Einheitswurzel - Unit root

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik , eine Einheitswurzel ist ein Merkmal einiger stochastischen Prozesse (wie Irrfahrten ) , die Probleme verursachen kann , in statistischer Inferenz die Zeitreihen - Modelle . Ein linearer stochastischer Prozess hat eine Einheitswurzel, wenn 1 eine Wurzel der charakteristischen Gleichung des Prozesses ist . Ein solcher Prozess ist nicht stationär , hat aber nicht immer einen Trend.

Liegen die anderen Wurzeln der charakteristischen Gleichung innerhalb des Einheitskreises, haben also einen Modul ( Absolutwert ) kleiner als eins, dann ist die erste Differenz des Prozesses stationär; andernfalls muss der Prozess mehrmals differenziert werden, um stationär zu werden. Wenn es d Einheitswurzeln gibt, muss der Prozess d- mal differenziert werden, um ihn stationär zu machen. Aufgrund dieser Eigenschaft werden Einheitswurzelprozesse auch als Differenzstationär bezeichnet.

Unit-Root-Prozesse können manchmal mit trend-stationären Prozessen verwechselt werden; Obwohl sie viele Eigenschaften teilen, unterscheiden sie sich in vielerlei Hinsicht. Es ist möglich, dass eine Zeitreihe nicht stationär ist, jedoch keine Einheitswurzel hat und trendstationär ist. Sowohl bei Einheitswurzel- als auch bei trendstationären Prozessen kann der Mittelwert im Laufe der Zeit steigen oder fallen; im Falle eines Schocks sind trendstationäre Prozesse jedoch Mean-Reverting (dh vorübergehend, die Zeitreihen konvergieren wieder in Richtung des wachsenden Mittelwerts, der vom Schock nicht beeinflusst wurde), während Einheitswurzelprozesse einen dauerhaften Einfluss auf der Mittelwert (dh keine Konvergenz über die Zeit).

Wenn eine Wurzel der charakteristischen Gleichung des Prozesses größer als 1 ist, wird dies als explosiver Prozess bezeichnet , obwohl solche Prozesse manchmal fälschlicherweise als Einheitswurzelprozesse bezeichnet werden.

Das Vorhandensein einer Unit-Root kann mit einem Unit-Root-Test getestet werden .

Definition

Betrachten Sie einen stochastischen Prozess in diskreter Zeit und nehmen Sie an, dass er als autoregressiver Prozess der Ordnung  p geschrieben werden kann : ${\displaystyle (y_{t},t=1,2,3,\ldots)}$

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{tp}+\varepsilon_{t}.}$

Hierbei handelt es sich um einen seriell unkorrelierten, stochastischen Prozess mit konstanter Varianz . Nehmen Sie der Einfachheit halber an . Wenn ist eine Wurzel der charakteristischen Gleichung , der Multiplizität 1: ${\displaystyle (\varepsilon_{t},t=0,1,2,\ldots,)}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle y_{0}=0}$${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

dann hat der stochastische Prozess eine Einheitswurzel oder, alternativ, ist integrierter Ordnung eins, bezeichnet mit . Wenn m = 1 eine Wurzel aus der Vielfachheit r ist , dann wird der stochastische Prozess der Ordnung r integriert , mit I ( r ) bezeichnet. ${\displaystyle I(1)}$

Beispiel

Das autoregressive Modell erster Ordnung, , hat eine Einheitswurzel, wenn . In diesem Beispiel lautet die charakteristische Gleichung . Die Wurzel der Gleichung ist . ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon_{t}}$${\displaystyle a_{1}=1}$${\displaystyle m-a_{1}=0}$${\displaystyle m=1}$

Wenn der Prozess eine Einheitswurzel hat, handelt es sich um eine instationäre Zeitreihe. Das heißt, die Momente des stochastischen Prozesses hängen von ab . Um die Wirkung einer Einheitswurzel zu veranschaulichen, können wir den Fall erster Ordnung, ausgehend von y ₀  = 0, betrachten: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon_{t}.}$

Durch wiederholte Substitution können wir schreiben . Dann ist die Varianz von gegeben durch: ${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum_{j=1}^{t}\varepsilon_{j}}$${\displaystyle y_{t}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum_{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}$

Die Varianz hängt von t seit , while ab . Beachten Sie, dass die Varianz der Reihe mit t gegen unendlich divergiert  . ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$

Es gibt verschiedene Tests, um das Vorhandensein einer Einheitswurzel zu überprüfen, einige von ihnen werden durch Folgendes gegeben:

1. Der Dickey-Fuller-Test (DF) oder der erweiterte Dickey-Fuller -Test (ADF)
2. Testen der Signifikanz von mehr als einem Koeffizienten (f-Test)
3. Der Phillips-Perron-Test (PP)
4. Dickey Pantula-Test

Ähnliche Modelle

Neben autoregressiven (AR) und autoregressiven-gleitenden (ARMA) Modellen treten in der Regressionsanalyse weitere wichtige Modelle auf, bei denen die Modellfehler selbst eine Zeitreihenstruktur haben können und daher möglicherweise durch einen AR- oder ARMA-Prozess modelliert werden müssen, der kann eine Einheitswurzel haben, wie oben beschrieben. Die endlichen Stichprobeneigenschaften von Regressionsmodellen mit ARMA-Fehlern erster Ordnung, einschließlich Einheitswurzeln, wurden analysiert.

Schätzung, wann eine Einheitswurzel vorhanden sein kann

Häufig werden gewöhnliche kleinste Quadrate (OLS) verwendet, um die Steigungskoeffizienten des autoregressiven Modells zu schätzen . Die Verwendung von OLS beruht darauf, dass der stochastische Prozess stationär ist. Wenn der stochastische Prozess nicht stationär ist, kann die Verwendung von OLS zu ungültigen Schätzungen führen. Granger und Newbold nannten solche Schätzungen "unerwünschte Regressionsergebnisse": hohe R ² -Werte und hohe t-Verhältnisse liefern Ergebnisse ohne wirtschaftliche Bedeutung.

Um die Steigungskoeffizienten zu schätzen, sollte man zuerst einen Einheitswurzeltest durchführen , dessen Nullhypothese ist, dass eine Einheitswurzel vorhanden ist. Wenn diese Hypothese abgelehnt wird, kann man OLS verwenden. Wenn jedoch das Vorhandensein einer Einheitswurzel nicht abgelehnt wird, sollte man den Differenzoperator auf die Reihe anwenden . Wenn ein anderer Einheitswurzeltest zeigt, dass die differenzierte Zeitreihe stationär ist, kann OLS dann auf diese Reihe angewendet werden, um die Steigungskoeffizienten zu schätzen.

Im Fall von AR(1) ist beispielsweise stationär. ${\displaystyle \Updelta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}=\varepsilon_{t}}$

Im Fall AR(2) kann geschrieben werden als wobei L ein Verzögerungsoperator ist , der den Zeitindex einer Variablen um eine Periode verringert: . Wenn das Modell eine Einheitswurzel hat und wir definieren können ; dann ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon_{t}}$${\displaystyle (1-\lambda_{1}L)(1-\lambda_{2}L)y_{t}=\varepsilon_{t}}$${\displaystyle Ly_{t}=y_{t-1}}$${\displaystyle \lambda_{2}=1}$${\displaystyle z_{t}=\Delta y_{t}}$

${\displaystyle z_{t}=\lambda_{1}z_{t-1}+\varepsilon_{t}}$

ist stationär, wenn . OLS kann verwendet werden, um den Steigungskoeffizienten zu schätzen, . ${\displaystyle |\lambda_{1}|<1}$${\displaystyle \lambda_{1}}$

Wenn der Prozess mehrere Einheitswurzeln hat, kann der Differenzoperator mehrmals angewendet werden.

Eigenschaften und Merkmale von Einheitswurzelprozessen

• Schocks auf einen Einheitswurzelprozess haben dauerhafte Effekte, die nicht abklingen, wie wenn der Prozess stationär wäre
• Wie oben erwähnt, hat ein Einheitswurzelprozess eine Varianz, die von t abhängt und gegen unendlich divergiert
• Wenn bekannt ist, dass eine Reihe eine Einheitswurzel hat, kann die Reihe differenziert werden, um sie stationär zu machen. Wenn eine Reihe beispielsweise I(1) ist, ist die Reihe I(0) (stationär). Sie wird daher als differenzstationäre Reihe bezeichnet.${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle \Delta Y_{t}=Y_{t}-Y_{t-1}}$

Einheitswurzelhypothese

Das obige Diagramm zeigt ein Beispiel für eine potenzielle Einheitswurzel. Die rote Linie stellt einen beobachteten Abfall der Leistung dar. Grün zeigt den Wiederherstellungspfad an, wenn die Serie eine Einheitswurzel hat. Blau zeigt die Erholung, wenn keine Einheitswurzel vorhanden ist und die Reihe trendstationär ist. Die blaue Linie kehrt zurück, um die gestrichelte Trendlinie zu treffen und ihr zu folgen, während die grüne Linie dauerhaft unter dem Trend bleibt. Die Einheitswurzelhypothese besagt auch, dass eine Produktionsspitze zu einem Produktionsniveau führen wird, das über dem bisherigen Trend liegt.

Ökonomen diskutieren, ob verschiedene Wirtschaftsstatistiken, insbesondere der Output , eine Einheitswurzel haben oder trendstationär sind . Ein Einheitswurzelprozess mit Drift ist im Fall erster Ordnung gegeben durch

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}$

wobei c ein konstanter Term ist, der als "Drift"-Term bezeichnet wird und weißes Rauschen ist. Jeder Wert des Rauschterms ungleich Null, der nur für eine Periode auftritt, beeinflusst den Wert von permanent, wie in der Grafik gezeigt, so dass Abweichungen von der Linie nicht stationär sind; es gibt keine Rückkehr zu einer Trendlinie. Im Gegensatz dazu ist ein trendstationärer Prozess gegeben durch ${\displaystyle e_{t}}$${\displaystyle y_{t}}$${\displaystyle y_{t}=a+ct}$

${\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}$

wobei k die Steigung des Trends und Rauschen ist (im einfachsten Fall weißes Rauschen; allgemeiner Rauschen, das seinem eigenen stationären autoregressiven Prozess folgt). Hier ändert kein vorübergehendes Rauschen die langfristige Tendenz , auf der Trendlinie zu liegen, wie auch in der Grafik gezeigt. Dieser Prozess wird als trendstationär bezeichnet, da Abweichungen von der Trendlinie stationär sind. ${\displaystyle u_{t}}$${\displaystyle y_{t}}$

Besonders beliebt ist das Thema in der Literatur zu Konjunkturzyklen. Die Forschung zu diesem Thema begann mit Nelson und Plosser, deren Aufsatz über das Bruttosozialprodukt und andere Output-Aggregate die Einheitswurzelhypothese für diese Reihen nicht ablehnten. Seitdem hat sich eine Debatte entbrannt, die mit technischen Streitigkeiten über statistische Methoden verwoben ist. Einige Ökonomen argumentieren, dass das BIP eine Einheitswurzel oder einen Strukturbruch hat , was impliziert, dass wirtschaftliche Abschwünge langfristig zu dauerhaft niedrigeren BIP-Niveaus führen. Andere Ökonomen argumentieren, dass das BIP trendstationär ist: Das heißt, wenn das BIP während eines Abschwungs unter den Trend fällt, kehrt es später auf das vom Trend implizierte Niveau zurück, so dass es keinen dauerhaften Rückgang der Produktion gibt. Während die Literatur zur Einheitswurzelhypothese aus einer obskuren Debatte über statistische Methoden bestehen kann, hat die Hypothese erhebliche praktische Auswirkungen auf Wirtschaftsprognosen und Wirtschaftspolitik.

Siehe auch

• Dickey–Voller Test
• Augmented Dickey–Fuller-Test
• ADF-GLS-Test
• Unit-Root-Test
• Phillips-Perron-Test
• Kointegration , die die Beziehung zwischen zwei Variablen mit Einheitswurzeln bestimmt
• Gewichteter symmetrischer Einheitswurzeltest (WS)
• Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Schienbeintest, bekannt als KPSS-Tests

Anmerkungen