Kompakte Gruppe - Compact group

In der Mathematik ist eine kompakte ( topologischen ) Gruppe ist eine topologische Gruppe , deren Topologie ist kompakt (wenn ein Element der Gruppe betrieben wird, ist das Ergebnis ebenfalls innerhalb der Gruppe). Kompakte Gruppen sind eine natürliche Verallgemeinerung endlicher Gruppen mit der diskreten Topologie und haben Eigenschaften, die in signifikanter Weise übertragen werden. Kompaktgruppen haben eine gut verstandene Theorie in Bezug auf Gruppenhandlungen und Repräsentationstheorie .

Im Folgenden nehmen wir an, dass alle Gruppen Hausdorff-Räume sind .

Kompakte Lügengruppen

Lie-Gruppen bilden eine Klasse topologischer Gruppen, und die kompakten Lie-Gruppen haben eine besonders gut entwickelte Theorie. Zu den grundlegenden Beispielen für kompakte Lie-Gruppen gehören

• die Kreisgruppe T und die Torusgruppen T ⁿ ,
• die orthogonalen Gruppen O( n ), die spezielle orthogonale Gruppe SO( n ) und ihre überdeckende Spingruppe Spin( n ),
• die einheitliche Gruppe U( n ) und die spezielle einheitliche Gruppe SU( n ),
• die symplektische Gruppe Sp( n ),
• die kompakten Formen der außergewöhnlichen Lie-Gruppen : G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ und E ₈ ,

Der Klassifikationssatz kompakter Lie-Gruppen besagt, dass dies die Liste der Beispiele (die bereits einige Redundanzen enthält) bis auf endliche Erweiterungen und endliche Überdeckungen erschöpft. Diese Klassifikation wird im nächsten Unterabschnitt genauer beschrieben.

Einstufung

Gegeben jede kompakte Lie - Gruppe G kann man seine nehmen Identität Komponente G ₀ , das ist verbunden . Die Quotientengruppe G / G ₀ ist die Komponentengruppe π ₀ ( G ), die endlich sein muss, da G kompakt ist. Wir haben also eine endliche Erweiterung

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.}$

Unterdessen haben wir für verbundene kompakte Lie-Gruppen das folgende Ergebnis:

Satz : Jede zusammenhängende kompakte Lie-Gruppe ist der Quotient durch eine endliche zentrale Untergruppe eines Produkts einer einfach zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe und eines Torus.

Somit kann die Klassifikation zusammenhängender kompakter Lie-Gruppen im Prinzip auf die Kenntnis der einfach zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppen samt Informationen über deren Zentren reduziert werden. (Informationen über das Zentrum finden Sie im folgenden Abschnitt über die Fundamentalgruppe und das Zentrum.)

Schließlich ist jede kompakte, zusammenhängende, einfach zusammenhängende Lie-Gruppe K ein Produkt kompakter, zusammenhängender, einfach zusammenhängender einfacher Lie-Gruppen K _{i ,} von denen jede zu genau einer der folgenden isomorph ist:

• Die kompakte symplektische Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n),\,n\geq 1}$
• Die besondere Einheitsgruppe ${\displaystyle \operatorname {SU} (n),\,n\geq 3}$
• Die Spingruppe ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n),\,n\geq 7}$

oder eine der fünf Ausnahmegruppen G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ und E ₈ . Die Beschränkungen für n bestehen darin, spezielle Isomorphismen zwischen den verschiedenen Familien für kleine Werte von n zu vermeiden . Für jede dieser Gruppen ist das Zentrum explizit bekannt. Die Klassifizierung erfolgt durch das zugehörige Wurzelsystem (für einen festen maximalen Torus), die wiederum durch ihre Dynkin-Diagramme klassifiziert werden .

Die Klassifikation kompakter, einfach zusammenhängender Lie-Gruppen entspricht der Klassifikation komplexer halbeinfacher Lie-Algebren . Wenn K eine einfach zusammenhängende kompakte Lie-Gruppe ist, dann ist die Komplexifizierung der Lie-Algebra von K halbeinfach. Umgekehrt hat jede komplexe halbeinfache Lie-Algebra eine kompakte reelle Form, die isomorph zur Lie-Algebra einer kompakten, einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe ist.

Maximale Tori- und Wurzelsysteme

Eine Schlüsselidee beim Studium einer zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe K ist das Konzept eines maximalen Torus , d. h. einer Untergruppe T von K , die isomorph zu einem Produkt mehrerer Kopien von ist und in keiner größeren Untergruppe dieses Typs enthalten ist . Ein grundlegendes Beispiel ist der Fall , wobei wir in diesem Fall die Gruppe der diagonalen Elemente in annehmen können . Ein grundlegendes Ergebnis ist der Torussatz, der besagt, dass jedes Element von zu einem maximalen Torus gehört und dass alle maximalen Tori konjugiert sind. ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle K=\operatorname {SU} (n)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

Der maximale Torus in einer kompakten Gruppe spielt eine analoge Rolle wie die Cartan-Subalgebra in einer komplexen halbeinfachen Lie-Algebra. Insbesondere kann man, sobald ein maximaler Torus gewählt wurde, ein Wurzelsystem und eine Weyl-Gruppe definieren, ähnlich wie bei halbeinfachen Lie-Algebren . Diese Strukturen spielen dann sowohl bei der Klassifikation zusammenhängender kompakter Gruppen (oben beschrieben) als auch in der Darstellungstheorie einer festen solchen Gruppe (unten beschrieben) eine wesentliche Rolle. ${\displaystyle T\subset K}$

Die Wurzelsysteme, die den einfachen kompakten Gruppen zugeordnet sind, die in der Klassifikation der einfach zusammenhängenden kompakten Gruppen erscheinen, sind wie folgt:

• Die speziellen unitären Gruppen entsprechen dem Wurzelsystem${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$${\displaystyle A_{n-1}}$
• Die ungeraden Spingruppen entsprechen dem Wurzelsystem${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}$${\displaystyle B_{n}}$
• Die kompakten symplektischen Gruppen entsprechen dem Wurzelsystem${\displaystyle\operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle C_{n}}$
• Die geraden Spingruppen entsprechen dem Wurzelsystem${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}$${\displaystyle D_{n}}$
• Die außergewöhnlich kompakten Lie-Gruppen entsprechen den fünf außergewöhnlichen Wurzelsystemen G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ oder E ₈

Fundamentale Gruppe und Zentrum

Es ist wichtig zu wissen, ob eine zusammenhängende kompakte Lie-Gruppe einfach zusammenhängend ist, und wenn nicht, ihre Fundamentalgruppe zu bestimmen . Für kompakte Lie-Gruppen gibt es zwei grundlegende Ansätze zur Berechnung der Fundamentalgruppe. Der erste Ansatz gilt für die klassischen kompakten Gruppen , , , und und geht durch Induktion über . Der zweite Ansatz verwendet das Wurzelsystem und gilt für alle verbundenen kompakten Lie-Gruppen. ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$${\displaystyle\operatorname {U} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle\operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle n}$

Es ist auch wichtig, das Zentrum einer zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe zu kennen. Das Zentrum einer klassischen Gruppe kann leicht "von Hand" berechnet werden und besteht in den meisten Fällen einfach aus den Wurzeln der Identität in . (Die Gruppe SO(2) ist eine Ausnahme – das Zentrum ist die ganze Gruppe, obwohl die meisten Elemente keine Wurzeln der Identität sind.) So besteht zum Beispiel das Zentrum von aus n- ten Einheitswurzeln mal der Identität, a zyklische Ordnungsgruppe . ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$${\displaystyle n}$

Im Allgemeinen kann das Zentrum durch das Wurzelgitter und den Kern der exponentiellen Abbildung für den maximalen Torus ausgedrückt werden. Die allgemeine Methode zeigt zum Beispiel, dass die einfach zusammenhängende kompakte Gruppe, die dem außergewöhnlichen Wurzelsystem entspricht, ein triviales Zentrum hat. Damit die kompakte Gruppe ist einer der sehr wenigen einfachen kompakten Gruppen , die gleichzeitig einfach verbunden und in der Mitte frei sind. (Die anderen sind und .) ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle F_{4}}$${\displaystyle E_{8}}$

Weitere Beispiele

Unter Gruppen, die keine Lie-Gruppen sind und daher nicht die Struktur einer Mannigfaltigkeit tragen , sind Beispiele die additive Gruppe Z _p von p-adischen ganzen Zahlen und Konstruktionen daraus. Tatsächlich ist jede profinite Gruppe eine kompakte Gruppe. Dies bedeutet, dass Galois-Gruppen kompakte Gruppen sind, eine grundlegende Tatsache für die Theorie der algebraischen Erweiterungen bei unendlichem Grad.

Die Pontryagin-Dualität bietet einen großen Vorrat an Beispielen für kompakte kommutative Gruppen. Diese stehen in Dualität mit abelschen diskreten Gruppen .

Haar messen

Kompakte Gruppen tragen alle ein Haar-Maß , das sowohl bei der linken als auch bei der rechten Translation invariant ist (die Modulusfunktion muss ein stetiger Homomorphismus zu positiven reellen Zahlen ( R ⁺ , ×) sein, und so 1). Mit anderen Worten, diese Gruppen sind unimodular . Haar-Maß wird leicht als Wahrscheinlichkeitsmaß normalisiert , analog zu dθ/2π auf dem Kreis.

Ein solches Haar-Maß ist in vielen Fällen leicht zu berechnen; für orthogonale Gruppen war es beispielsweise Adolf Hurwitz bekannt , und in der Lie-Gruppe können Fälle immer durch eine invariante Differentialform angegeben werden . Im profiniten Fall gibt es viele Untergruppen des endlichen Indexes , und das Haar-Maß einer Nebenklasse ist der Kehrwert des Index. Daher sind Integrale oft recht direkt berechenbar, eine Tatsache, die in der Zahlentheorie ständig angewendet wird .

Wenn eine kompakte Gruppe und das zugehörige Haar-Maß ist, liefert der Peter-Weyl-Satz eine Zerlegung von als orthogonale direkte Summe endlichdimensionaler Unterräume von Matrixeinträgen für die irreduziblen Darstellungen von . ${\displaystyle K}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L^{2}(K,dm)}$${\displaystyle K}$

Darstellungstheorie

Die Darstellungstheorie kompakter Gruppen (nicht unbedingt Lie-Gruppen und nicht unbedingt zusammenhängend) wurde durch den Peter-Weyl-Satz begründet . Hermann Weyl fuhr fort, die detaillierte Charaktertheorie der kompakten zusammenhängenden Lie-Gruppen basierend auf der Maximaltorus- Theorie zu geben. Die daraus resultierende Weyl-Zeichenformel war eines der einflussreichen Ergebnisse der Mathematik des 20. Jahrhunderts. Die Kombination des Peter-Weyl-Theorems und der Weyl-Charakterformel führte Weyl zu einer vollständigen Klassifikation der Darstellungen einer zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe; diese Theorie wird im nächsten Abschnitt beschrieben.

Eine Kombination von Weyls Arbeit und dem Satz von Cartan gibt einen Überblick über die gesamte Darstellungstheorie kompakter Gruppen G . Das heißt, nach dem Peter-Weyl-Theorem werden die irreduziblen unitären Darstellungen ρ von G in eine unitäre Gruppe (von endlicher Dimension) und das Bild wird eine geschlossene Untergruppe der unitären Gruppe durch Kompaktheit sein. Der Satz von Cartan besagt, dass Im(ρ) selbst eine Lie-Untergruppe in der unitären Gruppe sein muss. Wenn G selbst keine Lie-Gruppe ist, muss es einen Kernel zu ρ geben. Weiterhin kann man für den Kern von immer kleiner ein inverses System endlichdimensionaler unitärer Darstellungen bilden, das G als inversen Grenzwert kompakter Lie-Gruppen identifiziert . Dass im Limes eine getreue Darstellung von G gefunden wird, ist hier eine weitere Konsequenz des Peter-Weyl-Theorems.

Der unbekannte Teil der Darstellungstheorie kompakter Gruppen wird dabei grob gesagt auf die komplexen Darstellungen endlicher Gruppen zurückgeworfen . Diese Theorie ist ziemlich detailreich, aber qualitativ gut verstanden.

Darstellungstheorie einer zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe

Einige einfache Beispiele der Darstellungstheorie kompakter Lie-Gruppen können von Hand erarbeitet werden, wie die Darstellungen der Rotationsgruppe SO(3) , der speziellen unitären Gruppe SU(2) und der speziellen unitären Gruppe SU(3) . Wir konzentrieren uns hier auf die allgemeine Theorie. Siehe auch die parallele Theorie der Darstellungen einer halbeinfachen Lie-Algebra .

In diesem Abschnitt fixieren wir eine zusammenhängende kompakte Lie-Gruppe K und einen maximalen Torus T in K .

Darstellungstheorie von T

Da T kommutativ ist, sagt uns das Lemma von Schur , dass jede irreduzible Darstellung von T eindimensional ist: ${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \rho:T\rightarrow GL(1;\mathbb{C})=\mathbb{C}^{*}.}$

Da auch T kompakt ist, muss eigentlich in abgebildet werden . ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb{C}}$

Um diese Darstellungen konkret zu beschreiben, sei die Lie-Algebra von T und wir schreiben Punkte als ${\displaystyle {\mathfrak{t}}}$${\displaystyle h\in T}$

${\displaystyle h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak{t}}.}$

In solchen Koordinaten hat die Form ${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \rho(e^{H})=e^{i\lambda(H)}}$

für einige lineare Funktionen auf . ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle {\mathfrak{t}}}$

Da die exponentielle Abbildung nicht injektiv ist, führt nicht jedes solche lineare Funktional zu einer wohldefinierten Abbildung von T in . Bezeichnen Sie stattdessen den Kern der exponentiellen Abbildung: ${\displaystyle H\mapsto e^{H}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \Gamma}$

${\displaystyle \Gamma =\left\{H\in {\mathfrak {t}}\mid e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \right\},}$

wo ist das Identitätselement von T . (Wir skalieren die exponentielle Abbildung hier um einen Faktor von , um solche Faktoren an anderer Stelle zu vermeiden.) Um eine wohldefinierte Abbildung zu erhalten , muss dann ${\displaystyle \operatorname {Id} }$${\displaystyle 2\pi}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle \lambda(H)\in\mathbb{Z},\quad H\in\Gamma,}$

wo ist die Menge der ganzen Zahlen. Ein lineares Funktional , das diese Bedingung erfüllt, wird als analytisch integrales Element bezeichnet . Diese Integritätsbedingung ist mit dem Begriff des integralen Elements in der Einstellung halbeinfacher Lie-Algebren verwandt, aber nicht identisch damit . ${\displaystyle \mathbb{Z}}$${\displaystyle \lambda}$

Nehmen wir zum Beispiel an, T ist nur die Gruppe komplexer Zahlen mit dem Betrag 1. Die Lie-Algebra ist die Menge der rein imaginären Zahlen, und der Kern der (skalierten) Exponentialabbildung ist die Menge der Zahlen der Form wobei an ganze Zahl. Ein lineares Funktional nimmt für alle diese Zahlen genau dann ganzzahlige Werte an, wenn es die Form für eine ganze Zahl hat . Die irreduziblen Darstellungen von T sind in diesem Fall eindimensional und von der Form ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle e^{i\theta}}$${\displaystyle H=i\theta,\,\theta\in\mathbb{R},}$${\displaystyle in}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda(i\theta)=k\theta}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \rho(e^{i\theta})=e^{ik\theta},\quad k\in\mathbb{Z} .}$

Darstellungstheorie von K

Wir bezeichnen nun eine endlichdimensionale irreduzible Darstellung von K (over ). Wir betrachten dann die Beschränkung von auf T . Diese Einschränkung ist nicht irreduzibel, es sei denn, sie ist eindimensional. Trotzdem zerfällt die Restriktion als direkte Summe irreduzibler Darstellungen von T . (Man beachte, dass eine gegebene irreduzible Darstellung von T mehr als einmal vorkommen kann.) Nun wird jede irreduzible Darstellung von T wie im vorhergehenden Unterabschnitt durch ein lineares Funktional beschrieben . Wenn ein Gegebenes bei der Zerlegung der Beschränkung von auf T mindestens einmal vorkommt , nennen wir ein Gewicht von . Die Strategie der Darstellungstheorie von K besteht darin, die irreduziblen Darstellungen nach ihren Gewichten zu klassifizieren. ${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \Sigma}$

Wir beschreiben nun kurz die Strukturen, die zur Formulierung des Theorems benötigt werden; mehr Details finden Sie im Artikel über Gewichte in der Darstellungstheorie . Wir brauchen den Begriff eines Wurzelsystems für K (relativ zu einem gegebenen maximalen Torus T ). Die Konstruktion dieses Wurzelsystems ist der Konstruktion komplexer halbeinfacher Lie-Algebren sehr ähnlich . Insbesondere sind die Gewichte der Nicht - Null - Gewichte für die adjoint Wirkung von T auf der komplexifizierten Liealgebra von K . Das Wurzelsystem R hat alle üblichen Eigenschaften eines Wurzelsystems , außer dass sich die Elemente von R nicht überspannen dürfen . Wir wählen dann eine Basis für R und wir sagen , dass ein integrales Element ist dominant , wenn für alle . Schließlich sagen wir, dass eine Gewichtung höher ist als eine andere, wenn ihre Differenz als Linearkombination von Elementen mit nicht negativen Koeffizienten ausgedrückt werden kann. ${\displaystyle R\subset {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak{t}}}$${\displaystyle \Delta}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle\lambda(\alpha)\geq 0}$${\displaystyle \alpha\in\Delta}$${\displaystyle \Delta}$

Die irreduziblen endlich-dimensionalen Darstellungen von K werden dann durch einen Satz höchster Gewichtung klassifiziert , der eng mit dem analogen Satz verwandt ist, der Darstellungen einer halbeinfachen Lie-Algebra klassifiziert . Das Ergebnis sagt:

1. jede irreduzible Darstellung hat das höchste Gewicht,
2. das höchste Gewicht ist immer ein dominantes, analytisch integrales Element,
3. zwei irreduzible Darstellungen mit dem gleichen höchsten Gewicht sind isomorph, und
4. jedes dominante, analytisch integrale Element entsteht als höchstes Gewicht einer irreduziblen Darstellung.

Der Satz vom höchsten Gewicht für Darstellungen von K ist dann fast derselbe wie für halbeinfache Lie-Algebren, mit einer bemerkenswerten Ausnahme: Der Begriff eines ganzzahligen Elements ist anders. Die Gewichte einer Darstellung sind analytisch ganzzahlig im Sinne des vorigen Unterabschnitts. Jedes analytisch integrale Element ist integral im Sinne der Lie-Algebra, aber nicht umgekehrt. (Dieses Phänomen spiegelt wider, dass im Allgemeinen nicht jede Darstellung der Lie-Algebra aus einer Darstellung der Gruppe K stammt .) Andererseits, wenn K einfach zusammenhängend ist, ist die Menge der möglichen höchsten Gewichte im Gruppensinn dieselbe als Menge der möglichen höchsten Gewichte im Sinne der Lie-Algebra. ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle {\mathfrak{k}}}$

Die Weyl-Charakterformel

Wenn die Darstellung von K ist , definieren wir den Charakter von als die Funktion gegeben durch ${\displaystyle \Pi :K\to \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle\Pi}$${\displaystyle \mathrm{X} :K\to\mathbb{C}}$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K}$.

Diese Funktion ist leicht als Klassenfunktion zu sehen, dh für alle und in K . Somit wird durch seine Beschränkung auf T bestimmt . ${\displaystyle \mathrm{X} (xyx^{-1})=\mathrm{X} (y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathrm{X}}$

Das Studium von Charakteren ist ein wichtiger Teil der Darstellungstheorie kompakter Gruppen. Ein entscheidendes Ergebnis, das eine Folge des Peter-Weyl-Theorems ist , ist, dass die Zeichen eine Orthonormalbasis für die Menge der quadratintegrierbaren Klassenfunktionen in K bilden . Ein zweites Schlüsselergebnis ist die Weyl-Zeichenformel , die eine explizite Formel für das Zeichen – oder besser die Beschränkung des Zeichens auf T – im Hinblick auf das höchste Gewicht der Darstellung liefert .

In der eng verwandten Darstellungstheorie der halbeinfachen Lie-Algebren ist die Weylsche Charakterformel ein zusätzliches Ergebnis, das nach der Klassifizierung der Darstellungen erstellt wurde. In Weyls Analyse des Kompaktgruppenfalls ist die Weyl-Charakterformel jedoch tatsächlich ein entscheidender Teil der Klassifikation selbst. Insbesondere in Weyls Analyse der Darstellungen von K wird der schwierigste Teil des Satzes – der zeigt, dass jedes dominante, analytisch integrale Element tatsächlich das höchste Gewicht einer Darstellung hat – auf eine völlig andere Weise bewiesen als die übliche Konstruktion der Lie-Algebra mit Verma Module . In Weyls Ansatz basiert die Konstruktion auf dem Peter-Weyl-Theorem und einem analytischen Beweis der Weyl-Charakterformel . Letztlich werden die irreduziblen Darstellungen von K im Raum stetiger Funktionen auf K realisiert .

Der SU(2)-Fall

Wir betrachten nun den Fall der kompakten Gruppe SU(2). Die Darstellungen werden oft aus der Sicht der Lie-Algebra betrachtet , aber wir betrachten sie hier aus der Sicht der Gruppe. Wir nehmen den maximalen Torus als die Menge der Matrizen der Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}}.}$

Gemäß dem oben im Abschnitt über Darstellungen von T diskutierten Beispiel werden die analytisch ganzzahligen Elemente mit ganzen Zahlen bezeichnet, so dass die dominanten, analytisch ganzzahligen Elemente nicht negative ganze Zahlen sind . Die allgemeine Theorie sagt uns dann, dass es für jedes eine eindeutige irreduzible Darstellung von SU(2) mit dem höchsten Gewicht gibt . ${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

Viele Informationen über die einem Gegebenen entsprechende Darstellung sind in seinem Charakter kodiert. Nun sagt die Weyl-Zeichenformel in diesem Fall , dass das Zeichen gegeben ist durch ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}}\right)={\frac {\ sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta)}}.}$

Wir können das Zeichen auch wie folgt als Summe der Exponentialwerte schreiben:

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}}\right)=e^{im\ theta }+e^{i(m-2)\theta}+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta}.}$

(Wenn wir die Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Reihe nach obigem Ausdruck verwenden und vereinfachen, erhalten wir den früheren Ausdruck.)

Aus diesem letzten Ausdruck und der Standardformel für das Zeichen in Bezug auf die Gewichte der Darstellung können wir ablesen, dass die Gewichte der Darstellung

${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$

jeweils mit Vielzahl eins. (Die Gewichte sind die ganzen Zahlen, die in den Exponenten der Exponenten erscheinen, und die Multiplizitäten sind die Koeffizienten der Exponentialen.) Da es Gewichte mit jeweils der Multiplizität 1 gibt, ist die Dimension der Darstellung . Somit gewinnen wir einen Großteil der Informationen über die Darstellungen zurück, die normalerweise aus der Lie-Algebra-Berechnung gewonnen werden. ${\displaystyle m+1}$${\displaystyle m+1}$

Ein Überblick über den Beweis

Wir skizzieren nun den Beweis des Satzes vom höchsten Gewicht, indem wir der ursprünglichen Argumentation von Hermann Weyl folgen . Wir seien weiterhin eine zusammenhängende kompakte Lie-Gruppe und ein fester maximaler Torus in . Wir konzentrieren uns auf den schwierigsten Teil des Theorems und zeigen, dass jedes dominante, analytisch integrale Element das höchste Gewicht einer (endlich-dimensionalen) irreduziblen Darstellung hat. ${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$

Die Werkzeuge für den Beweis sind die folgenden:

• Der Torussatz .
• Die Weyl-Integralformel .
• Der Peter-Weyl-Satz für Klassenfunktionen , der besagt, dass die Charaktere der irreduziblen Darstellungen eine Orthonormalbasis für den Raum der quadratintegrierbaren Klassenfunktionen auf bilden .${\displaystyle K}$

Mit diesen Werkzeugen in der Hand fahren wir mit dem Beweis fort. Der erste wichtige Schritt in der Argumentation besteht darin, die Weyl-Zeichenformel zu beweisen . Die Formel besagt, dass if eine irreduzible Darstellung mit höchstem Gewicht ist , dann erfüllt der Charakter von : ${\displaystyle\Pi}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mathrm{X}}$${\displaystyle\Pi}$

${\displaystyle \mathrm{X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho ) ,H\rangle}}{\sum_{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot\rho,H\rangle}}}}$

für alle in der Lie-Algebra von . Hier ist die halbe Summe der positiven Wurzeln. (Die Notation verwendet die Konvention der "realen Gewichte"; diese Konvention erfordert einen expliziten Faktor von im Exponenten.) Weyls Beweis der Zeichenformel ist analytischer Natur und hängt davon ab, dass die Norm des Zeichens 1 ist. Wenn der Zähler zusätzliche Terme enthält, würde die Weyl-Integralformel die Norm des Zeichens zwingen, größer als 1 zu sein. ${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle i}$${\displaystyle L^{2}}$

Als nächstes lassen wir die Funktion auf der rechten Seite der Zeichenformel bezeichnen. Wir zeigen , dass auch wenn nicht bekannt ist , das höchste Gewicht einer Darstellung zu sein , ist eine gut definierte, Weyl-invariante Funktion auf , die daher zu einer Klasse Funktion erweitert auf . Dann kann man mit der Weyl-Integralformel zeigen, dass die Funktionen als Bereiche über die Menge der dominanten, analytisch integralen Elemente eine orthonormale Familie von Klassenfunktionen bilden. Wir betonen, dass wir derzeit nicht wissen, dass jede solche das höchste Gewicht einer Darstellung hat; trotzdem liefern die Ausdrücke auf der rechten Seite der Zeichenformel einen wohldefinierten Satz von Funktionen , und diese Funktionen sind orthonormal. ${\displaystyle \Phi_{\lambda}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \Phi_{\lambda}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \Phi_{\lambda}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \Phi_{\lambda}}$

Jetzt kommt das Fazit. Die Menge aller bildet – mit Reichweiten über die dominanten, analytisch integralen Elemente – eine orthonormale Menge im Raum der quadratintegrierbaren Klassenfunktionen. Aber nach der Weyl-Zeichenformel bilden die Zeichen der irreduziblen Darstellungen eine Untermenge der 's. Und nach dem Peter-Weyl-Theorem bilden die Charaktere der irreduziblen Darstellungen eine Orthonormalbasis für den Raum der quadratintegrierbaren Klassenfunktionen. Gäbe es einige , die nicht das höchste Gewicht einer Darstellung haben, dann hätte das entsprechende nicht den Charakter einer Darstellung. Somit wären die Zeichen eine richtige Teilmenge der Menge von 's. Aber dann haben wir eine unmögliche Situation: eine orthonormal Basis (die Menge von Zeichen der irreduziblen Darstellungen) würde in einem streng größer orthonormal Satz enthalten sein (den Satz von ‚s). Somit muss jede tatsächlich das höchste Gewicht einer Darstellung haben. ${\displaystyle \Phi_{\lambda}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \Phi_{\lambda}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \Phi_{\lambda}}$${\displaystyle \Phi_{\lambda}}$${\displaystyle \Phi_{\lambda}}$${\displaystyle \lambda}$

Dualität

Das Thema der Wiederherstellung einer kompakten Gruppe aus ihrer Darstellungstheorie ist Gegenstand der Tannaka-Krein-Dualität , die jetzt oft in Bezug auf die Tannaksche Kategorientheorie umformuliert wird.

Von kompakten zu nicht kompakten Gruppen

Der Einfluss der Kompaktgruppentheorie auf nicht-kompakte Gruppen wurde von Weyl in seinem unitarischen Trick formuliert . Innerhalb einer allgemeinen halbeinfachen Lie-Gruppe gibt es eine maximal kompakte Untergruppe , und die Repräsentationstheorie solcher Gruppen, die weitgehend von Harish-Chandra entwickelt wurde , verwendet intensiv die Beschränkung einer Repräsentation auf eine solche Untergruppe und auch das Modell der Weylschen Charaktertheorie.

Siehe auch

• Peter-Weyl-Theorem
• Maximaler Torus
• Wurzelsystem
• Lokal kompakte Gruppe
• p -Kompaktgruppe
• Protorus
• Klassifizieren endlich-dimensionaler Darstellungen von Lie-Algebren
• Gewichte in der Darstellungstheorie von halbeinfachen Lie-Algebren

Verweise

Literaturverzeichnis

• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Darstellungen kompakter Lügengruppen , Graduate Texts in Mathematics, 98 , Springer
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2. Aufl.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. (1998), Die Struktur kompakter Gruppen , Berlin: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1