Kastentopologie - Box topology

In Topologie , das kartesische Produkt von topologischen Räumen kann mehrere verschiedene Topologien gegeben werden. Eine der offensichtlicheren Optionen ist die Box-Topologie , bei der die kartesischen Produkte offener Mengen in den Komponentenräumen eine Basis bilden . Eine andere Möglichkeit ist die Produkttopologie , bei der die kartesischen Produkte offener Mengen in den Komponentenräumen eine Basis bilden, von denen nur endlich viele nicht gleich dem gesamten Komponentenraum sein können.

Die Box-Topologie ist zwar etwas intuitiver definiert als die Produkttopologie, erfüllt jedoch weniger wünschenswerte Eigenschaften. Insbesondere wenn alle Komponentenräume kompakt sind , ist die Kastentopologie ihres kartesischen Produkts nicht unbedingt kompakt, obwohl die Produkttopologie ihres kartesischen Produkts immer kompakt ist. Im Allgemeinen ist die Box-Topologie feiner als die Produkttopologie, obwohl die beiden bei endlichen direkten Produkten übereinstimmen (oder wenn alle bis auf endlich viele der Faktoren trivial sind ).

Definition

Vorausgesetzt , dass ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle X: = \ prod _ {i \ in I} X_ {i},}

oder die (möglicherweise unendliche) kartesische Produkt der topologischen Räumen , indiziert durch die Box Topologie auf durch die erzeugte Basis ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle i \ in I}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle B = \ left \ {\ prod _ {i \ in I} U_ {i} \ mid U_ {i} {\ text {open in}} X_ {i} \ right \}.}

Das Namensfeld stammt aus dem Fall von R ⁿ , in dem die Basissätze wie Kästchen aussehen.

Eigenschaften

Box-Topologie auf R ^ω :

Die Box-Topologie ist völlig normal
Die Box-Topologie ist weder kompakt noch verbunden
Die Box-Topologie kann nicht zuerst gezählt werden (daher nicht messbar ).
Die Box-Topologie ist nicht trennbar
Die Box-Topologie ist parakompakt (und daher normal und vollständig regelmäßig), wenn die Kontinuumshypothese wahr ist

Beispiel - Ausfall der Kontinuität

Das folgende Beispiel basiert auf dem Hilbert-Würfel . Lassen R ^ω die zählbare kartesisches Produkt bezeichnen R mit sich selbst, das heißt die Menge aller Sequenzen in R . Rüste R mit der Standardtopologie und R ^ω mit der Kastentopologie aus. Definieren:

{\ displaystyle {\ begin {Fälle} f: \ mathbf {R} \ bis \ mathbf {R} ^ {\ omega} \\ x \ mapsto (x, x, x, \ ldots) \ end {Fälle}}}

Alle Komponentenfunktionen sind also die Identität und daher stetig, wir werden jedoch zeigen, dass f nicht stetig ist. Um dies zu sehen, betrachten Sie die offene Menge

{\ displaystyle U = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (- {\ tfrac {1} {n}}, {\ tfrac {1} {n}} \ right).}

Angenommen, f wäre stetig. Dann seit:

{\ displaystyle f (0) = (0,0,0, \ ldots) \ in U,}

es sollte so existieren , dass Aber dies würde das implizieren ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle (- \ varepsilon, \ varepsilon) \ subset f ^ {- 1} (U).}$

{\ displaystyle f \ left ({\ tfrac {\ varepsilon} {2}} \ right) = \ left ({\ tfrac {\ varepsilon} {2}}, {\ tfrac {\ varepsilon} {2}}, { \ tfrac {\ varepsilon} {2}}, \ ldots \ right) \ in U,}

was falsch ist, da für Somit ist f nicht stetig, obwohl alle seine Komponentenfunktionen sind. ${\ displaystyle {\ tfrac {\ varepsilon} {2}}> {\ tfrac {1} {n}}}$ ${\ displaystyle n> {\ tfrac {2} {\ varepsilon}}.}$

Beispiel - Versagen der Kompaktheit

Betrachten Sie das zählbare Produkt , wo für jedes i , mit der diskreten Topologie. Die Box-Topologie ist auch die diskrete Topologie. Da diskrete Räume genau dann kompakt sind, wenn sie endlich sind, sehen wir sofort, dass sie nicht kompakt sind, obwohl ihre Komponentenräume kompakt sind. ${\ displaystyle X = \ prod X_ {i}}$ ${\ displaystyle X_ {i} = \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X}$ ist auch nicht sequentiell kompakt: Betrachten Sie die Sequenz von ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$

{\ displaystyle (x_ {n}) _ {m} = {\ begin {Fällen} 0 & m <n \\ 1 & m \ geq n \ end {Fälle}}}

Da keine zwei Punkte in der Sequenz gleich sind, hat die Sequenz keinen Grenzpunkt und ist daher nicht sequentiell kompakt. ${\ displaystyle X}$

Konvergenz in der Box-Topologie

Topologien lassen sich häufig am besten verstehen, indem beschrieben wird, wie Sequenzen konvergieren. Im Allgemeinen ist ein kartesisches Produkt eines Raums mit sich selbst über einer Indexmenge genau der Raum von Funktionen von bis , bezeichnet . Die Produkttopologie ergibt die Topologie der punktweisen Konvergenz ; Funktionssequenzen konvergieren genau dann, wenn sie an jedem Punkt von konvergieren . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ textstyle \ prod _ {s \ in S} X = X ^ {S}}$ ${\ displaystyle S}$

Da die Box-Topologie feiner als die Produkttopologie ist, ist die Konvergenz einer Sequenz in der Box-Topologie eine strengere Bedingung. Angenommen, Hausdorff, eine Folge von Funktionen in konvergiert in der Box-Topologie genau dann zu einer Funktion, wenn sie punktweise konvergiert und es eine endliche Teilmenge gibt und eine solche, dass für alle die Folge in für alle konstant ist . Mit anderen Worten, die Reihenfolge ist schließlich für fast alle konstant und auf einheitliche Weise. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n}}$ ${\ displaystyle X ^ {S}}$ ${\ displaystyle f \ in X ^ {S}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle S_ {0} \ subset S}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle n> N}$ ${\ displaystyle (f_ {n} (s)) _ {n}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle s \ in S \ setminus S_ {0}}$ ${\ displaystyle (f_ {n} (s)) _ {n}}$ ${\ displaystyle s}$

Vergleich mit der Produkttopologie

Die Basissätze in der Produkttopologie haben fast die gleiche Definition wie oben, außer mit der Qualifikation, dass alle bis auf endlich viele U _i gleich dem Komponentenraum X _{i sind} . Die Produkttopologie erfüllt eine sehr wünschenswerte Eigenschaft für Abbildungen f _i : Y → X _i in die Komponentenräume: Die durch die Komponentenfunktionen f _i definierte Produktabbildung f : Y → X ist genau dann stetig, wenn alle f _i stetig sind. Wie oben gezeigt, gilt dies nicht immer für die Box-Topologie. Dies macht die Box-Topologie tatsächlich sehr nützlich für die Bereitstellung von Gegenbeispielen - viele Eigenschaften wie Kompaktheit , Verbundenheit , Messbarkeit usw., wenn sie von den Faktorräumen besessen werden, bleiben im Produkt mit dieser Topologie im Allgemeinen nicht erhalten.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Steen, Lynn A. und Seebach, J. Arthur Jr . ; Gegenbeispiele in Topology , Holt, Rinehart und Winston (1970). ISBN 0030794854 .
Willard, Stephen (2004). Allgemeine Topologie . Dover-Veröffentlichungen. ISBN 0-486-43479-6 .

Externe Links

"Kastentopologie" . PlanetMath .

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