Einfaches Set - Simplicial set

In der Mathematik ist eine simpliziale Menge ein Objekt, das auf eine bestimmte Weise aus "simplices" besteht. Simpliziale Mengen sind höherdimensionale Verallgemeinerungen von gerichteten Graphen , teilgeordneten Mengen und Kategorien . Formal kann eine simpliziale Menge als kontravarianter Funktor von der Simplex-Kategorie zur Kategorie der Mengen definiert werden . Simple Sets wurden 1950 von Samuel Eilenberg und JA Zilber eingeführt.

Man kann eine simpliziale Menge als eine rein kombinatorische Konstruktion betrachten, die entworfen wurde, um den Begriff eines " wohlerzogenen " topologischen Raums für die Zwecke der Homotopietheorie zu erfassen . Insbesondere trägt die Kategorie der simplizialen Mengen eine natürliche Modellstruktur , und die entsprechende Homotopiekategorie entspricht der bekannten Homotopiekategorie topologischer Räume.

Simplicial Sets werden verwendet, um Quasi-Kategorien zu definieren , ein Grundbegriff der Theorie höherer Kategorien . Eine der simplizialen Menge analoge Konstruktion kann in jeder Kategorie durchgeführt werden, nicht nur in der Kategorie der Mengen, was den Begriff der simplizialen Objekte ergibt .

Motivation

Eine simpliziale Menge ist ein kategoriales (d. h. rein algebraisches) Modell, das diejenigen topologischen Räume erfasst, die aus Simplizes und deren Inzidenzrelationen aufgebaut (oder bis zur Homotopie getreu dargestellt) werden können . Dies ähnelt dem Ansatz von CW-Komplexen zur Modellierung topologischer Räume, mit dem entscheidenden Unterschied, dass simpliziale Mengen rein algebraisch sind und keine tatsächliche Topologie tragen.

Um wieder zu tatsächlichen topologischen Räumen gibt es eine geometrische Realisierung Funktors die Simpliziale Menge in dreht kompakt erzeugt Hausdorff - Räume . Die meisten klassischen Ergebnisse zu CW-Komplexen in der Homotopietheorie werden durch analoge Ergebnisse für simpliziale Mengen verallgemeinert. Während algebraische Topologen weiterhin überwiegend CW-Komplexe bevorzugen, gibt es eine wachsende Zahl von Forschern, die daran interessiert sind, simpliziale Sätze für Anwendungen in der algebraischen Geometrie zu verwenden, wo CW-Komplexe natürlicherweise nicht existieren.

Intuition

Simpliziale Mengen können als höherdimensionale Verallgemeinerung von gerichteten Multigraphen angesehen werden . Ein simplizialer Satz enthält Scheitelpunkte (in diesem Zusammenhang als "0-simplices" bekannt) und Pfeile ("1-simplices") zwischen einigen dieser Scheitelpunkte. Zwei Scheitelpunkte können durch mehrere Pfeile verbunden werden, und gerichtete Schleifen, die einen Scheitelpunkt mit sich selbst verbinden, sind ebenfalls erlaubt. Im Gegensatz zu gerichteten Multigraphen können Simplizialmengen auch höhere Simplizes enthalten. Ein 2-Simplex kann man sich zum Beispiel als eine zweidimensionale "dreieckige" Form vorstellen, die von einer Liste von drei Scheitelpunkten A , B , C und drei Pfeilen B  →  C , A  →  C und A  →  B begrenzt wird . Im Allgemeinen ist ein n- Simplex ein Objekt, das aus einer Liste von n  + 1 Knoten (die 0-Simplexe sind) und n  + 1 Flächen (die ( n  − 1)-Simplexe sind) besteht. Die Eckpunkte der i- ten Fläche sind die Eckpunkte des n- Simplex minus dem i- ten Eckpunkt. Die Scheitelpunkte eines Simplex müssen nicht verschieden sein und ein Simplex wird nicht durch seine Scheitelpunkte und Flächen bestimmt: Zwei verschiedene Simplizes können dieselbe Liste von Flächen (und damit dieselbe Liste von Scheitelpunkten) teilen, genau wie zwei verschiedene Pfeile in einem Multigraphen können verbinde die gleichen zwei Ecken.

Simpliziale Mengen sollten nicht mit abstrakten simplizialen Komplexen verwechselt werden , die eher einfache ungerichtete Graphen als gerichtete Multigraphen verallgemeinern .

Formal ist eine simpliziale Menge X eine Sammlung von Mengen X _n , n  = 0, 1, 2, ..., zusammen mit bestimmten Abbildungen zwischen diesen Mengen: die Facemaps d _{n , i}  :  X _n  →  X _{n −1} ( n  = 1, 2, 3, ... und 0 ≤  i  ≤  n ) und Entartungskarten s _{n , i}  :  X _n → X _{n +1} ( n  = 0, 1, 2, ... und 0 ≤  i  ≤  n. ). Wir stellen uns die Elemente von X _n als die n- Simplices von X vor . Die Abbildung d _{n , i} weist jedem solchen n- Simplex seine i- te Fläche zu, die dem i- ten Scheitel "entgegengesetzte" (dh nicht enthaltende) Fläche . Die Abbildung s _{n , i} ordnet jedem n- Simplex den entarteten ( n +1)-Simplex zu, der aus dem gegebenen durch Duplizieren des i- ten Knotens entsteht. Diese Beschreibung erfordert implizit gewisse Konsistenzbeziehungen zwischen den Abbildungen d _{n , i} und s _{n , i} . Anstatt diese simplizialen Identitäten explizit als Teil der Definition zu verlangen , verwendet die kurze und elegante moderne Definition die Sprache der Kategorientheorie .

Formale Definition

Sei Δ die Simplex-Kategorie . Die Objekte von Δ sind nichtleere linear geordnete Mengen der Form

[ n ] = {0, 1, ..., n }

mit n ≥0. Die Morphismen in Δ sind (nicht streng) ordnungserhaltende Funktionen zwischen diesen Mengen.

Eine simpliziale Menge X ist ein kontravarianter Funktor

X  : Δ → Set

wobei Set die Kategorie der Sets ist . (Alternativ und äquivalent kann man simpliziale Mengen als kovariante Funktoren der entgegengesetzten Kategorie Δ ^op zu Menge definieren .) Simpliziale Mengen sind also nichts anderes als Vorgarben auf Δ. Bei einer simplizialen Menge X schreiben wir oft X _n statt X ([ n ]).

Simplizielle Mengen bilden eine Kategorie, die normalerweise als sSet bezeichnet wird , deren Objekte simpliziale Mengen sind und deren Morphismen natürliche Transformationen zwischen ihnen sind.

Betrachten wir kovariante Funktoren X  : Δ → Menge statt kontravariante, so kommen wir zur Definition einer kosimplizialen Menge . Die entsprechende Kategorie von kosimplizialen Mengen wird mit cSet bezeichnet .

Gesichts- und Entartungskarten

Die Simplex - Kategorie Δ wird durch zwei besonders wichtige Familien von morphisms (Karten), deren Bilder unter einer gegebenen Simpliziale Menge Funktors erzeugt genannt Gesicht Karten und Entartung Karten dieser Simpliziale Menge.

Die Face Maps einer simplizialen Menge X sind die Bilder in dieser simplizialen Menge der Morphismen , wobei die einzige (ordnungserhaltende) Injektion "fehlt" . Bezeichnen wir diese Gesichtskarten mit jeweils, so dass eine Karte ist . Wenn der erste Index klar ist, schreiben wir statt . ${\displaystyle \delta^{n,0},\dotsc ,\delta^{n,n}\colon [n-1]\to [n]}$${\displaystyle \delta ^{n,i}}$${\displaystyle [n-1]\to [n]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle d_{n,0},\dotsc ,d_{n,n}}$${\displaystyle d_{n,i}}$${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle d_{n,i}}$

Die Entartungskarten der simplizialen Menge X sind die Bilder in dieser simplizialen Menge der Morphismen , wo die einzige (ordnungserhaltende) Surjektion ist , die zweimal "trefft" . Bezeichnen wir diese Entartungskarten mit entsprechend, so dass eine Karte ist . Wenn der erste Index klar ist, schreiben wir statt . ${\displaystyle \sigma^{n,0},\dotsc ,\sigma^{n,n}\colon [n+1]\to [n]}$${\displaystyle \sigma^{n,i}}$${\displaystyle [n+1]\to [n]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}}$${\displaystyle s_{n,i}}$${\displaystyle X_{n}\to X_{n+1}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{n,i}}$

Die definierten Karten erfüllen die folgenden simpliziellen Identitäten :

1. ${\displaystyle d_{i}d_{j}=d_{j-1}d_{i}}$ wenn ich < j . (Dies ist die Abkürzung für if 0 ≤ i < j ≤ n .)${\displaystyle d_{n-1,i}d_{n,j}=d_{n-1,j-1}d_{n,i}}$
2. ${\displaystyle d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}}$ wenn ich < j .
3. ${\displaystyle d_{i}s_{j}={\text{id}}}$wenn i = j oder i = j  + 1.
4. ${\displaystyle d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}}$ wenn i > j  + 1.
5. ${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}}$ wenn ich ≤ j .

Umgekehrt kann eine Folge von Sätzen gegebenen X _n zusammen mit Landkarten und daß erfüllen die simplizialer Identitäten, gibt es eine einzigartige Simpliziale Menge X , die diese Fläche und Entartung Karten hat. Die Identitäten bieten also eine alternative Möglichkeit, simpliziale Mengen zu definieren. ${\displaystyle d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}}$

Beispiele

Gegeben eine partiell geordnete Menge ( S ,≤) können wir eine simpliziale Menge NS , den Nerv von S , wie folgt definieren: für jedes Objekt [ n ] von Δ setzen wir NS ([ n ]) = hom _po-Menge ( [ n ] , S ), die ordnungserhaltenden Abbildungen von [ n ] nach S . Jeder Morphismus φ:[ n ]→[ m ] in Δ ist eine ordnungserhaltende Abbildung und induziert über Komposition eine Abbildung NS (φ) : NS ([ m ]) → NS ([ n ]). Es ist einfach zu überprüfen, dass NS ein kontravarianter Funktor von Δ zu Set ist : eine simpliziale Menge.

Konkret kann man sich die n- simplices des Nervs NS , also die Elemente von NS _n = NS ([ n ]), als geordnete Längen-( n +1) Folgen von Elementen aus S vorstellen : ( a ₀  ≤  a ₁  ≤ ... ≤  a _n ). Die Gesichtsabbildung d _i lässt das i- te Element aus einer solchen Liste fallen, und die Entartungsabbildung s _i dupliziert das i- te Element.

Eine ähnliche Konstruktion kann für jede Kategorie C durchgeführt werden , um den Nerv NC von C zu erhalten . Dabei ist NC ([ n ]) die Menge aller Funktoren von [ n ] bis C , wobei wir [ n ] als eine Kategorie mit den Objekten 0,1,..., n und einem einzelnen Morphismus von i nach j betrachten, wann immer i  ≤  j .

Konkret kann man sich die n- simplices des Nervs NC als Folgen von n zusammensetzbaren Morphismen in C vorstellen : a ₀  →  a ₁  → ... →  a _n . (Insbesondere sind die 0-Simplices die Objekte von C und die 1-Simplices die Morphismen von C. ) Die Facemap d ₀ löscht den ersten Morphismus aus einer solchen Liste, die Facemap d _n löscht den letzten und die face map d _i für 0 <  i  <  n lässt a _{i fallen} und setzt den i- ten und ( i  + 1)-ten Morphismus zusammen. Die Entartungskarten s _i verlängern die Sequenz durch Einfügen eines Identitätsmorphismus an Position  i .

Wir können das Poset S aus dem Nerv NS und die Kategorie C aus dem Nerv NC zurückgewinnen ; in diesem Sinne verallgemeinern simpliziale Mengen Posets und Kategorien.

Eine weitere wichtige Klasse von Beispielen simplizialer Mengen ist die singuläre Menge SY eines topologischen Raums Y . Hier besteht SY _n aus allen stetigen Abbildungen vom topologischen Standard- n- Simplex bis Y . Der singuläre Satz wird weiter unten erklärt.

Der Standard- n- Simplex und die Kategorie der Simplizes

Der Standard- n- Simplex , mit ^{n bezeichnet} , ist eine simpliziale Menge, die als Funktor hom _Δ (-, [ n ]) definiert ist, wobei [ n ] die geordnete Menge {0, 1, ... , n } des ersten ( n + 1) nichtnegative ganze Zahlen. (In vielen Texten wird es stattdessen als hom([ n ],-) geschrieben, wobei das homset als in die entgegengesetzte Kategorie fallend verstanden wird Δ ^op .)

Nach dem Yoneda-Lemma stehen die n- Simplizien einer simplizialen Menge X in 1-1 Korrespondenz mit den natürlichen Transformationen von Δ ⁿ nach X, dh . ${\displaystyle X_{n}=X([n])\cong \operatorname {Nat} (\operatorname {hom} _{\Delta}(-,[n]),X)=\operatorname {hom} _{ \textbf {sSet}}(\Delta ^{n},X)}$

Außerdem führt X zu einer Kategorie von Simplizes , bezeichnet mit , deren Objekte Abbildungen ( dh natürliche Transformationen) Δ ⁿ → X sind und deren Morphismen natürliche Transformationen Δ ⁿ → Δ ^m über X sind, die sich aus Abbildungen [ n ] → [ m ] ergeben. in . Das heißt, ist eine Slice-Kategorie von Δ über X . Der folgende Isomorphismus zeigt, dass eine simpliziale Menge X ein Colimit ihrer Simplizes ist: ${\displaystyle \Delta \downarrow {X}}$${\displaystyle \Delta \downarrow {X}}$

${\displaystyle X\cong\varinjlim_{\Updelta ^{n}\to X}\Updelta ^{n}}$

wobei das Colimit über die Kategorie der Simplizes von X übernommen wird .

Geometrische Realisierung

Es gibt einen Funktor |•|: sSet → CGHaus genannt die geometrische Realisierung, die eine simpliziale Menge X zu ihrer entsprechenden Realisierung in der Kategorie der kompakt erzeugten topologischen Hausdorff-Räume führt . Intuitiv ist die Realisierung von X der topologische Raum (eigentlich ein CW-Komplex ), den man erhält, wenn jedes n- Simplex von X durch ein topologisches n- Simplex ersetzt wird (eine bestimmte n- dimensionale Teilmenge des ( n  + 1)-dimensionalen euklidischen Raums unten definiert) und diese topologischen Simplizes werden so zusammengeklebt, wie die Simplizes von X aneinander hängen. Dabei geht die Orientierung der Simplizes von X verloren.

Um den Realisierungsfunktor zu definieren, definieren wir ihn zunächst auf Standard-n-Simpliziten Δ ⁿ wie folgt: die geometrische Realisierung |Δ ⁿ | ist der topologische Standard n - Simplex in allgemeiner Position gegeben durch

${\displaystyle |\Delta^{n}|=\{(x_{0},\dots,x_{n})\in\mathbb{R}^{n+1}:0\leq x_{i}\ leq 1,\sum x_{i}=1\}.}$

Die Definition erstreckt sich dann natürlich auf jede simpliziale Menge X durch Einstellung

|X| = lim _{Δ ⁿ → X} | Δ ⁿ |

wobei das Colimit über die n-Simplex-Kategorie von X übernommen wird . Die geometrische Realisierung ist auf sSet funktional .

Es ist bezeichnend , dass wir die Kategorie verwenden CGHaus von kompakt generierte Hausdorff Räumen, anstatt die Kategorie Top topologischer Räume, wie die Zielkategorie der geometrischen Realisierung: wie sset und im Gegensatz zu Top , die Kategorie CGHaus ist kartesischer geschlossen ; das kategoriale Produkt ist in den Kategorien Top und CGHaus unterschiedlich definiert , und das in CGHaus entspricht dem in sSet über geometrische Realisierung.

Singuläres Set für einen Raum

Die singuläre Menge eines topologischen Raums Y ist die simpliziale Menge SY definiert durch

( SY ) ([ n ]) = Hom _{T op} (| Δ ⁿ |, Y ) für jedes Objekt [ n ] ∈ Δ.

Jede ordnungserhaltende Abbildung φ:[ n ]→[ m ] induziert eine stetige Abbildung |Δ ⁿ |→|Δ ^m | auf natürliche Weise, die durch Zusammensetzung SY ( φ ) : SY ([ m ]) → SY ([ n ]) ergibt . Diese Definition ist analog zu einer Standardidee in der singulären Homologie des "Untersuchens" eines topologischen Zielraums mit standardmäßigen topologischen n- Simplices. Weiterhin ist die singuläre Funktors S ist rechts adjungierten der geometrischen Realisierung Funktors oben beschrieben, das heißt:

hom _Top (| X |, Y ) ≅ hom _sSet ( X , SY )

für jede simpliziale Menge X und jeden topologischen Raum Y . Intuitiv kann diese Adjunktion wie folgt verstanden werden: Eine stetige Abbildung von der geometrischen Realisierung von X zu einem Raum Y ist eindeutig spezifiziert, wenn wir jedem Simplex von X eine stetige Abbildung aus dem entsprechenden topologischen Standardsimplex zu Y zuordnen, und zwar so such dass diese Karten mit der Art und Weise kompatibel sind, wie die Simplizes in X zusammenhängen.

Homotopietheorie simplizialer Mengen

Um eine Modellstruktur zur Kategorie der simplizialen Mengen zu definieren, muss man Fibrationen, Kofibrationen und schwache Äquivalenzen definieren. Man kann Fibrationen als Kan-Fibrationen definieren . Eine Abbildung simplizialer Mengen wird als schwache Äquivalenz definiert, wenn ihre geometrische Realisierung eine schwache Äquivalenz von Räumen ist. Eine Abbildung simplizialer Mengen wird als Kofibration definiert, wenn sie ein Monomorphismus simplizialer Mengen ist. Es ist ein schwieriger Satz von Daniel Quillen, dass die Kategorie der simplizialen Mengen mit diesen Klassen von Morphismen die Axiome einer echten geschlossenen simplizialen Modellkategorie erfüllt .

Ein entscheidender Wendepunkt der Theorie ist, dass die geometrische Realisierung einer Kan-Faser eine Serre-Faserbildung von Räumen ist. Mit der Modellstruktur an Ort und Stelle kann eine Homotopietheorie simplizialer Mengen unter Verwendung von Standardmethoden der homotopischen Algebra entwickelt werden. Darüber hinaus gibt die geometrische Realisierung und singulärer functors eine Quillen Äquivalenz von geschlossenen Modellkategorie eine Äquivalenz Induzierung

|•|: Ho ( sSet ) ↔ Ho ( Oben )

zwischen der Homotopiekategorie für simpliziale Mengen und der üblichen Homotopiekategorie von CW-Komplexen mit Homotopieklassen stetiger Abbildungen dazwischen. Es gehört zur allgemeinen Definition einer Quillen-Adjunktion, dass der rechtsadjungierte Funktor (in diesem Fall der Singular-Mengenfunktor) Fasern (bzw. triviale Fasern) zu Fasern (bzw. trivialen Fasern) trägt.

Einfache Objekte

Ein simpliziales Objekt X in einer Kategorie C ist ein kontravarianter Funktor

X  : Δ → C

oder äquivalent ein kovarianter Funktor

X : Δ ^op → C,

wobei Δ immer noch die Simplex-Kategorie bezeichnet . Wenn C die Kategorie der Mengen ist , sprechen wir nur von den oben definierten simplizialen Mengen. Wenn C die Kategorie der Gruppen oder die Kategorie der abelschen Gruppen ist , erhalten wir die Kategorien sGrp von simplizialen Gruppen bzw. sAb von simplizialen abelschen Gruppen .

Simpliziale Gruppen und simpliziale abelsche Gruppen tragen auch geschlossene Modellstrukturen, die durch die zugrunde liegenden simplizialen Mengen induziert werden.

Die Homotopiegruppen simplizialer abelscher Gruppen können unter Verwendung der Dold-Kan-Korrespondenz berechnet werden, die eine Äquivalenz der Kategorien zwischen simplizialen abelschen Gruppen und beschränkten Kettenkomplexen ergibt und durch Funktoren

N: sAb → Ch ₊

und

: Ch ₊ →   sAb .

Geschichte und Verwendung von simplizialen Sets

Simplicial Sets wurden ursprünglich verwendet, um präzise und bequeme Beschreibungen von Klassifikationsräumen von Gruppen zu geben . Diese Idee wurde durch Grothendiecks Idee, Kategorienräume zu klassifizieren, und insbesondere durch Quillens Arbeiten zur algebraischen K-Theorie, erheblich erweitert . In dieser Arbeit, die ihm eine Fields-Medaille einbrachte, entwickelte Quillen überraschend effiziente Methoden zur Manipulation unendlicher simplizialer Mengen. Später wurden diese Methoden in anderen Bereichen an der Grenze zwischen algebraischer Geometrie und Topologie verwendet. Beispielsweise ist die André-Quillen-Homologie eines Rings eine "nicht-abelsche Homologie", die auf diese Weise definiert und untersucht wird.

Sowohl die algebraische K-Theorie als auch die André-Quillen-Homologie werden unter Verwendung algebraischer Daten definiert, um eine simpliziale Menge aufzuschreiben und dann die Homotopiegruppen dieser simplizialen Menge zu nehmen.

Simpliziale Methoden sind oft nützlich, wenn man beweisen will, dass ein Raum ein Schleifenraum ist . Die Grundidee ist, dass wenn eine Gruppe mit Klassifikationsraum ist , dann ist Homotopie äquivalent zum Schleifenraum . Wenn selbst eine Gruppe ist, können wir die Prozedur iterieren und ist homotopieäquivalent zum Doppelschleifenraum . Falls es sich um eine abelsche Gruppe handelt, können wir dies tatsächlich unendlich oft wiederholen und erhalten, dass dies ein unendlicher Schleifenraum ist. ${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega BG}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega^{2}B(BG)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Auch wenn es sich nicht um eine abelsche Gruppe handelt, kann es vorkommen, dass sie eine ausreichend kommutative Zusammensetzung hat, so dass man die obige Idee verwenden kann, um zu beweisen, dass es sich um einen unendlichen Schleifenraum handelt. Auf diese Weise kann man beweisen, dass die algebraische Theorie eines Rings, betrachtet als topologischer Raum, ein unendlicher Schleifenraum ist. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$

In den letzten Jahren wurden simpliziale Mengen in der Theorie höherer Kategorien und in der abgeleiteten algebraischen Geometrie verwendet . Quasi-Kategorien kann man sich als Kategorien vorstellen, in denen die Zusammensetzung von Morphismen nur bis zur Homotopie definiert ist und auch Informationen über die Zusammensetzung höherer Homotopien erhalten bleiben. Quasi-Kategorien werden als simpliziale Mengen definiert, die eine zusätzliche Bedingung erfüllen, die schwache Kan-Bedingung.

Siehe auch

• Delta-Set
• Dendroidenmenge , eine Verallgemeinerung der simplizialen Menge
• Einfache Vorgarbe
• Quasi-Kategorie
• Kan-Komplex
• Dold-Kan-Korrespondenz
• Einfache Homotopie
• Einfache Kugel
• Abstrakter simpler Komplex

Anmerkungen

Verweise

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Simplizielle Homotopietheorie . Fortschritte in der Mathematik. 174 . Birkhäuser. doi : 10.1007/978-3-0348-8707-6 . ISBN 978-3-7643-6064-1. MR  1.711.612 .
• Gelfand, Sergej I.; Manin, Yuri I. (2013). Methoden der homologischen Algebra . Springer. ISBN 978-3-662-12492-5.
• Allegretti, Dylan GL "Simplicial Sets and van Kampen's Theorem" (PDF) . CiteSeerX  10.1.1.539.7411 . (Eine elementare Einführung in simpliziale Mengen) .
• Quillen, Daniel (1973). „Höhere algebraische K-Theorie: I“. In Bass, Hyman (Hrsg.). Höhere K-Theorien . Vorlesungsnotizen in Mathematik. 341 . Springer-Verlag. S. 85–147. ISBN 3-540-06434-6.
• Segal, Graeme B. (1974). "Kategorien und Kohomologietheorien" . Topologie . 13 (3): 293–312. doi : 10.1016/0040-9383(74)90022-6 .

Weiterlesen

• Riehl, Emily . "Eine gemächliche Einführung in einfache Sets" (PDF) .
• einfaches Set in nLab