Baum-Connes-Vermutung - Baum–Connes conjecture

In der Mathematik , insbesondere in der Operator-K-Theorie , schlägt die Baum-Connes-Vermutung eine Verbindung zwischen der K-Theorie der reduzierten C * -Algebra einer Gruppe und der K-Homologie des klassifizierenden Raums der richtigen Aktionen dieser Gruppe vor. Die Vermutung stellt eine Entsprechung zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematik her, wobei die K-Homologie des klassifizierenden Raums mit der Geometrie, der Differentialoperatortheorie und der Homotopietheorie in Beziehung steht , während die K-Theorie der reduzierten C * -Algebra der Gruppe eine reine ist analytisches Objekt.

Die Vermutung hätte, wenn sie wahr wäre, einige ältere berühmte Vermutungen als Konsequenzen. Zum Beispiel impliziert der Surjektivitätsteil die Kadison-Kaplansky-Vermutung für diskrete torsionsfreie Gruppen , und die Injektivität hängt eng mit der Novikov-Vermutung zusammen .

Die Vermutung ist ebenfalls eng mit verwandten Indextheorie , da die Montage Karte ist eine Art Index, und es spielt eine wichtige Rolle in Alain Connes ' nichtkommutativer Geometrie - Programm. ${\ displaystyle \ mu}$

Die Ursprünge der Vermutung gehen unter anderem auf die Fredholm-Theorie , den Atiyah-Singer-Indexsatz und das Zusammenspiel der Geometrie mit der Operator-K-Theorie zurück, wie sie in den Arbeiten von Brown, Douglas und Fillmore zum Ausdruck kommen.

Formulierung

Sei Γ eine zweite zählbare lokal kompakte Gruppe (zum Beispiel eine zählbare diskrete Gruppe ). Man kann einen Morphismus definieren

${\ displaystyle \ mu: RK _ {*} ^ {\ Gamma} ({\ unterstreiche {E \ Gamma}}) \ bis K _ {*} (C_ {r} ^ {*} (\ Gamma)),}$

genannt die Assemblierungskarte , von der äquivarianten K-Homologie mit kompakten Unterstützungen des Klassifizierungsraums geeigneter Aktionen bis zur K-Theorie der reduzierten C * -Algebra von Γ. Der Index _* kann 0 oder 1 sein. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle {\ underline {E \ Gamma}}}$

Paul Baum und Alain Connes führten die folgende Vermutung (1982) über diesen Morphismus ein:

Baum-Connes-Vermutung. Die Assemblierungskarte ist ein Isomorphismus .${\ displaystyle \ mu}$

Da die linke Seite tendenziell leichter zugänglich ist als die rechte Seite, da es kaum allgemeine Struktursätze der Algebra gibt, betrachtet man die Vermutung normalerweise als "Erklärung" der rechten Seite. ${\ displaystyle C ^ {*}}$

Die ursprüngliche Formulierung der Vermutung war etwas anders, da der Begriff der äquivarianten K-Homologie 1982 noch nicht üblich war.

Falls diskret und torsionsfrei ist, reduziert sich die linke Seite auf die nicht äquivariante K-Homologie mit kompakten Trägern des gewöhnlichen Klassifizierungsraums von . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle B \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Es gibt auch eine allgemeinere Form der Vermutung, die als Baum-Connes-Vermutung mit Koeffizienten bekannt ist, bei der beide Seiten Koeffizienten in Form einer -Algebra haben, auf die durch -automorphismen einwirkt . In KK-Sprache heißt es, dass die Baugruppenkarte ${\ displaystyle C ^ {*}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle C ^ {*}}$

${\ displaystyle \ mu _ {A, \ Gamma}: RKK _ {*} ^ {\ Gamma} ({\ unterstreiche {E \ Gamma}}, A) \ bis K _ {*} (A \ rtimes _ {\ lambda} \ Gamma),}$

ist ein Isomorphismus, der den Fall ohne Koeffizienten als den Fall enthält ${\ displaystyle A = \ mathbb {C}.}$

Gegenbeispiele zur Vermutung mit Koeffizienten wurden jedoch 2002 von Nigel Higson , Vincent Lafforgue und Georges Skandalis gefunden . Die Vermutung mit Koeffizienten bleibt jedoch ein aktives Forschungsgebiet, da sie, ähnlich wie die klassische Vermutung, häufig als Aussage über bestimmte Gruppen oder Gruppen von Gruppen angesehen wird.

Beispiele

Sei die ganze Zahl . Dann auf der linken Seite ist die K-Homologie von denen der Kreis. Die -algebra der ganzen Zahlen ist durch die kommutative Gelfand-Naimark-Transformation, die sich in diesem Fall auf die Fourier-Transformation reduziert , isomorph zur Algebra der stetigen Funktionen auf dem Kreis. Die rechte Seite ist also die topologische K-Theorie des Kreises. Man kann dann zeigen, dass die Assemblierungskarte eine KK-theoretische Poincaré-Dualität ist, wie sie von Gennadi Kasparov definiert wurde , was ein Isomorphismus ist. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle B \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle C ^ {*}}$

Ergebnisse

Die Vermutung ohne Koeffizienten ist noch offen, obwohl das Gebiet seit 1982 große Aufmerksamkeit erhalten hat.

Die Vermutung wird für die folgenden Klassen von Gruppen bewiesen:

• Diskrete Untergruppen von und .${\ displaystyle SO (n, 1)}$${\ displaystyle SU (n, 1)}$
• Gruppen mit der Haagerup-Eigenschaft , manchmal auch als aT-menable-Gruppen bezeichnet . Dies sind Gruppen, die eine isometrische Aktion auf einen affinen Hilbert-Raum zulassen, die in dem Sinne angemessen ist, dass für alle und alle Sequenzen von Gruppenelementen mit . Beispiele für aT-menable Gruppen sind zugängliche Gruppen , Coxeter-Gruppen , Gruppen, die richtig auf Bäume wirken , und Gruppen, die richtig auf einfach verbundene kubische Komplexe wirken.${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} g_ {n} \ xi \ to \ infty}$${\ displaystyle \ xi \ in H}$${\ displaystyle g_ {n}}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} g_ {n} \ to \ infty}$${\ displaystyle CAT (0)}$
• Gruppen, die eine endliche Präsentation mit nur einer Beziehung zulassen .
• Diskrete kokompakte Untergruppen von echten Lie-Gruppen von echtem Rang 1.
• Kokompaktgitter in oder . Es war seit den ersten Tagen der Vermutung ein seit langem bestehendes Problem, eine einzelne T-Gruppe mit unendlicher Eigenschaft freizulegen , die diese erfüllt. Eine solche Gruppe wurde jedoch 1998 von V. Lafforgue angegeben, als er zeigte, dass Kokompaktgitter die Eigenschaft eines schnellen Zerfalls haben und somit die Vermutung erfüllen.${\ displaystyle SL (3, \ mathbb {R}), SL (3, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle SL (3, \ mathbb {Q} _ {p})}$${\ displaystyle SL (3, \ mathbb {R})}$
• Gromov hyperbolische Gruppen und ihre Untergruppen.
• Unter nicht diskreten Gruppen wurde die Vermutung 2003 von J. Chabert, S. Echterhoff und R. Nest für die große Klasse aller fast verbundenen Gruppen (dh Gruppen mit einer kokompakt verbundenen Komponente) und aller Gruppen von -rationalen gezeigt Punkte einer linearen algebraischen Gruppe über einem lokalen Feld der charakteristischen Null (z . B. ). Für die wichtige Unterklasse der realen reduktiven Gruppen hatte Antony Wassermann die Vermutung bereits 1987 gezeigt .${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = \ mathbb {Q} _ {p}}$

Die Injektivität ist dank der Dirac-Dual-Dirac-Methode für eine viel größere Klasse von Gruppen bekannt. Dies geht auf Ideen von Michael Atiyah zurück und wurde 1987 von Gennadi Kasparov allgemein entwickelt . Die Injektivität ist für die folgenden Klassen bekannt:

• Diskrete Untergruppen verbundener Lie-Gruppen oder virtuell verbundener Lie-Gruppen.
• Diskrete Untergruppen von p-adischen Gruppen .
• Bolische Gruppen (eine gewisse Verallgemeinerung von hyperbolischen Gruppen).
• Gruppen, die auf kleinem Raum eine zugängliche Aktion zulassen.

Das einfachste Beispiel für eine Gruppe, für die nicht bekannt ist, ob sie die Vermutung erfüllt, ist . ${\ displaystyle SL_ {3} (\ mathbb {Z})}$

Verweise

• Mislin, Guido & Valette, Alain (2003), Richtige Gruppenaktionen und die Baum-Connes-Vermutung , Basel: Birkhäuser, ISBN 0-8176-0408-1.
• Valette, Alain (2002), Einführung in die Baum-Connes-Vermutung , Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6706-0.

Externe Links

• Zur Baum-Connes-Vermutung von Dmitry Matsnev.