Mageres Set - Meagre set

In den mathematischen Gebieten der allgemeinen Topologie und der deskriptiven Mengenlehre ist eine magere Menge (auch magere Menge oder Menge der ersten Kategorie genannt ) eine Menge , die als Teilmenge eines (normalerweise größeren) topologischen Raums in einem präzisen Gefühl klein oder vernachlässigbar . Ein topologischer Raum T heißt mager, wenn er eine magere Teilmenge seiner selbst ist; andernfalls heißt es nonmeagre .

Die mageren Teilmengen eines festen Raumes bilden ein σ-Ideal von Teilmengen; das heißt, jede Teilmenge einer mageren Menge ist mager, und die Vereinigung von abzählbar vielen mageren Mengen ist mager. Allgemeine Topologen verwenden den Begriff Baire-Raum, um sich auf eine breite Klasse topologischer Räume zu beziehen, für die der Begriff der mageren Menge nicht trivial ist (insbesondere ist der gesamte Raum nicht mager). Deskriptive Mengentheoretiker studieren meist magere Mengen als Teilmengen der reellen Zahlen oder allgemeiner jeden polnischen Raum und reservieren den Begriff Baire-Raum für einen bestimmten polnischen Raum.

Das Komplement einer mageren Menge ist eine Comeagre- oder Residualmenge . Ein Satz, der nicht mager ist , heißt nonmeagre und soll die zu der zweiten Kategorie . Beachten Sie, dass die Begriffe einer Comeagre-Menge und einer nicht-magegre-Menge nicht äquivalent sind.

Definition

Durchgehend wird ein topologischer Raum sein . ${\displaystyle X}$

Eine Teilmenge eines topologischen Raum genannt werden nirgends dicht oder selten in , wenn sein Verschluß leer hat Innenraum . Äquivalent ist nirgendwo dicht in, wenn für jede offene Menge die Menge nicht dicht in . ist${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X,}$${\displaystyle B\cap U}$${\displaystyle U.}$

Eine abgeschlossene Teilmenge von ist nirgendwo dicht in genau dann, wenn ihr topologisches Inneres in leer ist. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Eine Teilmenge eines topologischen Raumes wird gesagt, dass mager in einem mageren Untersatz von oder der ersten Kategorie in , wenn es eine zählbare Vereinigung nirgends dichter Teilmengen von ist eine Teilmenge der zweiten Kategorie oder nonmeagre in , wenn es nicht dem Erste ist Kategorie in${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Ein topologischer Raum heißt mager (bzw. nonmeagre ) wenn er eine magere (bzw. nonmeagre) Teilmenge seiner selbst ist.

Warnung : Wenn eine Teilmenge von dann ist, ist ein "magerer Unterraum " von bedeutet, dass wenn mit der Unterraumtopologie ausgestattet ist (induziert durch ), dann ist ein magerer topologischer Raum (d. h. eine magere Teilmenge von ). Im Gegensatz dazu einen „mager sub wobei Satz “ von Mitteln , das auf eine Vereinigung von zählbaren nirgends dichten Teilmengen gleich Gleiches gilt für nonmeager Untergruppen und Teilräume.${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$

Wenn zum Beispiel der Menge aller positiven ganzen Zahlen ist dann ein magerer Untersatz von nicht aber ein mageren Teilraum von Wenn keine ist isolierter Punkt eines T ₁ Raumes (was bedeutet , dass nicht eine offene Teilmenge von ) dann ein mager Unterraum von , aber nicht ein mageren Untersatz von${\displaystyle S:=\mathbb{N}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{R}.}$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Eine Untergruppe ist comeagre in , wenn ihre Co mplement ist dürftig in äquivalenter Weise es zu einem gleich Kreuzung von countably viele Sätze, die jeweils deren topologische Innenraum ein dichtes Untergruppe von ist diese Verwendung des Präfix „ co “ steht im Einklang mit ihrer Verwendung in anderen Begriffe wie „ ko endlich “. ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus A}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X.}$

Wichtig ist, dass die zweite Kategorie nicht gleichbedeutend ist mit Comeagre – ein Set darf weder mager noch Comeagre sein (in diesem Fall wird es der zweiten Kategorie angehören).

Beispiele und hinreichende Bedingungen

Sei ein topologischer Raum. ${\displaystyle X}$

Meager Untersätze und Teilräume

• Eine Teilmenge Singleton ist immer ein nicht-magerer Teilraum von (das heißt, es ist ein nicht-magerer topologischer Raum). Wenn ein isolierter Punkt der dann auch ein nicht-magerer Untersatz von ; die Umkehrung gilt, wenn ein T ₁ -Raum ist .${\displaystyle \{x\}\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Jede Untermenge einer mageren Menge ist eine magere Menge.
• Jede nirgendwo dichte Teilmenge ist eine magere Menge.
• Auch die Vereinigung von abzählbar vielen mageren Mengen ist eine magere Menge.
• Jede abgeschlossene Teilmenge, deren Inneres in leer ist, gehört zur ersten Kategorie von (dh sie ist eine magere Teilmenge von ). Somit muss eine abgeschlossene Teilmenge von der zweiten Kategorie in ein nicht-leeres Inneres in . haben${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• Ein abzählbarer Hausdorff-Raum ohne isolierte Punkte ist dürftig.
• Jeder topologische Raum, der einen isolierten Punkt enthält, ist nicht mager.
• Jeder diskrete Raum ist nicht mager.
• Jeder Baire-Raum ist nicht-mager, aber es gibt nicht-magere Räume, die keine Baire-Räume sind.
  • Da sowohl vollständige metrische Räume als auch Hausdorff- lokal kompakte Räume Baire-Räume sind, sind sie auch nicht-magere Räume.
• Der Satz ist ein magerer Untersatz von obwohl ein nicht-mageren Teilraum (das heißt, ist kein magerer topologischen Raum).${\displaystyle S=(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q})\cup\mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$
• Da die rationalen Zahlen abzählbar sind, sind sie als Teilmenge der reellen Zahlen und als Raum dürftig, dh sie bilden keinen Baire-Raum .
• Die Cantor-Menge ist als Teilmenge der reellen Zahlen mager, aber nicht als Teilmenge ihrer selbst, da sie ein vollständiger metrischer Raum und somit nach dem Baire-Kategoriensatz ein Baire-Raum ist .
• Wenn ein Homöomorphismus ist, dann ist eine Teilmenge genau dann mager, wenn sie mager ist.${\displaystyle h:X\to X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle h(S)}$

Comeagre-Teilmenge

• Jede Obermenge einer Comeagre-Menge ist Comeagre.
• der Schnittpunkt von abzählbar vielen Comeagre-Mengen ist comeagre.
  • Dies folgt daraus, dass eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen abzählbar ist.

Funktionsräume

Die Menge der Funktionen, die irgendwann eine Ableitung haben, ist eine magere Menge im Raum aller stetigen Funktionen .

Eigenschaften

• Banach-Kategoriensatz: In jedem Raum ist die Vereinigung jeder abzählbaren Familie offener Mengen der ersten Kategorie von der ersten Kategorie.${\displaystyle X,}$
• Ein nicht magerer lokal konvexer topologischer Vektorraum ist ein Tonnenraum .
• Eine abgeschlossene Teilmenge davon , die der zweiten Kategorie angehört, muss ein nicht leeres Inneres haben in${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• If ist von der zweiten Kategorie in und if sind Teilmengen von solchen, dass dann mindestens eine von der zweiten Kategorie in . ist${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}S_{n},}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle X.}$

Magere Teilmengen und Lebesgue-Maß

Eine magere Menge braucht kein Maß Null zu haben. Es gibt nirgendwo dichte Teilmengen (die also magere Teilmengen sind), die ein positives Lebesgue-Maß haben .

Beziehung zur Borel-Hierarchie

So wie eine nirgendwo dichte Teilmenge nicht abgeschlossen sein muss, sondern immer in einer abgeschlossenen nirgendwo dichten Teilmenge enthalten ist (nämlich ihre Abgeschlossenheit), muss eine magere Menge keine F _σ Menge (abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen) sein, sondern ist immer enthalten in einer F _σ -Menge, die aus nirgendwo dichten Mengen besteht (indem man den Abschluss jeder Menge nimmt).

Ebenso wie das Komplement einer nirgendwo dichten Menge nicht offen sein muss, sondern ein dichtes Inneres hat (enthält eine dichte offene Menge), muss eine Comeagre-Menge keine G _δ -Menge (abzählbarer Schnittpunkt offener Mengen) sein, sondern enthält a dichte G _δ Menge gebildet aus dichten offenen Mengen.

Banach-Mazur-Spiel

Magere Sets haben eine nützliche alternative Charakterisierung im Sinne des Banach-Mazur-Spiels . Sei ein topologischer Raum, sei eine Familie von Teilmengen davon , die ein nichtleeres Inneres haben, so dass jede nichtleere offene Menge eine Teilmenge hat, die zu gehört und eine Teilmenge von ist Dann gibt es ein Banach-Mazur-Spiel entsprechend Im Banach-Mazur-Spiel, zwei Spieler und wählen abwechselnd nacheinander kleinere Elemente aus , um eine Sequenz zu erzeugen Der Spieler gewinnt, wenn der Schnittpunkt dieser Sequenz einen Punkt in enthält ; andernfalls gewinnt der Spieler . ${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathcal{W}},}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z.}$${\displaystyle X,{\mathcal{W}},Z.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q,}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Q}$

Theorem : Für alle , die die oben genannten Kriterien erfüllen, hat der Spieler genau dann eine Gewinnstrategie, wenn sie dürftig ist.${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle X}$

Siehe auch

• Baire-Kategoriensatz  – Auf topologischen Räumen, in denen der Schnittpunkt abzählbar vieler dichter offener Mengen dicht ist
• Baire-Raum
• Generische Eigenschaft , für Analoga zu Residuen
• Vernachlässigbarer Satz , für Analoga zu mager
• Nirgendwo dichter Satz
• Eigentum von Baire

Anmerkungen

Literaturverzeichnis

• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume . Reine und angewandte Mathematik (Zweite Aufl.). Boca Raton, FL: CRC-Presse. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Rudin, Walter (1991). Funktionsanalyse . Internationale Reihe in Reiner und Angewandter Mathematik. 8 (Zweite Aufl.). New York, NY: McGraw-Hill Wissenschaft/Ingenieurwesen/Mathematik . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .

Externe Links

• Gibt es einen Taktnullsatz, der nicht mager ist?