Solide der Revolution - Solid of revolution

Eine Kurve drehen. Die gebildete Fläche ist eine Rotationsfläche ; es umschließt einen Revolutionskörper.

Medien abspielen

Rotationskörper ( Matemateca Ime-Usp )

In Geometrie , ein Rotationskörper ist eine räumliche Figur , die durch eine sich drehende ebene Kurve um einiges geraden Linie (die Drehachse ) , die liegt auf der gleichen Ebene. Die durch diese Umdrehung erzeugte Fläche, die den Festkörper begrenzt, ist die Rotationsfläche .

Unter der Annahme, dass die Kurve die Achse nicht schneidet, ist das Volumen des Festkörpers gleich der Länge des Kreises , der durch den Schwerpunkt der Figur multipliziert mit der Fläche der Figur beschrieben wird ( Zweites Centroid-Theorem von Pappus ).

Eine repräsentative Scheibe ist ein dreidimensionales Volumenelement eines Rotationskörpers. Das Element wird erzeugt, indem man ein Liniensegment (der Länge w ) um eine Achse dreht (die sich r Einheiten entfernt befindet), so dass ein zylindrisches Volumen von π r ² w Einheiten eingeschlossen ist.

Das Volumen finden

Zwei gängige Methoden zur Bestimmung des Volumens eines Rotationskörpers sind die Scheibenmethode und die Schalenintegrationsmethode . Um diese Methoden anzuwenden, ist es am einfachsten, den fraglichen Graphen zu zeichnen; den Bereich identifizieren, der um die Rotationsachse gedreht werden soll; das Volumen entweder einer scheibenförmigen Scheibe des Festkörpers mit der Dicke δx oder einer zylindrischen Schale der Breite δx bestimmen ; und dann die Grenzsumme dieser Volumina ermitteln, wenn sich δx 0 nähert, ein Wert, der durch Auswerten eines geeigneten Integrals gefunden werden kann. Eine strengere Begründung kann gegeben werden, indem versucht wird, ein Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten mit zwei verschiedenen Integrationsordnungen auszuwerten .

Disc-Methode

Scheibenintegration um die y-Achse

Die Scheibenmethode wird verwendet, wenn die gezeichnete Schicht senkrecht zur Rotationsachse steht; dh bei Integration parallel zur Rotationsachse.

Das Volumen des Festkörpers, das durch Drehung der Fläche zwischen den Kurven von f ( x ) und g ( x ) und den Linien x = a und x = b um die x -Achse entsteht, ist gegeben durch

${\displaystyle V=\pi\int_{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx\,.}$

Wenn g ( x ) = 0 ist (zB eine Fläche zwischen der Kurve und der x -Achse umkreisen), reduziert sich dies auf:

${\displaystyle V=\pi\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\,.}$

Das Verfahren kann visualisiert werden, indem man ein dünnes horizontales Rechteck bei y zwischen f ( y ) oben und g ( y ) unten betrachtet und es um die y- Achse dreht; es bildet einen Ring (oder eine Scheibe im Fall g ( y ) = 0 ) mit Außenradius f ( y ) und Innenradius g ( y ) . Die Fläche eines Rings ist π( R ² − r ² ) , wobei R der Außenradius (in diesem Fall f ( y ) ) und r der Innenradius (in diesem Fall g ( y ) ) ist. Das Volumen jeder infinitesimalen Scheibe beträgt daher π f ( y ) ² dy . Der Grenzwert der Riemannschen Summe der Volumen der Scheiben zwischen a und b wird ganzzahlig (1).

Unter der Annahme der Anwendbarkeit des Satzes von Fubini und der Formel für die multivariate Änderung von Variablen kann die Scheibenmethode auf einfache Weise abgeleitet werden durch (den Festkörper als D bezeichnen):

${\displaystyle V=\iiiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz =2\pi\int_{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}\Vert_{f(z)}^{g(z)}\,dz=\ pi \int _{a}^{b}f(z)^{2}-g(z)^{2}\,dz}$

Zylindermethode

Shell-Integration

Die Zylindermethode wird verwendet, wenn die gezeichnete Schicht parallel zur Rotationsachse verläuft; dh bei Integration senkrecht zur Rotationsachse.

Das Volumen des Festkörpers, das durch Drehung der Fläche zwischen den Kurven von f ( x ) und g ( x ) und den Linien x = a und x = b um die y- Achse entsteht, ist gegeben durch

${\displaystyle V=2\pi\int_{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.}$

Wenn g ( x ) = 0 ist (zB eine Fläche zwischen Kurve und y- Achse umkreisen), reduziert sich dies auf:

${\displaystyle V=2\pi\int_{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.}$

Die Methode kann visualisiert werden, indem man ein dünnes vertikales Rechteck bei x mit der Höhe f ( x ) − g ( x ) betrachtet und es um die y- Achse dreht; es bildet eine zylindrische Schale. Die Mantelfläche eines Zylinders beträgt 2π rh , wobei r der Radius (hier x ) und h die Höhe (hier f ( x ) − g ( x ) ) ist. Die Summierung aller Oberflächenbereiche entlang des Intervalls ergibt das Gesamtvolumen.

Diese Methode kann mit demselben Dreifachintegral abgeleitet werden, diesmal mit einer anderen Integrationsreihenfolge:

${\displaystyle V=\iiiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}r\,dz\,dr =2\pi\int_{a}^{b}r(f(r)-g(r))\,dr}$.

Solid of Revolution Demonstration

Die Formen in Ruhe

Die Formen in Bewegung, die die Rotationskörper zeigen, die von jedem gebildet werden

Parametrische Form

Mathematik und Kunst : Studie einer Vase als Festkörper der Revolution von Paolo Uccello . 15. Jahrhundert

Wenn eine Kurve durch ihre parametrische Form ( x ( t ), y ( t )) in einem bestimmten Intervall [ a , b ] definiert wird , sind die Volumen der durch Drehen der Kurve um die x- Achse oder die y- Achse erzeugten Körper gegeben von

${\displaystyle V_{x}=\int_{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,}$

${\displaystyle V_{y}=\int_{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.}$

Unter den gleichen Umständen sind die Flächen der Festkörperoberflächen, die durch das Drehen der Kurve um die x- Achse oder die y- Achse erzeugt werden, gegeben durch

${\displaystyle A_{x}=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\ left({\frac{dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,}$

${\displaystyle A_{y}=\int_{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\ left({\frac{dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.}$

Polarform

Für eine Polarkurve, bei der die Volumen der durch Drehen der Kurve um die x- oder y-Achse erzeugten Feststoffe sind ${\displaystyle r=f(\theta)}$${\displaystyle\alpha\leq\theta\leq\beta}$

${\displaystyle V_{x}=\int_{\alpha}^{\beta}\left(\pi r^{2}\sin^{2}{\theta}\cos {\theta}\,{\ frac {dr}{d\theta}}-\pi r^{3}\sin^{3}{\theta}\right)d\theta\,,}$

${\displaystyle V_{y}=\int_{\alpha}^{\beta}\left(\pi r^{2}\sin {\theta}\cos ^{2}{\theta}\,{\ frac {dr}{d\theta}}+\pi r^{3}\cos^{3}{\theta}\right)d\theta\,.}$

Angegeben sind die Flächen der Festkörperflächen, die durch das Drehen der Kurve um die x- Achse oder die y- Achse erzeugt werden

${\displaystyle A_{x}=\int_{\alpha}^{\beta}2\pi r\sin {\theta}\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr }{d\theta}}\right)^{2}}}\,d\theta\,,}$

${\displaystyle A_{x}=\int_{\alpha}^{\beta}2\pi r\cos {\theta}\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr }{d\theta}}\right)^{2}}}\,d\theta\,,}$

Siehe auch

• Gabriels Horn
• Guldinus-Theorem
• Pseudosphäre
• Oberfläche der Revolution
• Ungula

Anmerkungen

Verweise

• "Volumen von Feststoffen der Revolution" . CliffsNotes.com . 12.04.2011. Archiviert vom Original am 19.03.2012.
• Ayres, Frank ; Mendelson, Elliott (2008). Kalkül . Schaums Umrisse . McGraw-Hill-Profi. S. 244–248. ISBN 978-0-07-150861-2.( Online-Kopie , S. 244, bei Google Books )
• Weisstein, Eric W. "Solid of Revolution" . MathWorld .