Zylindersatz - Cylinder set

In der Mathematik ist ein Zylindersatz ist ein Satz in der Standard - Basis für die offenen Mengen der Produkttopologie ; sie sind auch eine erzeugende Familie des Zylinders σ-Algebra , die im abzählbaren Fall das Produkt σ-Algebra ist .

Zylindersätze sind besonders nützlich, um die Basis der natürlichen Topologie des Produkts einer abzählbaren Anzahl von Kopien eines Satzes bereitzustellen . Wenn V a endliche Menge , dann jedes Element von V kann durch einen Buchstaben dargestellt werden, und das zählbare Produkt kann durch die Sammlung von dargestellt wird Strings von Buchstaben.

Allgemeine Definition

Betrachten Sie bei einer gegebenen Sammlung von Mengen das kartesische Produkt aller Mengen in der Sammlung. Die kanonische Projektion , die einigen entspricht, ist die Funktion , die jedes Element des Produkts auf seine Komponente abbildet . Ein Zylindersatz ist ein Urbild einer kanonischen Projektion oder ein endlicher Schnittpunkt solcher Urbilder. Explizit handelt es sich um eine Menge der Form, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \textstyle X=\prod_{Y\in S}Y\,}$${\displaystyle Y\in S}$ ${\displaystyle p_{Y}:X\to Y}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(A_{i}\right)=\left\{\left(x\right)\ in X\mid x_{Y_{1}}\in A_{1},\dots ,x_{Y_{n}}\in A_{n}\right\}}$

für jede beliebige endliche Folge von Mengen und Teilmengen für . Hier bezeichnet die Komponente von . ${\displaystyle n}$${\displaystyle Y_{1},...Y_{n}\in S}$ ${\displaystyle A_{i}\subseteq Y_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle x_{Y}\in Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\in X}$

Dann, wenn alle in Sätzen sind topologische Räume wird die Produkttopologie erzeugt durch Zylindersätze auf die Komponenten offenen Sätzen entsprechen. Ist , die Zylinder der Form , wo für jeden , in offen ist . Ebenso ist im Fall von messbaren Räumen die Zylinder-σ-Algebra diejenige, die durch Zylindersätze erzeugt wird, die den messbaren Sätzen der Komponenten entsprechen. Für ein abzählbares Produkt ist die Zylinder-σ-Algebra das Produkt σ-Algebra . ${\displaystyle S}$${\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(U_{i}\right)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$

Die Einschränkung, dass die Zylindermenge der Schnittpunkt einer endlichen Anzahl offener Zylinder ist, ist wichtig; Das Zulassen unendlicher Schnittmengen führt im Allgemeinen zu einer feineren Topologie. Im letzteren Fall ist die resultierende Topologie die Boxtopologie ; Zylindersätze sind niemals Hilbertwürfel .

Zylindersätze in Produkten von diskreten Sätzen

Sei eine endliche Menge, die n Objekte oder Buchstaben enthält . Die Sammlung aller bi-infinite Strings in diesen Buchstaben wird mit bezeichnet ${\displaystyle S=\{1,2,\ldots,n\}}$

${\displaystyle S^{\mathbb{Z}}=\{x=(\ldots,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots):x_{k}\in S\; \forall k\in\mathbb{Z}\}.}$

Die natürliche Topologie on ist die diskrete Topologie . Grundlegende offene Mengen in der diskreten Topologie bestehen aus einzelnen Buchstaben; Somit wird auf der offenen Zylinder des Produkttopologie sind ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{\mathbb{Z}}}$

${\displaystyle C_{t}[a]=\{x\in S^{\mathbb{Z}}:x_{t}=a\}.}$

Die Schnittpunkte einer endlichen Anzahl offener Zylinder sind die Zylindermengen

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{m}]&=C_{t}[a_{0}]\,\cap \,C_{t+1 }[a_{1}]\,\cap \cdots \cap \,C_{t+m}[a_{m}]\\&=\{x\in S^{\mathbb{Z} }:x_{ t}=a_{0},\ldots ,x_{t+m}=a_{m}\}\end{ausgerichtet}}.}$

Zylindersätze sind Klopfsätze . Als Elemente der Topologie sind Zylindermengen per Definition offene Mengen. Das Komplement eines offenen Satzes ist ein geschlossener Satz, aber das Komplement eines Zylindersatzes ist eine Vereinigung von Zylindern, und somit sind auch Zylindersätze geschlossen und somit geschlossen.

Definition für Vektorräume

Bei einem endlichen oder unendlichdimensionalen dimensionalen Vektorraum über einen Bereich K (wie die realen oder komplexen Zahlen ) können die Zylindersätze definiert werden als ${\displaystyle V}$

${\displaystyle C_{A}[f_{1},\ldots ,f_{n}]=\{x\in V:(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_ {n}(x))\in A\}}$

wo ist ein Borel-Satz in , und jeder ist ein lineares Funktional auf ; das heißt, der algebraische Dualraum zu . Bei topologischen Vektorräumen erfolgt die Definition stattdessen für Elemente , den stetigen Dualraum . Das heißt, die Funktionale werden als stetige lineare Funktionale angesehen. ${\displaystyle A\subset K^{n}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f_{j}\in (V^{*})^{\otimes n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f_{j}\in(V^{\prime})^{\otimes n}}$${\displaystyle f_{j}}$

Anwendungen

Zylindersätze werden häufig verwendet, um eine Topologie auf Sätzen zu definieren, die Teilmengen von und häufig beim Studium der symbolischen Dynamik sind ; siehe zum Beispiel Unterverschiebung endlichen Typs . Zylindersätze werden oft verwendet, um ein Maß zu definieren , unter Verwendung des Kolmogorov-Erweiterungssatzes ; zum Beispiel könnte das Maß eines Zylindersatzes der Länge m mit 1/ m oder 1/2 ^{m angegeben werden} . ${\displaystyle S^{\mathbb{Z}}}$

Zylindersätze können verwendet werden, um eine Metrik auf dem Raum zu definieren : zum Beispiel sagt man, dass zwei Strings -nah sind, wenn ein Bruchteil 1−ε der Buchstaben in den Strings übereinstimmt.

Da Strings als p- adische Zahlen betrachtet werden können , kann ein Teil der Theorie der p- adischen Zahlen auf Zylindersätze angewendet werden, und insbesondere gelten die Definitionen von p- adischen Maßen und p- adischen Metriken für Zylindersätze. Diese Arten von Maßräumen kommen in der Theorie dynamischer Systeme vor und werden als nicht singuläre Kilometerzähler bezeichnet . Eine Verallgemeinerung dieser Systeme ist der Markov-Kilometerzähler . ${\displaystyle S^{\mathbb{Z}}}$

Zylindermengen über topologischen Vektorräumen sind der Kernbestandteil der formalen Definition des Feynman-Pfadintegrals oder funktionalen Integrals der Quantenfeldtheorie und der Verteilungsfunktion der statistischen Mechanik .

Siehe auch

• Zylindrische σ-Algebra
• Zylindersatzmaß
• Ultraprodukt

Verweise

• RA Minlos (2001) [1994], "Zylindersatz" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press