Absolut integrierbare Funktion - Absolutely integrable function

In der Mathematik ist eine absolut integrierbare Funktion ist eine Funktion , deren Absolutwert ist integrierbar , was bedeutet , dass das Integral des Absolutwert über die gesamte Domain endlich ist.

Für eine echte -wertigen Funktion, da

wo

beide und müssen endlich sein. In der Lebesgue-Integration ist dies genau die Voraussetzung dafür, dass jede messbare Funktion f als integrierbar angesehen wird, wobei das Integral dann gleich ist , sodass "absolut integrierbar" tatsächlich dasselbe bedeutet wie "Lebesgue-integrierbar" für messbare Funktionen. ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx}$${\textstyle \int f^{-}(x)\,dx}$ ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx-\int f^{-}(x)\,dx}$

Das gleiche gilt für eine komplexwertige Funktion. Lass uns definieren

wo und sind die Real- und Imaginärteile von . Dann ${\displaystyle \Re f(x)}$${\displaystyle \Im f(x)}$${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle |f(x)|\leq f^{+}(x)+f^{-}(x)+f^{+i}(x)+f^{-i}(x)\leq {\sqrt {2}}\,|f(x)|}$$

so

$${\displaystyle \int |f(x)|\,dx\leq \int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx+\int f^{+i} (x)\,dx+\int f^{-i}(x)\,dx\leq {\sqrt {2}}\int |f(x)|\,dx}$$

Dies zeigt, dass die Summe der vier Integrale (in der Mitte) genau dann endlich ist, wenn das Integral des Absolutwerts endlich ist, und die Funktion nur dann Lebesgue-integrierbar ist, wenn alle vier Integrale endlich sind. Ein endliches Integral des Absolutwerts ist also äquivalent zu den Bedingungen dafür, dass die Funktion "Lebesgue-integrierbar" ist.

Externe Links

• "Absolut integrierbare Funktion – Enzyklopädie der Mathematik" . Abgerufen am 9. Oktober 2015 .