Einfacher Komplex - Simplicial complex

In der Mathematik ist ein simplizialer Komplex eine Menge bestehend aus Punkten , Liniensegmenten , Dreiecken und ihren n- dimensionalen Gegenstücken (siehe Abbildung). Simpliziale Komplexe sollten nicht mit der abstrakteren Vorstellung einer simplizialen Menge verwechselt werden , die in der modernen simplizialen Homotopietheorie auftaucht . Das rein kombinatorische Gegenstück zu einem simplizialen Komplex ist ein abstrakter simplizialer Komplex .

Definitionen

Ein Simplizialkomplex ist ein Satz von Simplizes , der die folgenden Bedingungen erfüllt: ${\displaystyle {\mathcal{K}}}$

1. Jedes Gesicht eines Simplex aus ist auch in .${\displaystyle {\mathcal{K}}}$${\displaystyle {\mathcal{K}}}$

2. Die nichtleere Schnittmenge zweier Simplizes ist eine Seite von beiden und .${\displaystyle \sigma_{1},\sigma_{2}\in {\mathcal{K}}}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma_{2}}$

Siehe auch die Definition eines abstrakten simplizialen Komplexes , der grob gesagt ein simplizialer Komplex ohne zugehörige Geometrie ist.

Ein simplizialer k- Komplex ist ein simplizialer Komplex, bei dem die größte Dimension eines Simplex gleich k ist . Zum Beispiel muss ein simplizialer 2-Komplex mindestens ein Dreieck enthalten und darf keine Tetraeder oder höherdimensionalen Simplizes enthalten. ${\displaystyle {\mathcal{K}}}$${\displaystyle {\mathcal{K}}}$

Ein reiner oder homogener simplizialer k- Komplex ist ein simplizialer Komplex, bei dem jedes Simplex der Dimension kleiner als k eine Seite eines Simplex der Dimension genau k ist . Formlos ein reines 1-Komplex „Aussehen“ , wie es aus einer Reihe von Linien ist, ein 2-Komplex „Aussehen“ , wie es von einer Reihe von Dreiecken, usw. Ein Beispiels eines gemacht ist nicht -homogeneous Komplexes ist ein Dreieck mit einem Liniensegment, das mit einem seiner Scheitelpunkte verbunden ist. Reine simpliziale Komplexe können als Triangulationen betrachtet werden und liefern eine Definition von Polytopen . ${\displaystyle {\mathcal{K}}}$${\displaystyle \sigma\in {\mathcal{K}}}$

Eine Facette ist ein beliebiger Simplex in einem Komplex, der kein Face eines größeren Simplex ist. (Beachten Sie den Unterschied zu einem "Gesicht" eines Simplex). Einen reinen simplizialen Komplex kann man sich als einen Komplex vorstellen, bei dem alle Facetten die gleiche Dimension haben.

Manchmal wird der Begriff Gesicht verwendet, um sich auf ein Simplex eines Komplexes zu beziehen, nicht zu verwechseln mit einem Gesicht eines Simplex.

Bei einem simplizialen Komplex, der in einen k- dimensionalen Raum eingebettet ist, werden die k- Flächen manchmal als seine Zellen bezeichnet . Der Begriff Zelle wird manchmal in einem weiteren Sinne verwendet, um eine Menge zu bezeichnen, die zu einem Simplex homöomorph ist , was zur Definition des Zellkomplexes führt .

Der zugrunde liegende Raum , manchmal auch Träger eines simplizialen Komplexes genannt, ist die Vereinigung seiner Simplizien .

Verschluss, Stern und Link

• 

  Zwei Vereinfachungen und ihr Abschluss .

• 

  Ein Scheitel und sein Stern .

• 

  Ein Scheitelpunkt und sein Link .

Sei K ein Simplizialkomplex und sei S eine Sammlung von Simplizes in K .

Der Abschluss von S (bezeichnet ) ist der kleinste simpliziale Unterkomplex von K , der jeden Simplex in S enthält . erhält man, indem man jede Seite jedes Simplex in S wiederholt zu S addiert . ${\displaystyle\mathrm{Cl}\S}$${\displaystyle\mathrm{Cl}\S}$

Der Stern von S (bezeichnet ) ist die Vereinigung der Sterne jedes Simplex in S . Für ein einzelnes Simplex s ist der Stern von s die Menge von Simplizes mit s als Gesicht. Der Stern von S ist im Allgemeinen selbst kein simplizialer Komplex, daher definieren einige Autoren den geschlossenen Stern von S (bezeichnet ) als den Abschluss des Sterns von S. ${\displaystyle \mathrm {st} \ S}$${\displaystyle\mathrm{St}\S}$${\displaystyle \mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \ S}$

Die Verbindung von S (bezeichnet ) ist gleich . Es ist der geschlossene Stern von S abzüglich der Sterne aller Seiten von S . ${\displaystyle\mathrm{Lk}\S}$${\displaystyle \mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \ S\setminus \mathrm {st} \ \mathrm {Cl} \ S}$

Algebraische Topologie

In der algebraischen Topologie sind Simplizialkomplexe oft für konkrete Berechnungen nützlich. Zur Definition von Homologiegruppen eines simplizialen Komplexes kann man den entsprechenden Kettenkomplex direkt ablesen , vorausgesetzt, alle Simplizes werden konsistent orientiert. Die Anforderungen der Homotopietheorie führen zur Verwendung allgemeinerer Räume, der CW-Komplexe . Unendliche Komplexe sind ein technisches Grundwerkzeug der algebraischen Topologie. Siehe auch die Diskussion bei Polytope von simplizialen Komplexen als Unterräume des euklidischen Raums , die aus Untermengen bestehen, von denen jede ein Simplex ist . Dieses etwas konkretere Konzept wird dort Alexandrov zugeschrieben . Jeder endliche simpliziale Komplex in dem hier angesprochenen Sinne kann in diesem Sinne als Polytop in einer Vielzahl von Dimensionen eingebettet werden. In der algebraischen Topologie wird ein kompakter topologischer Raum, der zur geometrischen Realisierung eines endlichen simplizialen Komplexes homöomorph ist, normalerweise als Polyeder bezeichnet (siehe Spanier 1966 , Maunder 1996 , Hilton & Wylie 1967 ).

Kombinatorik

Kombinatoriker untersuchen oft den f- Vektor eines simplizialen d-Komplexes Δ, der die ganzzahlige Folge ist , wobei f _i die Anzahl der ( i −1)-dimensionalen Flächen von Δ ist (nach Konvention f ₀  = 1, es sei denn, Δ ist die leerer Komplex). Wenn zum Beispiel Δ die Grenze des Oktaeders ist , dann ist sein f -Vektor (1, 6, 12, 8) und wenn Δ der erste oben abgebildete simpliziale Komplex ist, ist sein f -Vektor (1, 18, 23 , 8, 1). Eine vollständige Charakterisierung der möglichen f- Vektoren simplizialer Komplexe wird durch den Satz von Kruskal-Katona gegeben . ${\displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},\ldots,f_{d+1})}$

Durch die Verwendung der f -vector eines simplizialer d -Komplex Δ als Koeffizienten eines Polynoms (geschrieben in der Reihenfolge der abnehmenden Exponenten), erhalten wir die f-Polynom von Δ. In unseren beiden oben genannten Beispielen die f würde -polynomials sein und sind. ${\displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8}$${\displaystyle x^{4}+18x^{3}+23x^{2}+8x+1}$

Kombinatoristen interessieren sich oft sehr für den h-Vektor eines simplizialen Komplexes Δ, das ist die Folge von Koeffizienten des Polynoms, die sich aus  dem Einsetzen von x − 1 in das f- Polynom von ergibt. Formal, wenn wir F _Δ ( x ) schreiben , um das f -Polynom von Δ zu bedeuten , dann ist das h-Polynom von Δ

${\displaystyle F_{\Delta}(x-1)=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{d}+h_{2}x^{d-1}+\cdots +h_{d}x+h_{d+1}}$

und der h -Vektor von Δ ist

${\displaystyle (h_{0},h_{1},h_{2},\cdots,h_{d+1}).}$

Den h-Vektor der Oktaedergrenze (unser erstes Beispiel) berechnen wir wie folgt:

${\displaystyle F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2 }+3x+1.}$

Der h- Vektor des Randes des Oktaeders ist also (1, 3, 3, 1). Es ist kein Zufall, dass dieser h- Vektor symmetrisch ist. Tatsächlich passiert dies immer dann, wenn Δ die Grenze eines simplizialen Polytops ist (dies sind die Dehn-Sommerville-Gleichungen ). Im Allgemeinen ist der h- Vektor eines simplizialen Komplexes jedoch nicht einmal unbedingt positiv. Nehmen wir zum Beispiel Δ als den 2-Komplex an, der durch zwei Dreiecke gegeben wird, die sich nur an einer gemeinsamen Ecke schneiden, dann ist der resultierende h- Vektor (1, 3, −2).

Eine vollständige Charakterisierung aller simplizialen polytopen h- Vektoren wird durch den berühmten g-Satz von Stanley , Billera und Lee gegeben.

Simpliziale Komplexe haben die gleiche geometrische Struktur wie der Kontaktgraph einer Kugelpackung (ein Graph, bei dem Eckpunkte die Mittelpunkte von Kugeln sind und Kanten existieren, wenn sich die entsprechenden Packungselemente berühren) und können als solche verwendet werden, um die Kombinatorik von Kugelpackungen , wie die Anzahl der sich berührenden Paare (1-Simplices), sich berührenden Tripletts (2-Simplices) und sich berührenden Quadrupel (3-Simplices) in einer Kugelpackung.

Siehe auch

• Abstrakter simpler Komplex
• Baryzentrische Unterteilung
• Kausale dynamische Triangulation
• Delta-Set
• Polygonale Kette  – 1-dimensionaler simplizialer Komplex
• Tuckers Lemma

Verweise

• Spanier, Edwin H. (1966), Algebraische Topologie , Springer, ISBN 0-387-94426-5
• Maunder, Charles RF (1996), Algebraic Topology (Nachdruck der Ausgabe von 1980), Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-69131-4, MR  1402473
• Hilton, Peter J. ; Wylie, Shaun (1967), Homologietheorie , New York: Cambridge University Press , ISBN 0-521-09422-4, MR  0115161

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Simplizialer Komplex" . MathWorld .
• Norman J. Wildberger. „Einfache und simpliziale Komplexe“. Ein Youtube-Talk. .