∞-Gruppoid - ∞-groupoid

In der Kategorientheorie , einem Zweig der Mathematik, ist ein ∞-Gruppoid ein abstraktes homotopisches Modell für topologische Räume. Ein Modell verwendet Kan - Komplexe , die fibrant Objekte in der Kategorie der Simpliziale Menge (mit der Standardmodellstruktur ). Es ist eine ∞-Kategorie- Verallgemeinerung eines Gruppoids , eine Kategorie, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist.

Die Homotopiehypothese besagt, dass ∞-Groupoide Räume sind.

Kugelförmige Gruppierungen

Alexander Grothendieck schlug in Pursuing Stacks vor, dass es ein außergewöhnlich einfaches Modell von ∞-Groupoiden geben sollte, das globuläre Mengen verwendet , ursprünglich hemisphärische Komplexe genannt. Diese Sets sind als Presheaves auf der globulären Kategorie konstruiert . Dies ist definiert als die Kategorie, deren Objekte endliche Ordinalzahlen und Morphismen sind durch${\displaystyle\mathbb{G}}$${\displaystyle [n]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{n}:[n]\to [n+1]\\\tau _{n}:[n]\to [n+1]\end{aligned} }}$

so dass die globulären Beziehungen gelten

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\sigma_{n+1}\circ \sigma_{n}&=\tau_{n+1}\circ \sigma_{n}\\\sigma_{n +1}\circ\tau_{n}&=\tau_{n+1}\circ\tau_{n}\end{ausgerichtet}}}$

Diese codieren die Tatsache, dass -Morphismen -Morphismen nicht sehen können sollten. Wenn diese als globuläre Menge niedergeschrieben werden , werden die Quell- und Ziel-Maps dann geschrieben als${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle X_{\bullet}:\mathbb {G} ^{op}\to {\text{Sets}}}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}s_{n}=X_{\bullet}(\sigma_{n})\\t_{n}=X_{\bullet}(\tau_{n})\end{ ausgerichtet}}}$

Wir können auch kugelförmige Objekte in einer Kategorie als Funktoren betrachten${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle X_{\bullet}\colon\mathbb{G}^{op}\to {\mathcal{C}}.}$

Ursprünglich bestand die Hoffnung, dass ein so strenges Modell für die Homotopietheorie ausreichen würde, aber es gibt Hinweise darauf. Es stellt sich heraus, dass der zugehörige Homotopie- Typ niemals als striktes globuläres Gruppoid für modelliert werden kann . Dies liegt daran, dass strikte ∞-Groupoide nur Räume mit einem trivialen Whitehead-Produkt modellieren . ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi_{\leq n}(S^{n})}$${\displaystyle n\geq 3}$

Beispiele

Grundlegendes ∞-Gruppoid

In einem topologischen Raum sollte es ein assoziiertes fundamentales ∞-Gruppoid geben, bei dem die Objekte Punkte sind, 1-Morphismen als Pfade dargestellt werden, 2-Morphismen Homotope von Pfaden sind, 3-Morphismen Homotope von Homotopien sind und so weiter. Aus diesem Unendlichkeits-Gruppoid können wir ein -Gruppoid finden, das als Fundamental- Gruppoid bezeichnet wird und dessen Homotopietyp der von ist . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Pi_{\infty}(X)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Pi_{n}(X)}$${\displaystyle \pi_{\leq n}(X)}$

Beachten Sie, dass das fundamentale ∞-Gruppoid eines Raums so genommen wird, dass es dem fundamentalen n-Gruppoid entspricht . Solch ein Raum kann mit dem Whitehead Tower gefunden werden . ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \pi_{>n}(Y)=0}$${\displaystyle \Pi_{n}(Y)}$

Abelsche kugelförmige Gruppoide

Ein nützlicher Fall von kugelförmigen Gruppoiden kommt von einem Kettenkomplex, der nach oben beschränkt ist, also betrachten wir einen Kettenkomplex . Es gibt ein assoziiertes globuläres Groupoid. Intuitiv sind die Objekte die Elemente in , Morphismen stammen aus der komplexen Kettenabbildung , und höhere Morphismen können von den komplexen Abbildungen höherer Ketten gefunden werden . Wir können eine globuläre Menge bilden mit${\displaystyle C_{\bullet}\in {\text{Ch}}_{\leq 0}({\text{Ab}})}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle d_{1}:C_{1}\to C_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$${\displaystyle \mathbb{C} _{\bullet}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {C} _{0}=&C_{0}\\\mathbb {C} _{1}=&C_{0}\oplus C_{1}\\&\cdots \\\mathbb{C}_{n}=&\bigoplus_{k=0}^{n}C_{k}\end{matrix}}}$

und der Quellmorphismus ist die Projektionskarte${\displaystyle s_{n}:\mathbb{C}_{n}\to\mathbb{C}_{n-1}}$

${\displaystyle pr:\bigoplus_{k=0}^{n}C_{k}\to \bigoplus_{k=0}^{n-1}C_{k}}$

und der Zielmorphismus ist die Addition der Kettenkomplexabbildung zusammen mit der Projektionsabbildung. Dies bildet ein kugelförmiges Gruppoid, das eine breite Klasse von Beispielen für strikt kugelförmige Gruppoide gibt. Da strenge Gruppoide in schwache Gruppoide eingebettet sind, können sie außerdem auch als schwache Gruppoide fungieren. ${\displaystyle t_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$

Anwendungen

Höhere lokale Systeme

Einer der grundlegenden Sätze über lokale Systeme ist, dass sie äquivalent als Funktor vom fundamentalen Gruppoid bis zur Kategorie der abelschen Gruppen, der Kategorie der -Module oder einer anderen abelschen Kategorie beschrieben werden können . Das heißt, ein lokales System ist äquivalent zu einem Funktor${\displaystyle \Pi(X)=\Pi_{\leq 1}(X)}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\mathcal{L}}:\Pi(X)\to {\text{Ab}}}$

Um eine solche Definition zu verallgemeinern, müssen wir nicht nur eine abelsche Kategorie, sondern auch ihre abgeleitete Kategorie betrachten . Ein höheres lokales System ist dann ein ∞-Funktor

${\displaystyle {\mathcal{L}}_{\bullet}:\Pi_{\infty}(X)\to D({\text{Ab}})}$

mit Werten in einer abgeleiteten Kategorie. Dies hat den Vorteil, dass die Gruppen höherer Homotopie auf das höhere lokale System aus einer Reihe von Verkürzungen wirken können. Ein zu studierendes Spielzeugbeispiel stammt aus den Eilenberg-MacLane-Räumen oder indem man sich die Begriffe des Whitehead-Turms eines Raums ansieht . Im Idealfall sollte es eine Möglichkeit geben, die Kategorien von Funktoren aus ihren Kürzungen und die Karten, deren Fasern die Kategorien von -Funktoren sein sollten, wiederherzustellen${\displaystyle \pi_{n}(X)}$ ${\displaystyle K(A,n)}$${\displaystyle {\mathcal{L}}_{\bullet}:\Pi_{\infty}(X)\to D({\text{Ab}})}$${\displaystyle \Pi_{n}(X)}$${\displaystyle \tau_{\leq n-1}:\Pi_{n}(X)\to \Pi_{n-1}(X)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Pi_{n}(K(\pi_{n}(X),n))\to D(Ab)}$

Ein weiterer Vorteil dieses Formalismus besteht darin, dass er die Konstruktion höherer Formen von -adischen Repräsentationen unter Verwendung des Etale-Homotopie-Typs eines Schemas und die Konstruktion höherer Repräsentationen dieses Raums ermöglicht, da sie durch Funktoren gegeben werden${\displaystyle \ell}$ ${\displaystyle {\hat {\pi}}(X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal{L}}:{\hat {\pi(X)}}\to D({\overline {\mathbb{Q}}}_{\ell})}$

Höhere Gerbe

Eine andere Anwendung von ∞-Gruppoiden ist die Konstruktion von n-Gerbes und ∞-Gerbes. Über einen Raum sollte ein n-gerbe ein Objekt sein , dass , wenn auf eine kleine Teilmenge genug beschränkt , durch eine n-Gruppoid dargestellt wird, und auf Überschneidungen gibt es eine Vereinbarung zu einigen schwachen Äquivalenz auf. Unter der Annahme, dass die Homotopie-Hypothese richtig ist, ist dies äquivalent zum Konstruieren eines Objekts, so dass über jeder offenen Teilmenge${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\to X}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}|_{U}\to U}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\to X}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}|_{U}\to U}$

ist eine n-Gruppe oder ein Homotopie-n-Typ . Da der Nerv einer Kategorie verwendet werden kann, um einen beliebigen Homotopietyp zu konstruieren, wird ein Funktor über einer Site , z${\displaystyle {\mathcal{X}}}$

${\displaystyle p:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {X}}}$

wird ein Beispiel für eine höhere Gerbe geben, wenn die über einem beliebigen Punkt liegende Kategorie eine nicht leere Kategorie ist. Außerdem wäre zu erwarten, dass diese Kategorie eine Art Abstiegsbedingung erfüllen würde. ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}}$${\displaystyle U\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})}$

Siehe auch

• Verfolgungsstapel
• N-Gruppe (Kategorie Theorie)
• Gruppoid
• Homotopietyptheorie

Verweise

Forschungsartikel

• Zur Homotopiehypothese in Dimension 3
• Hinweis zur Konstruktion kugelförmiger schwacher Omega-Gruppoide aus Typen, topologischen Räumen etc
• Höhere Monodromie
• Höhere Galois-Theorie

Anwendungen in der algebraischen Geometrie

• Homotopietypen algebraischer Varietäten - Bertrand Toën

Externe Links

• Unendlich-Gruppoid in nLab
• Maltsiniotis, Georges (2010), "Grothendieck ∞-Groupoids, and still another definition of ∞-categories", arXiv : 1009.2331 [ math.CT ]
• Zawadowski, Marek, Introduction to Test Categories (PDF) , archiviert vom Original (PDF) am 26.03.2015
• Etale-Kohomologie und Galois-Darstellungen