Alternative Algebra - Alternative algebra

In der abstrakten Algebra ist eine alternative Algebra eine Algebra, bei der die Multiplikation nicht assoziativ , sondern nur alternativ sein muss . Das heißt, man muss haben

• ${\ displaystyle x (xy) = (xx) y}$
• ${\ displaystyle (yx) x = y (xx)}$

für alle x und y in der Algebra.

Jede assoziative Algebra ist offensichtlich eine Alternative, aber auch einige streng nicht assoziative Algebren wie die Oktonionen .

Der Mitarbeiter

Alternative Algebren werden so genannt , weil sie die Algebren , für die die Assoziator wird abwechselnd . Der Assoziator ist eine trilineare Karte von

${\ displaystyle [x, y, z] = (xy) zx (yz)}$ .

Per Definition wechselt eine mehrlineare Karte, wenn sie verschwindet, wenn zwei ihrer Argumente gleich sind. Die linken und rechten alternativen Identitäten für eine Algebra entsprechen

${\ displaystyle [x, x, y] = 0}$

${\ displaystyle [y, x, x] = 0.}$

Beide Identitäten zusammen bedeuten, dass der Assoziator vollständig schiefsymmetrisch ist . Das ist,

${\ displaystyle [x _ {\ sigma (1)}, x _ {\ sigma (2)}, x _ {\ sigma (3)}] = \ operatorname {sgn} (\ sigma) [x_ {1}, x_ {2 }, x_ {3}]}$

für jede Permutation σ . Es folgt dem

${\ displaystyle [x, y, x] = 0}$

für alle x und y . Dies entspricht der flexiblen Identität

${\ displaystyle (xy) x = x (yx).}$

Der Assoziator einer alternativen Algebra wechselt daher ab. Umgekehrt ist jede Algebra, deren Assoziator sich abwechselt, eindeutig eine Alternative. Durch Symmetrie jede Algebra, die zwei der folgenden Kriterien erfüllt:

• linke alternative Identität: ${\ displaystyle x (xy) = (xx) y}$
• richtige alternative Identität: ${\ displaystyle (yx) x = y (xx)}$
• flexible Identität: ${\ displaystyle (xy) x = x (yx).}$

ist alternativ und erfüllt daher alle drei Identitäten.

Ein alternierender Assoziator ist immer völlig schiefsymmetrisch. Das Gegenteil gilt, solange die Charakteristik des Basisfeldes nicht 2 ist.

Beispiele

• Jede assoziative Algebra ist eine Alternative.
• Die Oktonionen bilden eine nicht assoziative alternative Algebra, eine normierte Teilungsalgebra der Dimension 8 über die reellen Zahlen.
• Im Allgemeinen ist jede Oktonionalgebra eine Alternative.

Nichtbeispiele

• Die Sedenionen und alle höheren Cayley-Dickson-Algebren verlieren an Alternative.

Eigenschaften

Artins Theorem besagt, dass in einer alternativen Algebra die von zwei beliebigen Elementen erzeugte Subalgebra assoziativ ist . Umgekehrt ist jede Algebra, für die dies zutrifft, eindeutig eine Alternative. Daraus folgt, dass Ausdrücke mit nur zwei Variablen in einer alternativen Algebra ohne Klammern eindeutig geschrieben werden können. Eine Verallgemeinerung des Satzes von Artin besagt, dass immer dann, wenn drei Elemente in einer alternativen Algebra assoziieren (dh ), die von diesen Elementen erzeugte Subalgebra assoziativ ist. ${\ displaystyle x, y, z}$${\ displaystyle [x, y, z] = 0}$

Eine logische Folge des Artin Theorem ist , dass alternative algebras sind Power-assoziative , das heißt, die Subalgebra von einem Element erzeugt ist assoziativ. Das Gegenteil muss nicht gelten: Die Sedenionen sind machtassoziativ, aber keine Alternative.

Die Moufang-Identitäten

• ${\ displaystyle a (x (ay)) = (axa) y}$
• ${\ displaystyle ((xa) y) a = x (aya)}$
• ${\ displaystyle (ax) (ya) = a (xy) a}$

Halten Sie in jeder alternativen Algebra.

In einer unitalen alternativen Algebra sind multiplikative Inversen immer dann eindeutig, wenn sie existieren. Darüber hinaus für jedes invertierbare Element und alles, was man hat ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle y = x ^ {- 1} (xy).}$

Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass der Assoziator für alle diese und verschwindet . Wenn und invertierbar sind, dann ist auch invertierbar mit invers . Die Menge aller invertierbaren Elemente wird daher unter Multiplikation geschlossen und bildet eine Moufang-Schleife . Diese Schleife von Einheiten in einem alternativen Ring oder einer alternativen Algebra ist analog zu der Gruppe von Einheiten in einem assoziativen Ring oder einer assoziativen Algebra. ${\ displaystyle [x ^ {- 1}, x, y]}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle (xy) ^ {- 1} = y ^ {- 1} x ^ {- 1}}$

Der Satz von Kleinfeld besagt, dass jeder einfache nicht assoziative alternative Ring eine verallgemeinerte Oktonionalgebra über seinem Zentrum ist. Die Strukturtheorie alternativer Ringe wird in vorgestellt.

Anwendungen

Die projektive Ebene über einem alternativen Teilungsring ist eine Moufang-Ebene .

Die enge Beziehung zwischen alternativen Algebren und Kompositionsalgebren wurde 2008 von Guy Roos angegeben: Er zeigt (Seite 162) die Beziehung für eine Algebra A mit dem Einheitselement e und einen involutiven Antiautorphismus, so dass a + a * und aa * aktiviert sind die Leitung überspannt von e für alle a in A . Verwenden Sie die Notation n ( a ) = aa *. Wenn dann n eine nicht singuläre Abbildung in das Feld von A ist und A eine Alternative ist, dann ist ( A, n ) eine Kompositionsalgebra. ${\ displaystyle a \ mapsto a ^ {*}}$

Siehe auch

• Algebra über einem Feld
• Maltsev-Algebra
• Zornring

Verweise

• Schafer, Richard D. (1995). Eine Einführung in nichtassoziative Algebren . New York: Dover-Veröffentlichungen. ISBN   0-486-68813-5 . Zbl   0145.25601 .
• Zhevlakov, KA; Slin'ko, AM; Shestakov, IP; Shirshov, AI (1982) [1978]. Ringe, die fast assoziativ sind . Akademische Presse . ISBN   0-12-779850-1 . MR   0518614 . Zbl   0487.17001 .

Externe Links

• Zhevlakov, KA (2001) [1994], "Alternative Ringe und Algebren" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press