Clarksons Ungleichungen - Clarkson's inequalities

In der Mathematik sind Clarksons Ungleichungen , benannt nach James A. Clarkson , Ergebnisse in der Theorie der L ^p -Räume . Sie geben Grenzen für die L ^p - Normen der Summe und Differenz zweier messbarer Funktionen in L ^p in Form der L ^p -Norm dieser Funktionen einzeln an.

Erklärung der Ungleichungen

Sei ( X , Σ,  μ ) ein Messraum ; sei f ,  g  :  X  →  R messbare Funktionen in L ^p . Dann gilt für 2 ≤  p  <+ ∞

${\ displaystyle \ left \ | {\ frac {f + g} {2}} \ right \ | _ {L ^ {p}} ^ {p} + \ left \ | {\ frac {fg} {2}} \ right \ | _ {L ^ {p}} ^ {p} \ leq {\ frac {1} {2}} \ left (\ | f \ | _ {L ^ {p}} ^ {p} + \ | g \ | _ {L ^ {p}} ^ {p} \ right).}$

Für 1 <  p  <2,

${\ displaystyle \ left \ | {\ frac {f + g} {2}} \ right \ | _ {L ^ {p}} ^ {q} + \ left \ | {\ frac {fg} {2}} \ right \ | _ {L ^ {p}} ^ {q} \ leq \ left ({\ frac {1} {2}} \ | f \ | _ {L ^ {p}} ^ {p} + { \ frac {1} {2}} \ | g \ | _ {L ^ {p}} ^ {p} \ right) ^ {\ frac {q} {p}},}$

wo

${\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1,}$

dh q  =  p  ⁄ ( p  - 1).

Der Fall p  ≥ 2 ist etwas einfacher zu beweisen, da er eine einfache Anwendung der Dreiecksungleichung und der Konvexität von ist

${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {p}.}$

Verweise

• Clarkson, James A. (1936), "Uniformly Convex Spaces", Transactions of the American Mathematical Society , 40 (3): 396–414, doi : 10.2307 / 1989630 , MR  1501880.
• Hanner, Olof (1956), "Über die gleichmäßige Konvexität von L ^p und ℓ ^p ", Arkiv för Matematik , 3 (3): 239–244, doi : 10.1007 / BF02589410 , MR  0077087.
• Friedrichs, KO (1970), "Über Clarksons Ungleichungen", Communications on Pure and Applied Mathematics , 23 : 603–607, doi : 10.1002 / cpa.3160230405 , MR  0264372.

Externe Links

• Clarkson-Ungleichung bei PlanetMath.org .