedrückt werden:

{\ displaystyle dg = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)}} \, {\ frac {E ^ {\, \ alpha -1}} {E _ {\ rm {c}} ^ {\ alpha }}} ~ dE}

wobei α eine Konstante ist, E _c eine kritische Energie ist und Γ die Gammafunktion ist . Zum Beispiel ist für ein massives Bose-Gas in einer Box α = 3/2 und die kritische Energie ist gegeben durch:

{\ displaystyle {\ frac {1} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}}

Dabei ist Λ die thermische Wellenlänge und f ein Entartungsfaktor ( f = 1 für einfache spinlose Bosonen). Für ein massives Bose- Gas in einer harmonischen Falle haben wir α = 3 und die kritische Energie ist gegeben durch:

{\ displaystyle {\ frac {1} {(\ beta E_ {c}) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {f} {(\ hbar \ omega \ beta) ^ {3}}}}

wobei V (r) = M & Omega; ² r ² /2 ist das harmonische Potential. Es ist ersichtlich, dass E _c nur eine Funktion des Volumens ist.

Dieser integrale Ausdruck für das große Potenzial ergibt:

{\ displaystyle \ Omega _ {\ rm {m}} = - {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha +1} (z)} {\ left (\ beta E_ {c} \ right) ^ {\ alpha}}},}

wobei Li _s ( x ) die Polylogarithmusfunktion ist.

Das Problem bei dieser Kontinuumsnäherung für ein Bose-Gas besteht darin, dass der Grundzustand effektiv ignoriert wurde, was eine Entartung von Null für Null Energie ergibt. Diese Ungenauigkeit wird beim Umgang mit dem Bose-Einstein-Kondensat schwerwiegend und wird in den nächsten Abschnitten behandelt. Wie zu sehen sein wird, ist das obige Ergebnis selbst bei niedrigen Temperaturen immer noch nützlich, um die Thermodynamik nur des nicht kondensierten Teils des Gases genau zu beschreiben.

Begrenzung der Partikelanzahl in nicht kondensierter Phase, kritische Temperatur

Die Gesamtzahl der Partikel ergibt sich aus dem großen Potential von

{\ displaystyle N _ {\ rm {m}} = - z {\ frac {\ partiell \ Omega _ {m}} {\ partiell z}} = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {(\ beta E_ {c}) ^ {\ alpha}}}.}

Dies steigt monoton mit z an (bis zum Maximum z = +1). Das Verhalten bei Annäherung an z = 1 hängt jedoch entscheidend vom Wert von α ab (dh davon, ob das Gas 1D, 2D, 3D ist, ob es sich in einer flachen oder harmonischen Potentialwanne befindet).

Für α > 1 steigt die Anzahl der Teilchen nur bis zu einem endlichen Maximalwert an, dh ist bei z = 1 endlich : ${\ displaystyle N _ {\ rm {m}}}$

{\ displaystyle N _ {\ rm {m, max}} = {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}},}

wobei ζ ( α ) die Riemannsche Zetafunktion ist (unter Verwendung von Li _α ( 1 ) = ζ ( α )). Somit ist für eine feste Anzahl von Partikeln der größtmögliche Wert, den β haben kann, ein kritischer Wert β _c . Dies entspricht einer kritischen Temperatur T _c = 1 / k _Bβ _c , unterhalb derer die Thomas-Fermi-Näherung zusammenbricht (das Kontinuum der Zustände kann so viele Teilchen bei niedrigeren Temperaturen einfach nicht mehr unterstützen). Die obige Gleichung kann für die kritische Temperatur gelöst werden: ${\ displaystyle N _ {\ rm {m}}}$

{\ displaystyle T _ {\ rm {c}} = \ left ({\ frac {N} {\ zeta (\ alpha)}} \ right) ^ {1 / \ alpha} {\ frac {E _ {\ rm {c }}} {k _ {\ rm {B}}}}}

Zum Beispiel erhalten wir für das dreidimensionale Bose-Gas in einer Box ( und unter Verwendung des oben angegebenen Wertes von ): ${\ displaystyle \ alpha = 3/2}$ ${\ textstyle E _ {\ rm {c}}}$

{\ displaystyle T _ {\ rm {c}} = \ left ({\ frac {N} {Vf \ zeta (3/2)}} \ right) ^ {2/3} {\ frac {h ^ {2} } {2 \ pi mk _ {\ rm {B}}}}

Für & agr; ≤ 1, gibt es keine Obergrenze für die Anzahl der Teilchen ( divergiert , wenn z 1 nähert), und damit beispielsweise für ein Gas in einem ein- oder zweidimensionalen Kasten ( und jeweils) Es gibt keine kritische Temperatur. ${\ displaystyle N _ {\ rm {m}}}$ ${\ displaystyle \ alpha = 1/2}$ ${\ displaystyle \ alpha = 1}$

Einbeziehung des Grundzustands

Das obige Problem wirft die Frage für α > 1 auf: Was passiert, wenn ein Bose-Gas mit einer festen Anzahl von Partikeln unter die kritische Temperatur abgesenkt wird? Das Problem hierbei ist, dass die Thomas-Fermi-Näherung die Entartung des Grundzustands auf Null gesetzt hat, was falsch ist. Es gibt keinen Grundzustand, um das Kondensat aufzunehmen, und so verschwinden Partikel einfach aus dem Kontinuum der Zustände. Es stellt sich jedoch heraus, dass die makroskopische Gleichung eine genaue Schätzung der Anzahl von Partikeln in den angeregten Zuständen liefert, und es ist keine schlechte Annäherung, einfach einen Grundzustandsterm "anzuheften", um die Partikel zu akzeptieren, die aus dem Zustand herausfallen Kontinuum:

{\ displaystyle N = N_ {0} + N _ {\ rm {m}} = N_ {0} + {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {(\ beta E_ { \ rm {c}}) ^ {\ alpha}}}}

wobei N ₀ die Anzahl der Partikel im Grundzustandskondensat ist.

Wenn also in der makroskopischen Grenze T < T _{c ist} , wird der Wert von z auf 1 festgelegt und N ₀ nimmt den Rest der Partikel auf. Für T > T _c gibt es das normale Verhalten mit N ₀ = 0. Dieser Ansatz gibt den Anteil der kondensierten Partikel an der makroskopischen Grenze an:

{\ displaystyle {\ frac {N_ {0}} {N}} = {\ begin {case} 1- \ left ({\ frac {T} {T _ {\ rm {c}}} \ right) ^ { \ alpha} & {\ mbox {if}} \ alpha> 1 {\ mbox {und}} T <T _ {\ rm {c}}, \\ 0 & {\ mbox {sonst}}. \ end {case}} }}

Ungefähres Verhalten in kleinen Bose-Gasen

Abbildung 1: Verschiedene Bose-Gasparameter als Funktion der normalisierten Temperatur τ. Der Wert von α ist 3/2. Durchgezogene Linien stehen für N = 10.000, gepunktete Linien für N = 1000. Schwarze Linien sind der Anteil an angeregten Partikeln, blaue sind der Anteil an kondensierten Partikeln. Das Negativ des chemischen Potentials μ ist rot dargestellt, und grüne Linien sind die Werte von z. Es wurde angenommen, dass k = & _epsi ; _c = 1 ist.

Für kleinere mesoskopische Systeme (zum Beispiel mit nur Tausenden von Partikeln) kann der Grundzustandsterm expliziter angenähert werden, indem ein tatsächliches diskretes Niveau bei der Energie ε = 0 im großen Potential hinzugefügt wird :

{\ displaystyle \ Omega = g_ {0} \ ln (1-z) + \ Omega _ {\ rm {m}}}

was stattdessen gibt . Jetzt ist das Verhalten beim Überschreiten der kritischen Temperatur glatt und z nähert sich 1 sehr genau, erreicht es jedoch nicht. ${\ displaystyle N_ {0} = {\ frac {g_ {0} \, z} {1-z}}}$

Dies kann nun bis zum absoluten Nullpunkt der Temperatur gelöst werden. 1 zeigt die Ergebnisse der Lösung dieser Gleichung für α = 3/2 mit k = ε _c = 1, was einem Gas von Bosonen in einer Box entspricht . Die durchgezogene schwarze Linie ist der Anteil der angeregten Zustände 1-N ₀ / N für N = 10.000 und die gepunktete schwarze Linie ist die Lösung für N = 1000. Die blauen Linien sind der Anteil der kondensierten Partikel N ₀ / N. Die roten Linien zeigen die Werte des Negativs des chemischen Potentials μ und die grünen Linien die entsprechenden Werte von z . Die horizontale Achse ist die durch definierte normalisierte Temperatur τ

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {T} {T _ {\ rm {c}}}}

Es ist ersichtlich, dass jeder dieser Parameter in τ ^α an der Grenze der niedrigen Temperatur linear und mit Ausnahme des chemischen Potentials in 1 / τ ^α an der Grenze der hohen Temperatur linear wird. Mit zunehmender Partikelanzahl tendieren die kondensierten und angeregten Fraktionen zu einer Diskontinuität bei der kritischen Temperatur.

Die Gleichung für die Anzahl der Partikel kann in Bezug auf die normalisierte Temperatur wie folgt geschrieben werden:

{\ displaystyle N = {\ frac {g_ {0} \, z} {1-z}} + N ~ {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {\ zeta ( \ alpha)}} ~ \ tau ^ {\ alpha}}

Für ein gegebenes N und τ kann diese Gleichung für τ ^α gelöst werden, und dann kann eine Reihenlösung für z durch das Verfahren der Inversion von Reihen gefunden werden , entweder in Potenzen von τ ^α oder als asymptotische Expansion in inversen Potenzen von τ ^α . Aus diesen Erweiterungen können wir das Verhalten des Gases in der Nähe von T = 0 und im Maxwell-Boltzmann ermitteln, wenn sich T der Unendlichkeit nähert. Insbesondere interessiert uns die Grenze, wenn sich N der Unendlichkeit nähert, was aus diesen Erweiterungen leicht bestimmt werden kann.

Dieser Ansatz zur Modellierung kleiner Systeme kann jedoch tatsächlich unrealistisch sein, da die Varianz in der Anzahl der Partikel im Grundzustand sehr groß ist und der Anzahl der Partikel entspricht. Im Gegensatz dazu ist die Varianz der Partikelanzahl in einem normalen Gas nur die Quadratwurzel der Partikelanzahl, weshalb sie normalerweise ignoriert werden kann. Diese hohe Varianz ist auf die Wahl zurückzuführen, das große kanonische Ensemble für das gesamte System einschließlich des Kondensatzustands zu verwenden.

Thermodynamik kleiner Gase

Erweitert ist das große Potenzial:

{\ displaystyle \ Omega = g_ {0} \ ln (1-z) - {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha +1} (z)} {\ left (\ beta E _ {\ rm {c}} \ right) ^ {\ alpha}}}}

Aus diesem Potential können alle thermodynamischen Eigenschaften berechnet werden. In der folgenden Tabelle sind verschiedene thermodynamische Größen aufgeführt, die an der Grenze der niedrigen und hohen Temperatur sowie an der Grenze der unendlichen Partikelanzahl berechnet wurden. Ein Gleichheitszeichen (=) zeigt ein genaues Ergebnis an, während ein Näherungssymbol anzeigt, dass nur die ersten Terme einer Reihe in angezeigt werden. ${\ displaystyle \ tau ^ {\ alpha}}$

Menge	Allgemeines	${\ displaystyle T \ ll T_ {c} \,}$	${\ displaystyle T \ gg T_ {c} \,}$
${\ displaystyle z}$		${\ displaystyle \ approx {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {\ tau ^ {\ alpha}}} - {\ frac {\ zeta ^ {2} (\ alpha)} {2 ^ {\ alpha} \ tau ^ {2 \ alpha}}}}$	${\ displaystyle = 1 \,}$
Dampffraktion ${\ displaystyle 1 - {\ frac {N_ {0}} {N}} \,}$	${\ displaystyle = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}$	${\ displaystyle = \ tau ^ {\ alpha} \,}$	${\ displaystyle = 1 \,}$
Staatsgleichung ${\ displaystyle {\ frac {PV \ beta} {N}} = - {\ frac {\ Omega} {N}} \,}$	${\ displaystyle = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha \! + \! 1} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}$	${\ displaystyle = {\ frac {\ zeta (\ alpha \! + \! 1)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}$	${\ displaystyle \ ca. 1 - {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {2 ^ {\ alpha \! + \! 1} \ tau ^ {\ alpha}}}$
Gibbs Freie Energie ${\ displaystyle G = \ ln (z) \,}$	${\ displaystyle = \ ln (z) \,}$	${\ displaystyle = 0 \,}$	${\ displaystyle \ approx \ ln \ left ({\ frac {\ zeta (\ alpha)} {\ tau ^ {\ alpha}}} \ right) - {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {2 ^ { \ alpha} \ tau ^ {\ alpha}}}}$

Es ist ersichtlich, dass sich alle Größen den Werten für ein klassisches ideales Gas im Grenzbereich großer Temperaturen nähern . Die obigen Werte können verwendet werden, um andere thermodynamische Größen zu berechnen. Zum Beispiel ist das Verhältnis zwischen innerer Energie und dem Produkt aus Druck und Volumen das gleiche wie das für ein klassisches ideales Gas über alle Temperaturen:

{\ displaystyle U = {\ frac {\ partielle \ Omega} {\ partielle \ beta}} = \ alpha PV}

Eine ähnliche Situation gilt für die spezifische Wärme bei konstantem Volumen

{\ displaystyle C_ {V} = {\ frac {\ partielles U} {\ partielles T}} = k _ {\ rm {B}} (\ alpha +1) \, U \ beta}

Die Entropie ist gegeben durch:

{\ displaystyle TS = U + PV-G \,}

Beachten Sie, dass wir in der Grenze der hohen Temperatur haben

{\ displaystyle TS = (\ alpha +1) + \ ln \ left ({\ frac {\ tau ^ {\ alpha}} {\ zeta (\ alpha)}} \ right)}

Dies ist für α = 3/2 einfach eine Wiederholung der Sackur-Tetrode-Gleichung . In einer Dimension verhalten sich Bosonen mit Delta-Wechselwirkung wie Fermionen, sie gehorchen dem Pauli-Ausschlussprinzip . In einer Dimension kann Bose-Gas mit Delta-Wechselwirkung durch Bethe-Ansatz exakt gelöst werden . Die freie Masse und die thermodynamischen Potentiale wurden von Chen-Ning Yang berechnet . In einem eindimensionalen Fall wurden auch Korrelationsfunktionen bewertet. In einer Dimension entspricht Bose-Gas der nichtlinearen Quanten -Schrödinger-Gleichung .

Verweise

Allgemeine Hinweise

Huang, Kerson (1967). Statistische Mechanik . New York: John Wiley und Söhne.
Isihara, A. (1971). Statistische Physik . New York: Akademische Presse.
Landau, LD; EM Lifshitz (1996). Statistische Physik, 3. Auflage Teil 1 . Oxford: Butterworth-Heinemann.
Pethick, CJ; H. Smith (2004). Bose-Einstein-Kondensation in verdünnten Gasen . Cambridge: Cambridge University Press.
Yan, Zijun (2000). "Allgemeine thermische Wellenlänge und ihre Anwendungen" (PDF) . EUR. J. Phys . 21 (6): 625–631. Bibcode : 2000EJPh ... 21..625Y . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 21/6/314 .

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