Fast offene lineare Karte - Almost open linear map

In der Funktionsanalyse und verwandten Bereichen der Mathematik ist eine fast offene lineare Karte zwischen topologischen Vektorabständen (TVS) ein linearer Operator , der eine Bedingung erfüllt, die der Bedingung einer offenen Karte ähnlich, aber schwächer als diese ist .

Definition

Eine lineare Karte zwischen zwei topologischen Vektorräumen (TVS) wird als fast offen bezeichnet, wenn für eine Nachbarschaft von in der Schließung von in eine Nachbarschaft des Ursprungs ist. ${\ displaystyle T: X \ bis Y}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle T (U)}$${\ displaystyle Y}$

Wichtig ist , dass einige Autoren Anruf ist fast offen , wenn für jede Nachbarschaft von in der Schließung des in (eher als in ) eine Umgebung des Ursprungs ist; In diesem Artikel wird diese Definition nicht verwendet. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle T (U)}$${\ displaystyle T (X)}$${\ displaystyle Y}$

Wenn ein bijektiver linearer Operator ist, dann ist fast offen , wenn und nur wenn ist fast kontinuierlich . ${\ displaystyle T: X \ bis Y}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T ^ {- 1}}$

Eigenschaften

Beachten Sie, dass, wenn ein linearer Operator fast offen ist, ein Vektorunterraum , der eine Nachbarschaft von 0 in enthält, notwendigerweise surjektiv ist . Aus diesem Grund benötigen viele Autoren Surjektivität als Teil der Definition von "fast offen". ${\ displaystyle T: X \ bis Y}$${\ displaystyle T (X)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle T: X \ bis Y}$

Offene Mapping-Theoreme

Satz : Wenn es sich um ein vollständig pseudometrisierbares TVS , ein Hausdorff-TVS und eine geschlossene und fast offene lineare Surjektion handelt, handelt es sich um eine offene Karte. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle T: X \ bis Y}$${\ displaystyle T}$

Theorem : Wenn ein surjektiver linearer Operator von einem lokalkonvexe Raum auf einen barrelled Raum dann fast geöffnet ist. ${\ displaystyle T: X \ bis Y}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle T}$

Theorem : Wenn ein surjektiver linearer Operator von einem TVS auf einen Baire Raum dann ist fast offen. ${\ displaystyle T: X \ bis Y}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle T}$

Satz : Angenommen, es handelt sich um einen kontinuierlichen linearen Operator von einem vollständigen pseudometrisierbaren TVS zu einem Hausdorff-TVS . Wenn das Bild von nicht ist mager in dann ist eine surjektive offene Karte und ist ein kompletter metrisierbar Raum. ${\ displaystyle T: X \ bis Y}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle T: X \ bis Y}$${\ displaystyle Y}$

Siehe auch

• Fast offenes Set
• Barreled Space  - Ein topologischer Vektorraum mit nahezu minimalen Anforderungen an das Banach-Steinhaus-Theorem.
• Begrenzter inverser Satz
• Geschlossenes Diagramm  - Ein Diagramm einer Funktion, die auch eine geschlossene Teilmenge des Produktraums ist
• Theorem des geschlossenen Graphen
• Offene Menge  - Grundlegende Teilmenge eines topologischen Raums
• Offene und geschlossene Karten  - Eine Funktion, die offene (bzw. geschlossene) Teilmengen an offene (bzw. geschlossene) Teilmengen sendet
• Open-Mapping-Theorem (Funktionsanalyse)  - Theorem, das Bedingungen für eine kontinuierliche lineare Map als offene Map angibt (auch als Banach-Schauder-Theorem bekannt)
• Quasi-offene Karte  - Eine Funktion, die nicht leere offene Mengen Mengen zuordnet, deren Codomäne ein nicht leeres Inneres enthält.
• Surjektion von Fréchet-Räumen  - Ein Satz, der charakterisiert, wenn eine kontinuierliche lineare Karte zwischen Fréchet-Räumen surjektiv ist.
• Webbed Space  - Topologische Vektorräume, für die die Sätze The Open Mapping und Closed Graphs gelten

Verweise

Literaturverzeichnis

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