Smith-Minkowski-Siegel-Massenformel - Smith–Minkowski–Siegel mass formula

In der Mathematik ist die Smith-Minkowski-Siegel-Massenformel (oder Minkowski-Siegel-Massenformel ) eine Formel für die Summe der Gewichte der Gitter ( quadratische Formen ) in einer Gattung , gewichtet durch die Kehrwerte der Ordnungen ihrer Automorphismusgruppen . Die Massenformel wird häufig für ganzzahlige quadratische Formen angegeben, kann jedoch über jedes algebraische Zahlenfeld auf quadratische Formen verallgemeinert werden.

In 0- und 1-Dimensionen ist die Massenformel trivial, in 2-Dimensionen entspricht sie im Wesentlichen Dirichlets Klassenzahlformeln für imaginäre quadratische Felder , und in 3 Dimensionen wurden einige Teilergebnisse von Gotthold Eisenstein angegeben . Die Massenformel in höheren Dimensionen wurde zuerst von HJS Smith  ( 1867 ) angegeben, obwohl seine Ergebnisse für viele Jahre vergessen wurden. Es wurde von H. Minkowski  ( 1885 ) wiederentdeckt , und ein Fehler in Minkowskis Artikel wurde von CL Siegel  ( 1935 ) gefunden und korrigiert .

Viele veröffentlichte Versionen der Massenformel weisen Fehler auf. Insbesondere die 2-adischen Dichten sind schwer zu bestimmen, und es wird manchmal vergessen, dass sich die trivialen Fälle der Dimensionen 0 und 1 von den Fällen der Dimension mindestens 2 unterscheiden. Conway & Sloane (1988) geben einen Expository-Bericht und präzise Aussage der Massenformel für ganzzahlige quadratische Formen, die zuverlässig ist, weil sie eine große Anzahl expliziter Fälle überprüft.

Für neuere Beweise der Massenformel siehe ( Kitaoka 1999 ) und ( Eskin, Rudnick & Sarnak 1991 ).

Die Smith-Minkowski-Siegel-Massenformel ist im Wesentlichen der konstante Term der Weil-Siegel-Formel .

Angabe der Massenformel

Wenn f eine n- dimensionale positive definitive integrale quadratische Form (oder ein Gitter) ist, wird die Masse seiner Gattung als definiert

${\ displaystyle m (f) = \ sum _ {\ Lambda} {1 \ over | {\ operatorname {Aut} (\ Lambda)} |}}$

wobei die Summe über alle ganzheitlich inäquivalenten Formen in derselben Gattung wie f liegt und Aut (Λ) die Automorphismusgruppe von Λ ist. Die Form der Massenformel von Conway & Sloane (1988) besagt, dass für n  ≥ 2 die Masse gegeben ist durch

${\ displaystyle m (f) = 2 \ pi ^ {- n (n + 1) / 4} \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ Gamma (j / 2) \ prod _ {p {\ text {prime}}} 2m_ {p} (f)}$

wobei m _p ( f ) die p- Masse von f ist , gegeben durch

${\ displaystyle m_ {p} (f) = {p ^ {(rn (n-1) + s (n + 1)) / 2} \ über N (p ^ {r})}}$

für ausreichend großes r , wobei p ^s die höchste Potenz von p ist, die die Determinante von f teilt . Die Zahl N ( p ^r ) ist die Anzahl von n mal n Matrizen X mit Koeffizienten, die ganze Zahlen mod  p ^{r sind,} so dass  

${\ displaystyle X ^ {\ text {tr}} AX \ equiv A \ {\ bmod {\}} p ^ {r}}$

wobei A die Gram-Matrix von f ist , oder mit anderen Worten die Reihenfolge der Automorphismusgruppe der Form reduziert mod  p ^r .  

Einige Autoren geben die Massenformel als p- adische Dichte an

${\ displaystyle \ alpha _ {p} (f) = {N (p ^ {r}) \ über p ^ {rn (n-1) / 2}} = {p ^ {s (n + 1) / 2 } \ over m_ {p} (f)}}$

anstelle der p- Masse. Die p- Masse ist beim erneuten Skalieren von f invariant , die p- Dichte jedoch nicht.

In den (trivialen) Fällen der Dimension 0 oder 1 muss die Massenformel geändert werden. Der Faktor 2 vorne repräsentiert die Tamagawa-Zahl der speziellen orthogonalen Gruppe, die in den Dimensionen 0 und 1 nur 1 ist. Auch der Faktor 2 vor m _p ( f ) repräsentiert den Index der speziellen orthogonalen Gruppe im Orthogonalen Gruppe, die nur 1 in 0 Dimensionen ist.

Bewertung der Masse

Die Massenformel gibt die Masse als unendliches Produkt über alle Primzahlen an. Dies kann wie folgt als endliches Produkt umgeschrieben werden. Für alle , aber eine endliche Anzahl von Primzahlen (die nicht Dividieren 2 det ( ƒ )) , um die p -Masse m _p ( ƒ ) gleich der Standard - p-Masse std _p ( ƒ ), gegeben durch

${\ displaystyle \ operatorname {std} _ {p} (f) = {1 \ über 2 (1-p ^ {- 2}) (1-p ^ {- 4}) \ dots (1-p ^ {2 -n}) (1 - {(- 1) ^ {n / 2} \ det (f) \ wähle p} p ^ {- n / 2})} \ quad}$(für n  = dim ( ƒ ) gerade)

${\ displaystyle \ operatorname {std} _ {p} (f) = {1 \ über 2 (1-p ^ {- 2}) (1-p ^ {- 4}) \ dots (1-p ^ {1 -n})}}$(für n  = dim ( ƒ ) ungerade)

wobei das Legendre-Symbol in der zweiten Zeile als 0 interpretiert wird, wenn p 2 det ( ƒ ) teilt .

Wenn alle p- Massen ihren Standardwert haben, ist die Gesamtmasse die Standardmasse

${\ displaystyle \ operatorname {std} (f) = 2 \ pi ^ {- n (n + 1) / 4} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {n} \ Gamma (j / 2) \ rechts) \ zeta (2) \ zeta (4) \ dots \ zeta (n-1)}$(Für n  ungerade)

${\ displaystyle \ operatorname {std} (f) = 2 \ pi ^ {- n (n + 1) / 4} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {n} \ Gamma (j / 2) \ rechts) \ zeta (2) \ zeta (4) \ dots \ zeta (n-2) \ zeta _ {D} (n / 2)}$(Für n  gerade)

wo

${\ displaystyle \ zeta _ {D} (s) = \ prod _ {p} {1 \ over 1 - {{\ big (} {\ frac {D} {p}} {\ big)}} p ^ { -s}}}$

D = (−1) ^{n / 2}  det ( ƒ )

Die Werte der Riemannschen Zetafunktion für eine gerade ganze Zahl s werden in Form von Bernoulli-Zahlen durch angegeben

${\ displaystyle \ zeta (s) = {(2 \ pi) ^ {s} \ über 2 \ mal s!} | B_ {s} |.}$

Die Masse von ƒ ist also als endliches Produkt rationaler Zahlen gegeben als

${\ displaystyle m (f) = \ operatorname {std} (f) \ prod _ {p | 2 \ det (f)} {m_ {p} (f) \ over \ operatorname {std} _ {p} (f )}.}$

Auswertung der p- Masse

Wenn die Form f eine p-adische Jordan-Zerlegung hat

${\ displaystyle f = \ sum qf_ {q}}$

wo q durch Potenzen von p läuft und f _q eine bestimmende Primzahl für p und die Dimension n ( q ) hat, dann ist die p- Masse gegeben durch

${\ displaystyle m_ {p} (f) = \ prod _ {q} M_ {p} (f_ {q}) \ times \ prod _ {q <q '} (q' / q) ^ {n (q) n (q ') / 2} \ mal 2 ^ {n (I, I) -n (II)}}$

Hier ist n (II) die Summe der Abmessungen aller Jordan-Komponenten vom Typ 2 und p  = 2, und n (I, I) ist die Gesamtzahl der Paare benachbarter Bestandteile f _q , f _{2 q} , die beide vom Typ sind ICH.

Der Faktor M _p ( f _q ) wird als Diagonalfaktor bezeichnet und ist eine Potenz von p mal der Ordnung einer bestimmten orthogonalen Gruppe über dem Feld mit p Elementen. Für ungerade p ist sein Wert gegeben durch

${\ displaystyle {1 \ over 2 (1-p ^ {- 2}) (1-p ^ {- 4}) \ dots (1-p ^ {1-n})}}$

wenn n ungerade ist oder

${\ displaystyle {1 \ over 2 (1-p ^ {- 2}) (1-p ^ {- 4}) \ dots (1-p ^ {2-n}) (1-p ^ {- n / 2})}}$

wenn n gerade ist und (−1) ^{n / 2} d _q ein quadratischer Rest ist, oder

${\ displaystyle {1 \ over 2 (1-p ^ {- 2}) (1-p ^ {- 4}) \ dots (1-p ^ {2-n}) (1 + p ^ {- n / 2})}}$

wenn n gerade ist und (−1) ^{n / 2} d _q ein quadratischer Nichtrest ist.

Für p  = 2 ist der Diagonalfaktor M _p ( f _q ) notorisch schwierig zu berechnen. (Die Notation ist irreführend, da sie nicht nur von f _q, sondern auch von f _{2 q} und f _{q / 2} abhängt .)

• Wir sagen , dass f _q ist ungerade , wenn es eine ungerade 2-adic ganze Zahl darstellt, und auch aus anderen Gründen .
• Der Oktanwert von f _q ist eine ganze Zahl mod 8; Wenn f _{q gerade} ist, ist sein Oktanwert 0, wenn die Determinante +1 oder –1 mod 8 ist, und 4, wenn die Determinante +3 oder –3 mod 8 ist, während wenn f _q ungerade ist, kann es diagonalisiert werden und seine Oktanzahl Wert ist dann die Anzahl der diagonalen Einträge, die 1 mod 4 sind, abzüglich der Anzahl, die 3 mod 4 sind.
• Wir sagen, dass f _q gebunden ist , wenn mindestens eines von f _{2 q} und f _{q / 2} ungerade ist, und sagen, dass es ansonsten frei ist .
• Die ganze Zahl t ist so definiert, dass die Dimension von f _q 2 t ist, wenn f _{q gerade} ist, und 2 t  + 1 oder 2 t  + 2, wenn f _q ungerade ist.

Dann ist der Diagonalfaktor M _p ( f _q ) wie folgt gegeben.

${\ displaystyle {1 \ over 2 (1-p ^ {- 2}) (1-p ^ {- 4}) \ dots (1-p ^ {- 2t})}}$

wenn die Form gebunden ist oder einen Oktanwert von +2 oder −2 mod 8 oder hat

${\ displaystyle {1 \ over 2 (1-p ^ {- 2}) (1-p ^ {- 4}) \ dots (1-p ^ {2-2t}) (1-p ^ {- t} )}}$

wenn die Form frei ist und einen Oktanwert von -1 oder 0 oder 1 mod 8 oder hat

${\ displaystyle {1 \ over 2 (1-p ^ {- 2}) (1-p ^ {- 4}) \ dots (1-p ^ {2-2t}) (1 + p ^ {- t} )}}$

wenn die Form frei ist und einen Oktanwert von -3 oder 3 oder 4 mod 8 hat.

Bewertung von ζ _D ( s )

Die erforderlichen Werte der Dirichlet-Reihe ζ _D ( s ) können wie folgt bewertet werden. Wir schreiben χ für das Dirichlet-Zeichen, wobei χ ( m ) durch 0 gegeben ist, wenn m gerade ist, und das Jacobi-Symbol, wenn m ungerade ist. Wir schreiben k für den Modul dieses Zeichens und k ₁ für seinen Leiter und setzen χ = χ ₁ ψ, wobei χ ₁ das Hauptzeichen mod k und ψ ein primitives Zeichen mod k _{1 ist} . Dann ${\ displaystyle {\ left ({\ frac {D} {m}} \ right)}}$

${\ displaystyle \ zeta _ {D} (s) = L (s, \ chi) = L (s, \ psi) \ prod _ {p | k} \ left (1 - {\ psi (p) \ over p ^ {s}} \ right)}$

Die Funktionsgleichung für die L-Reihe lautet

${\ displaystyle L (1-s, \ psi) = {k_ {1} ^ {s-1} \ Gamma (s) \ over (2 \ pi) ^ {s}} (i ^ {- s} + \ psi (-1) i ^ {s}) G (\ psi) L (s, \ psi)}$

wobei G die Gauß-Summe ist

${\ displaystyle G (\ psi) = \ sum _ {r = 1} ^ {k_ {1}} \ psi (r) e ^ {2 \ pi ir / k_ {1}}.}$

Wenn s eine positive ganze Zahl ist, dann

${\ displaystyle L (1-s, \ psi) = - {k_ {1} ^ {s-1} \ over s} \ sum _ {r = 1} ^ {k_ {1}} \ psi (r) B_ {s} (r / k_ {1})}$

wobei B _s ( x ) ein Bernoulli-Polynom ist .

Beispiele

Für den Fall auch unimodularer Gitter Λ der Dimension n  > 0, teilbar durch 8, lautet die Massenformel

${\ displaystyle \ sum _ {\ Lambda} {1 \ over | \ operatorname {Aut} (\ Lambda) |} = {| B_ {n / 2} | \ over n} \ prod _ {1 \ leq j <n / 2} {| B_ {2j} | \ over 4j}}$

wobei B _k eine Bernoulli-Zahl ist .

Dimension n = 0

Die obige Formel schlägt für n = 0 fehl , und im Allgemeinen muss die Massenformel in den trivialen Fällen geändert werden, wenn die Dimension höchstens 1 beträgt. Für n = 0 gibt es nur ein Gitter, das Nullgitter, mit dem Gewicht 1, also Die Gesamtmasse beträgt 1.

Dimension n = 8

Die Massenformel gibt die Gesamtmasse als an

${\ displaystyle {| B_ {4} | \ over 8} {| B_ {2} | \ over 4} {| B_ {4} | \ over 8} {| B_ {6} | \ over 12} = {1/30 \ over 8} \; {1/6 \ over 4} \; {1/30 \ over 8} \; {1/42 \ over 12} = {1 \ over 696729600} .}$

Es gibt genau ein unimodulares Gitter der Dimension 8, das E8-Gitter , dessen Automorphismusgruppe die Weyl-Gruppe von E ₈ der Ordnung 696729600 ist. Dies bestätigt also in diesem Fall die Massenformel. Smith gab ursprünglich einen nicht konstruktiven Beweis für die Existenz eines sogar unimodularen Gitters der Dimension 8 unter Verwendung der Tatsache, dass die Masse nicht Null ist.

Dimension n = 16

Die Massenformel gibt die Gesamtmasse als an

${\ displaystyle {| B_ {8} | \ over 16} {| B_ {2} | \ over 4} {| B_ {4} | \ over 8} {| B_ {6} | \ over 12} {| B_ {8} | \ over 16} {| B_ {10} | \ über 20} {| B_ {12} | \ over 24} {| B_ {14} | \ over 28} = {691 \ over 277667181515243520000}.}$

Es gibt zwei gerade unimodulare Gitter der Dimension 16, eines mit Wurzelsystem E ₈ ² und Automorphismusgruppe der Ordnung 2 × 696729600 ² = 970864271032320000 und eines mit Wurzelsystem D ₁₆ und Automorphismusgruppe der Ordnung 2 ¹⁵ 16! = 685597979049984000.

Die Massenformel lautet also

${\ displaystyle {1 \ over 970864271032320000} + {1 \ over 685597979049984000} = {691 \ over 277667181515243520000}.}$

Dimension n = 24

Es gibt 24 sogar unimodulare Gitter der Dimension 24, die Niemeier-Gitter genannt werden . Die Massenformel für sie ist eingecheckt ( Conway & Sloane 1998 , S. 410–413).

Dimension n = 32

Die Masse ist in diesem Fall groß, mehr als 40 Millionen. Dies impliziert, dass es mehr als 80 Millionen sogar unimodulare Gitter der Dimension 32 gibt, da jedes eine Automorphismusgruppe der Ordnung von mindestens 2 aufweist und somit höchstens 1/2 zur Masse beiträgt. Durch die Verfeinerung dieses Arguments zeigte King (2003) , dass es mehr als eine Milliarde solcher Gitter gibt. In höheren Dimensionen nimmt die Masse und damit die Anzahl der Gitter sehr schnell zu.

Verallgemeinerungen

Siegel gab eine allgemeinere Formel an, die die gewichtete Anzahl von Darstellungen einer quadratischen Form nach Formen in einer Gattung zählt; Die Smith-Minkowski-Siegel-Massenformel ist der Sonderfall, wenn eine Form die Nullform ist.

Tamagawa zeigte, dass die Massenformel der Aussage entsprach, dass die Tamagawa-Zahl der orthogonalen Gruppe 2 ist, was der Aussage entspricht, dass die Tamagawa-Zahl ihrer einfach verbundenen Abdeckung der Spingruppe 1 ist. André Weil vermutete allgemeiner, dass die Tamagawa Die Anzahl jeder einfach verbundenen Semisimple-Gruppe ist 1 , und diese Vermutung wurde 1988 von Kottwitz bewiesen.

King (2003) gab eine Massenformel für unimodulare Gitter ohne Wurzeln (oder mit gegebenem Wurzelsystem) an.

Siehe auch

• Siegel Identität

Verweise

• Conway, JH ; Sloane, NJA (1998), Kugelpackungen, Gitter und Gruppen , Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5
• Conway, JH; Sloane, NJA (1988), "Low-Dimensional Lattices. IV. The Mass Formula", Proceedings der Royal Society of London. Serie A, Mathematical and Physical Sciences , 419 (1988): 259–286, Bibcode : 1988RSPSA.419..259C , CiteSeerX  10.1.1.24.2955 , doi : 10.1098 / rspa.1988.0107 , JSTOR  2398465
• Eskin, Alex; Rudnick, Zeév; Sarnak, Peter (1991), "Ein Beweis der Siegelschen Gewichtsformel", International Mathematics Research Notices , 1991 (5): 65–69, doi : 10.1155 / S1073792891000090 , MR  1131433
• King, Oliver (2003), "Eine Massenformel für unimodulare Gitter ohne Wurzeln", Mathematics of Computation , 72 (242): 839–863, arXiv : math.NT / 0012231 , Bibcode : 2003MaCom..72..839K , doi : 10.1090 / S0025-5718-02-01455-2.
• Kitaoka, Yoshiyuki (1999), Arithmetik quadratischer Formen , Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge: Cambridge Univ. Drücken Sie, ISBN 978-0-521-64996-4
• Minkowski, Hermann (1885), "Untersuchungen über quadratische Formen I. Bestimmung der Anzahl anderer Formen, welche ein gegebenes Genus enthält", Acta Mathematica , 7 (1): 201–258, doi : 10.1007 / BF02402203
• Siegel, Carl Ludwig (1935), "Über die analytische Theorie der quadratischen Formen", Annals of Mathematics , Second Series, 36 (3): 527–606, doi : 10.2307 / 1968644 , JSTOR  1968644
• Smith, HJ Stephen (1867), "Über die Ordnungen und Gattungen quadratischer Formen mit mehr als drei Unbestimmten" , Proceedings of the Royal Society of London , 16 : 197–208, doi : 10.1098 / rspl.1867.0036 , JSTOR  112491