Quadratisches Antiprisma - Square antiprism

Einheitliches quadratisches Antiprisma

Typ	Prismatisches gleichförmiges Polyeder
Elemente	F = 10, E = 16 V = 8 (χ = 2)
Gesichter an den Seiten	8{3}+2{4}
Schläfli-Symbol	s{2,8} sr{2,4}
Wythoff-Symbol	\| 2 2 4
Coxeter-Diagramm
Symmetriegruppe	D _4d , [2 ⁺ ,8], (2*4), Ordnung 16
Rotationsgruppe	D ₄ , [4,2] ⁺ , (442), Ordnung 8
Verweise	U _77(b)
Dual	Tetragonale Trapezoeder
Eigenschaften	konvex
Scheitelpunkt 3.3.3.4

3D-Modell eines (einheitlichen) quadratischen Antiprismas

In der Geometrie ist das quadratische Antiprisma das zweite in einer unendlichen Familie von Antiprismen, die aus einer geradzahligen Folge von Dreiecksseiten besteht, die von zwei Polygonkappen geschlossen werden . Es wird auch als Antiwürfel bezeichnet .

Wenn alle seine Flächen regelmäßig sind , handelt es sich um ein halbreguläres Polyeder oder ein einheitliches Polyeder .

Eine ungleichmäßige D ₄ -symmetrische Variante ist die Zelle der edlen quadratischen antiprismatischen 72-Zelle.

Punkte auf einer Kugel

Wenn acht Punkte auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Ziel verteilt werden, den Abstand zwischen ihnen in gewisser Weise zu maximieren, entspricht die resultierende Form eher einem quadratischen Antiprisma als einem Würfel . Spezifische Methoden zur Verteilung der Punkte sind beispielsweise das Thomson-Problem (Minimierung der Summe aller Kehrwerte der Distanzen zwischen Punkten), Maximierung der Distanz jedes Punktes zum nächsten Punkt oder Minimierung der Summe aller Kehrwerte von Distanzquadraten zwischen Punkten.

Moleküle mit quadratischer antiprismatischer Geometrie

Nach der VSEPR-Theorie der Molekülgeometrie in der Chemie , die auf dem allgemeinen Prinzip der Maximierung der Abstände zwischen Punkten basiert, ist ein quadratisches Antiprisma die bevorzugte Geometrie, wenn acht Elektronenpaare ein Zentralatom umgeben . Ein Molekül mit dieser Geometrie ist das Octafluoroxenat(VI) -Ion ( XeF²⁻
₈) im Salz Nitrosoniumoctafluoroxenat(VI) ; das Molekül ist jedoch vom idealisierten quadratischen Antiprisma weg verzerrt. Sehr wenige Ionen sind kubisch, weil eine solche Form eine starke Abstoßung zwischen den Liganden bewirken würde ; PaF³⁻
₈ ist eines der wenigen Beispiele.

Darüber hinaus bildet das Element Schwefel als stabilstes Allotrop oktatomische S ₈ -Moleküle . Das S ₈ -Molekül hat eine auf dem quadratischen Antiprisma basierende Struktur, in der die acht Atome die acht Ecken des Antiprismas besetzen und die acht Dreieck-Dreieck-Kanten des Antiprismas einzelnen kovalenten Bindungen zwischen Schwefelatomen entsprechen.

In der Architektur

Der Hauptbaustein des One World Trade Centers (an der Stelle des am 11. September 2001 zerstörten alten World Trade Centers ) hat die Form eines extrem hohen, sich verjüngenden quadratischen Antiprismas. Aufgrund seiner Verjüngung ist es kein echtes Antiprisma: Das obere Quadrat hat die halbe Fläche des unteren.

Topologisch identische Polyeder

Verdrehtes Prisma

Ein verdrehtes Prisma kann (im oder gegen den Uhrzeigersinn) mit der gleichen Scheitelpunktanordnung hergestellt werden . Es kann als konvexe Form mit 4 an den Seiten ausgegrabenen Tetraedern gesehen werden . Danach kann es jedoch nicht mehr zu Tetraedern trianguliert werden, ohne neue Eckpunkte hinzuzufügen. Sie hat die halbe Symmetrie der gleichförmigen Lösung: D ₄ Ordnung 4.

Gekreuztes Antiprisma

Ein gekreuztes quadratisches Antiprisma ist ein Sternpolyeder , topologisch identisch mit dem quadratischen Antiprisma mit der gleichen Scheitelpunktanordnung , aber es kann nicht einheitlich gemacht werden; die Seiten sind gleichschenklige Dreiecke . Seine Scheitelpunktkonfiguration ist 3.3/2.3.4, mit einem retrograden Dreieck. Es hat d _4d- Symmetrie, Ordnung 8.

Verwandte Polyeder

Abgeleitete Polyeder

Die kreiselgestreckte quadratische Pyramide ist ein Johnson-Festkörper (insbesondere J ₁₀ ), der durch Vermehren einer quadratischen Pyramide konstruiert wird . In ähnlicher Weise ist die kreiselgestreckte quadratische Bipyramide ( J ₁₇ ) ein Deltaeder (ein Polyeder, dessen Flächen alle gleichseitige Dreiecke sind ), das konstruiert wird, indem beide Quadrate eines quadratischen Antiprismas durch eine quadratische Pyramide ersetzt werden.

Das Stups-Disphenoid ( J ₈₄ ) ist ein weiteres Deltaeder, das konstruiert wird, indem die beiden Quadrate eines quadratischen Antiprismas durch Paare gleichseitiger Dreiecke ersetzt werden. Das stumpfe quadratische Antiprisma ( J ₈₅ ) kann als quadratisches Antiprisma mit einer um die Mitte eingefügten Kette gleichseitiger Dreiecke betrachtet werden. Die Sphenocorona ( J ₈₆ ) und die Sphenomegacorona ( J ₈₈ ) sind weitere Johnson-Körper, die wie das quadratische Antiprisma aus zwei Quadraten und einer geraden Anzahl gleichseitiger Dreiecke bestehen.

Das quadratische Antiprisma kann abgeschnitten und abgewechselt werden, um ein stumpfes Antiprisma zu bilden :

Snub Antiprismen
Antiprisma	Abgeschnittenes t	Abwechselnde ht
s{2,8}	ts{2,8}	ss{2,8}

Symmetrie-Mutation

Als Antiprisma gehört das quadratische Antiprisma zu einer Familie von Polyedern, die das Oktaeder (das als Antiprisma mit Dreieckskappe betrachtet werden kann), das fünfeckige Antiprisma , das sechseckige Antiprisma und das achteckige Antiprisma umfasst .

Familie einheitlicher n -gonaler Antiprismen

v

T

e
Antiprisma-Name	Digonales Antiprisma	(Trigonal) Dreieckiges Antiprisma	(Tetragonales) Quadratisches Antiprisma	Fünfeckiges Antiprisma	Sechseckiges Antiprisma	Siebeneckiges Antiprisma	Achteckiges Antiprisma	Enneagonales Antiprisma	Zehneckiges Antiprisma	Hendekagonales Antiprisma	Zwölfeckiges Antiprisma	...	Apeirogonales Antiprisma
Polyeder-Bild												...
Kugelförmiges Kachelbild												Kachelbild der Ebene
Vertex-Konfiguration.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...	.3.3.3

Der quadratische Antiprisma ist in einer Reihe von ersten Einschnürtrommel Polyeder und Pflasterungen mit Scheitel Abbildung 3.3.4.3. n .

4 n 2 Symmetriemutationen von Snub-Tilings: 3.3.4.3.n v T e
Symmetrie 4 n 2	Sphärisch		Euklidisch	Kompakt hyperbolisch				Parakomp.
Symmetrie 4 n 2	242	342	442	542	642	742	842	42
Brüskierung Zahlen
Konfig.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Gyro Zahlen
Konfig.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞