Wolds Zersetzung - Wold's decomposition

In der Mathematik , insbesondere in der Operatortheorie , ist die Wold-Zerlegung oder Wold-von-Neumann-Zerlegung , benannt nach Herman Wold und John von Neumann , ein Klassifikationssatz für isometrische lineare Operatoren auf einem gegebenen Hilbert-Raum . Es heißt, dass jede Isometrie eine direkte Summe von Kopien der einseitigen Verschiebung und ein einheitlicher Operator ist .

In der Zeitreihenanalyse impliziert der Satz, dass jeder stationäre zeitdiskrete stochastische Prozess in ein Paar unkorrelierter Prozesse zerlegt werden kann, von denen einer deterministisch und der andere ein Prozess mit gleitendem Durchschnitt ist .

Einzelheiten

Sei H ein Hilbert-Raum, L ( H ) die begrenzten Operatoren auf H und V ∈ L ( H ) eine Isometrie. Die Wold-Zerlegung besagt, dass jede Isometrie V die Form annimmt

${\ displaystyle V = (\ oplus _ {\ alpha \ in A} S) \ oplus U}$

für einige Indexmengen A , wobei S die einseitige Verschiebung auf einem Hilbert-Raum H _α ist und U ein einheitlicher Operator ist (möglicherweise leer). Die Familie { H _α } besteht aus isomorphen Hilbert-Räumen.

Ein Beweis kann wie folgt skizziert werden. Aufeinanderfolgende Anwendungen von V ergeben eine absteigende Folge von Kopien von H, die isomorph in sich selbst eingebettet sind:

${\ displaystyle H = H \ supset V (H) \ supset V ^ {2} (H) \ supset \ cdots = H_ {0} \ supset H_ {1} \ supset H_ {2} \ supset \ cdots,}$

wobei V ( H ) den Bereich von V bezeichnet . Das oben definierte H _i  =  V ⁱ ( H ). Wenn man definiert

${\ displaystyle M_ {i} = H_ {i} \ ominus H_ {i + 1} = V ^ {i} (H \ ominus V (H)) \ quad {\ text {for}} \ quad i \ geq 0 \;,}$

dann

${\ displaystyle H = (\ oplus _ {i \ geq 0} M_ {i}) \ oplus (\ cap _ {i \ geq 0} H_ {i}) = K_ {1} \ oplus K_ {2}.}$

Es ist klar, dass K ₁ und K ₂ invariante Teilräume von V sind .

Also ist V ( K ₂ ) = K ₂ . Mit anderen Worten, V auf eingeschränkte K ₂ ist eine surjektive Isometrie, dh ein unitärer Operator U .

Weiterhin ist jedes M _i zu einem anderen isomorph, wobei V ein Isomorphismus zwischen M _i und M _{i + 1 ist} : V "verschiebt" M _i zu M _{i + 1} . Angenommen, die Dimension jedes M _i ist eine Kardinalzahl α . Wir sehen, dass K ₁ als direkte Summe von Hilbert-Räumen geschrieben werden kann

${\ displaystyle K_ {1} = \ oplus H _ {\ alpha}}$

wobei jedes H _α eine Invariante ist Unterräume von V und V zu jedem beschränkt H _α ist die einseitige Verschiebung S . Deshalb

${\ displaystyle V = V \ vert _ {K_ {1}} \ oplus V \ vert _ {K_ {2}} = (\ oplus _ {\ alpha \ in A} S) \ oplus U,}$

die eine Zersetzung von Wold V .

Bemerkungen

Aus der Wold-Zerlegung geht unmittelbar hervor, dass das Spektrum einer geeigneten, dh nicht einheitlichen Isometrie die Einheitsscheibe in der komplexen Ebene ist.

Eine Isometrie V gilt als rein, wenn in der Notation des obigen Beweises _{∩ i ≥} 0 H _i = {0} ist. Die Multiplizität eines reinen Isometrie V ist die Dimension des Kerns von V * , dh die Kardinalität des Indexsatz A in der Wold Zersetzung von V . Mit anderen Worten nimmt eine reine Isometrie der Multiplizität N die Form an

${\ displaystyle V = \ oplus _ {1 \ leq \ alpha \ leq N} S.}$

In dieser Terminologie drückt die Wold-Zerlegung eine Isometrie als direkte Summe einer reinen Isometrie und eines einheitlichen Operators aus.

Ein Unterraum M wird als wandernder Unterraum von V bezeichnet, wenn V ⁿ ( M ) ≤ V ^m ( M ) für alle n ≤ m ist . Insbesondere ist jedes M _i oben definiert ist , ein wandernder Teilraum von  V .

Eine Folge von Isometrien

Die obige Zerlegung kann leicht auf eine Folge von Isometrien verallgemeinert werden, die durch die ganzen Zahlen indiziert sind.

Die durch eine Isometrie erzeugte C * -Algebra

Betrachten Sie eine Isometrie V ∈ L ( H ). Mit C * ( V ) bezeichnet die von V erzeugte C * -Algebra , dh C * ( V ) ist der Normschluss von Polynomen in V und V * . Die Wold-Zerlegung kann angewendet werden, um C * ( V ) zu charakterisieren .

Lassen Sie C ( T ) auf dem Einheitskreis die stetigen Funktionen sein T . Wir erinnern uns, dass die durch die einseitige Verschiebung S erzeugte C * -Algebra C * ( S ) die folgende Form annimmt

C * ( S ) = { T _f + K | T _f ist ein Toeplitz-Operator mit dem kontinuierlichen Symbol f ∈ C ( T ) und K ist ein kompakter Operator }.

Bei dieser Identifikation ist S = T _z, wobei z die Identitätsfunktion in C ( T ) ist. Die Algebra C * ( S ) heißt Toeplitz-Algebra .

Satz (Coburn) C * ( V ) ist isomorph zur Toeplitz-Algebra und V ist das isomorphe Bild von T _z .

Der Beweis hängt von den Verbindungen mit C ( T ) in der Beschreibung der Toeplitz-Algebra ab und davon, dass das Spektrum eines einheitlichen Operators im Kreis T enthalten ist .

Die folgenden Eigenschaften der Toeplitz-Algebra werden benötigt:

1. ${\ displaystyle T_ {f} + T_ {g} = T_ {f + g}. \,}$
2. ${\ displaystyle T_ {f} ^ {*} = T _ {\ bar {f}}.}$
3. Der Semikommutator ist kompakt.${\ displaystyle T_ {f} T_ {g} -T_ {fg} \,}$

Die Wold-Zerlegung besagt, dass V die direkte Summe der Kopien von T _z und dann eines einheitlichen U ist :

${\ displaystyle V = (\ oplus _ {\ alpha \ in A} T_ {z}) \ oplus U.}$

Also rufen wir den stetigen Funktionskalkül f → f ( U ) auf und definieren

${\ displaystyle \ Phi: C ^ {*} (S) \ rightarrow C ^ {*} (V) \ quad {\ text {by}} \ quad \ Phi (T_ {f} + K) = \ oplus _ { \ alpha \ in A} (T_ {f} + K) \ oplus f (U).}$

Man kann nun überprüfen, ob Φ ein Isomorphismus ist, der die einseitige Verschiebung auf V abbildet :

Nach Eigenschaft 1 oben ist Φ linear. Die Abbildung Φ ist injektiv, weil T _f für kein Nicht-Null- f ∈ C ( T ) kompakt ist und somit T _f + K = 0 f = 0 impliziert . Da der Bereich von Φ eine C * -Algebra ist, ist Φ surjektiv durch die Minimalität von C * ( V ). Eigenschaft 2 und die kontinuierliche Funktionsrechnung stellen sicher, dass Φ die * -Operation beibehält. Schließlich zeigt die Semikommutator-Eigenschaft, dass Φ multiplikativ ist. Daher gilt der Satz.

Verweise

• Coburn, L. (1967). "Die C * -Algebra einer Isometrie" . Stier. Amer. Mathematik. Soc. 73 (5): 722–726. doi : 10.1090 / S0002-9904-1967-11845-7 .
• Constantinescu, T. (1996). Schur-Parameter, Faktorisierungs- und Dilatationsprobleme . Operatortheorie, Fortschritte und Anwendungen. 82 . Birkhäuser. ISBN 3-7643-5285-X.
• Douglas, RG (1972). Banach-Algebra-Techniken in der Operatortheorie . Akademische Presse. ISBN 0-12-221350-5.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985). Hardy Klassen und Operatortheorie . Oxford University Press. ISBN 0-19-503591-7.