Baire-Raum - Baire space

In der Mathematik ist ein topologischer Raum soll ein seine Baireschen Raum , wenn für jede gegebene zählbare Sammlung von geschlossenen Sets mit leeren Innenraum in , ihre Vereinigung auch im leeren Innenraum hat . Äquivalent wird ein lokal konvexer Raum, der an sich nicht mager ist, Baire-Raum genannt. Nach dem Baire-Kategoriensatz sind kompakte Hausdorff-Räume und vollständige metrische Räume Beispiele für einen Baire-Raum. Bourbaki prägte den Begriff „Baire-Raum“. ${\displaystyle X}$${\displaystyle \{A_{n}\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \cup A_{n}}$${\displaystyle X}$

Motivation

In einem beliebigen topologischen Raum, die Klasse der geschlossenen Sets mit leeren Innenraum besteht gerade die Grenzen von dichten offenen Mengen . Diese Mengen sind in gewissem Sinne "vernachlässigbar". Einige Beispiele sind endliche Mengen in glatten Kurven in der Ebene und echte affine Unterräume in einem euklidischen Raum . Wenn ein topologischer Raum ein Baire Raum ist , dann ist es „groß“, was bedeutet , dass es sich nicht um eine zählbare Vereinigung von vernachlässigbare Teilmengen . Zum Beispiel ist der dreidimensionale euklidische Raum keine abzählbare Vereinigung seiner affinen Ebenen. ${\displaystyle\mathbb{R},}$

Definition

Die genaue Definition eines Baire-Raums hat sich im Laufe der Geschichte geringfügig geändert, hauptsächlich aufgrund vorherrschender Bedürfnisse und Standpunkte. Ein topologischer Raum wird Baire-Raum genannt, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt: ${\displaystyle X}$

1. Jede nicht leere offene Teilmenge von ist eine nicht magere Teilmenge von ;${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
2. Jede koreagre Teilmenge von ist dicht in ;${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
3. Die Vereinigung jeder abzählbaren Sammlung von abgeschlossenen nirgendwo dichten Teilmengen (dh jede abgeschlossene Teilmenge hat ein leeres Inneres ) hat ein leeres Inneres;
4. Jede Kreuzung von abzählbar vielen dichten offenen Mengen in dicht in ;${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
5. Wenn die Vereinigung von abzählbar vielen abgeschlossenen Teilmengen von einen inneren Punkt hat, dann muss mindestens eine der abgeschlossenen Teilmengen einen inneren Punkt haben;${\displaystyle X}$
6. Jeder Punkt in hat eine Umgebung, die ein Baire-Raum ist (gemäß einer anderen Definitionsbedingung als dieser). ${\displaystyle X}$
   • So ist ein Baire-Raum genau dann, wenn er "lokal ein Baire-Raum" ist.${\displaystyle X}$

Ausreichende Bedingungen

Baire-Kategoriensatz

Der Baire-Kategoriensatz liefert hinreichende Bedingungen dafür, dass ein topologischer Raum ein Baire-Raum ist. Es ist ein wichtiges Werkzeug in der Topologie- und Funktionsanalyse .

• ( BCT1 ) Jeder vollständige pseudometrische Raum ist ein Baire-Raum. Allgemeiner gesagt ist jeder topologische Raum, der zu einer offenen Teilmenge eines vollständigen pseudometrischen Raums homöomorph ist, ein Baire-Raum. Insbesondere ist jeder vollständig metrisierbare Raum ein Baire-Raum.
• ( BCT2 ) Jeder lokal kompakte Hausdorff-Raum (oder allgemeiner jeder lokal kompakte nüchterne Raum ) ist ein Baire-Raum.

BCT1 zeigt, dass jeder der folgenden Bereiche ein Baire-Raum ist:

• Der Raum der reellen Zahlen${\displaystyle \mathbb{R}}$
• Der Raum der irrationalen Zahlen , der homöomorph zum Baire-Raum der Mengenlehre ist${\displaystyle \omega ^{\omega}}$
• Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist ein Baire-Raum.
  • Insbesondere ist die Cantor-Menge ein Baire-Raum.
• In der Tat, jeder polnische Raum .

BCT2 zeigt, dass jede Mannigfaltigkeit ein Baire-Raum ist, auch wenn sie nicht parakompakt und daher nicht metrisierbar ist . Zum Beispiel ist die lange Schlange von zweiter Kategorie.

Andere ausreichende Bedingungen

• Ein Produkt vollständiger metrischer Räume ist ein Baire-Raum.
• Ein topologischer Vektorraum ist genau dann nicht mager, wenn er ein Baire-Raum ist, was genau dann passiert, wenn jede geschlossene ausgeglichene absorbierende Teilmenge ein nicht-leeres Inneres hat.

Beispiele

• Der Raum der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie ist ein Baire-Raum und somit an sich von zweiter Kategorie. Die rationalen Zahlen sind der ersten Kategorie und die irrationalen Zahlen der zweiten Kategorie in .${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$
• Eine weitere große Klasse von Baire-Räumen sind algebraische Varietäten mit der Zariski-Topologie . Zum Beispiel ist der Raum der komplexen Zahlen, deren offene Mengen Komplemente der verschwindenden Polynommengen sind, eine algebraische Varietät mit der Zariski-Topologie. Normalerweise wird dies bezeichnet . ${\displaystyle \mathbb{C} ^{n}}$${\displaystyle f\in\mathbb{C} [x_{1},\ldots,x_{n}]}$${\displaystyle \mathbb{A} ^{n}}$
• Die Cantor-Menge ist ein Baire-Raum und ist somit selbst von zweiter Kategorie, aber von erster Kategorie im Intervall mit der üblichen Topologie.${\displaystyle [0,1]}$
• Hier ist ein Beispiel für einen Satz zweiter Kategorie in mit Lebesgue-Maß : ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle 0}$

  ${\displaystyle \bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(r_{n}-({\tfrac {1}{2}})^ {n+m},r_{n}+({\tfrac {1}{2}})^{n+m}\right)}$

  wobei eine Folge ist , die die rationalen Zahlen aufzählt .${\displaystyle \left(r_{n}\right)_{n=1}^{\infty}}$
• Beachten Sie, dass der Raum der rationalen Zahlen mit der üblichen, von den reellen Zahlen geerbten Topologie kein Baire-Raum ist, da er die Vereinigung von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen ohne Inneres, den Singletons, ist .

Nicht-Beispiel

Eines der ersten Nicht-Beispiele stammt aus der induzierten Topologie der rationalen Zahlen innerhalb der reellen Linie mit der euklidischen Standardtopologie . Gegeben eine Indizierung des rationals durch die natürlichen Zahlen so eine Bijektion und lassen , wo das ist eine offene, dichte Teilmenge in Dann , da der Schnittpunkt jede offenen Menge in leer ist, der Raum kann keinen Baire Raum. ${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{N}}$ ${\displaystyle f:\mathbb{N}\to\mathbb{Q},}$${\displaystyle {\mathcal{A}}=\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty}}$${\displaystyle A_{n}:=\mathbb{Q}\setminus\{f(n)\},}$${\displaystyle\mathbb{Q}.}$${\displaystyle {\mathcal{A}}}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$

Eigenschaften

• Jeder nicht-leere Baire-Raum ist an sich von zweiter Kategorie, und jeder Schnittpunkt abzählbar vieler dichter offener Teilmengen von ist nicht-leer, aber die Umkehrung von beiden ist nicht wahr, wie die topologische disjunkte Summe der rationalen Zahlen und zeigt das Einheitsintervall${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1].}$
• Jeder offene Unterraum eines Baire-Raumes ist ein Baire-Raum.
• Bei einer Familie von kontinuierlichen Funktionen = mit punktuellen Limit Wenn ein Baire Raum dann den Punkte , wo nicht kontinuierlich ist , ein magerer Satz in und die Menge der Punkte , an denen kontinuierlich ist dicht in einem Spezialfall ist dies das gleichmäßige Beschränktheit Prinzip .${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$${\displaystyle f:X\nach Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$
• Eine abgeschlossene Teilmenge eines Baire-Raums ist nicht unbedingt Baire.
• Das Produkt zweier Baire-Räume ist nicht unbedingt Baire. Es existieren jedoch hinreichende Bedingungen, die garantieren, dass ein Produkt aus beliebig vielen Baire-Räumen wieder Baire ist.

Siehe auch

• Baire-Raum (Mengentheorie)
• Banach-Mazur-Spiel
• Tonnenförmiger Raum
• Beschreibende Mengenlehre
• Mageres Set
• Nirgendwo dichter Satz
• Eigentum von Baire
• Blumberg-Theorem

Zitate

Verweise

Externe Links

• Artikel in der Enzyklopädie der Mathematik über den Baire-Raum
• Artikel in der Enzyklopädie der Mathematik zum Baire-Theorem