Homomorphismus - Homomorphism

In der Algebra ist ein Homomorphismus eine strukturerhaltende Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen desselben Typs (z. B. zwei Gruppen , zwei Ringe oder zwei Vektorräume ). Das Wort Homomorphismus stammt aus dem Altgriechischen : ὁμός ( homos ) bedeutet „gleich“ und μορφή ( morphe ) bedeutet „Form“ oder „Form“. Allerdings wurde das Wort offenbar auf die Mathematik eingeführt aufgrund einer (mis) Übersetzung der deutschen ähnlich „ähnlich“ bedeutet ὁμός bedeutet „gleich“. Der Begriff „Homomorphismus“ tauchte bereits 1892 auf, als er dem deutschen Mathematiker Felix Klein (1849–1925) zugeschrieben wurde.

Homomorphismen von Vektorräumen werden auch als lineare Abbildungen bezeichnet , und ihre Untersuchung ist Gegenstand der linearen Algebra .

Das Konzept des Homomorphismus wurde unter dem Namen Morphismus auf viele andere Strukturen verallgemeinert, die entweder keine zugrunde liegende Menge haben oder nicht algebraisch sind. Diese Verallgemeinerung ist der Ausgangspunkt der Kategorientheorie .

Ein Homomorphismus kann auch ein Isomorphismus , ein Endomorphismus , ein Automorphismus usw. sein (siehe unten). Jede davon kann auf eine Weise definiert werden, die auf jede beliebige Klasse von Morphismen verallgemeinert werden kann.

Definition

Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen des gleichen Typs (d. h. des gleichen Namens), die die Operationen der Strukturen beibehält. Dies bedeutet eine Abbildung zwischen zwei Mengen , die mit derselben Struktur ausgestattet sind, so dass, wenn eine Operation der Struktur (hier zur Vereinfachung als binäre Operation angenommen ) ist, dann ${\displaystyle f:A\nach B}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle\cdot}$

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

für jedes Paar , der Elemente . Man sagt oft, dass die Operation erhalten bleibt oder mit der Operation vereinbar ist. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$

Formal behält eine Abbildung eine Operation der Stelligkeit k bei , die sowohl für als auch für definiert ist ${\displaystyle f:A\nach B}$${\displaystyle\mu}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle f(\mu_{A}(a_{1},\ldots,a_{k}))=\mu_{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k })),}$

für alle Elemente in . ${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$${\displaystyle A}$

Zu den Operationen, die durch einen Homomorphismus erhalten bleiben müssen, gehören 0-äre Operationen , also die Konstanten. Insbesondere wenn der Strukturtyp ein Identitätselement erfordert, muss das Identitätselement der ersten Struktur auf das entsprechende Identitätselement der zweiten Struktur abgebildet werden.

Beispielsweise:

• Ein Halbgruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen Halbgruppen , die die Halbgruppenoperation beibehält.
• Ein Monoid-Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen Monoiden , die die Monoid-Operation beibehält und das Identitätselement des ersten Monoids auf das des zweiten Monoids abbildet (das Identitätselement ist eine 0-äre Operation ).
• Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen Gruppen , die die Gruppenoperation beibehält. Dies impliziert, dass der Gruppenhomomorphismus das Identitätselement der ersten Gruppe auf das Identitätselement der zweiten Gruppe abbildet und das Inverse eines Elements der ersten Gruppe auf das Inverse des Bildes dieses Elements abbildet . Somit ist ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen Gruppen notwendigerweise ein Gruppenhomomorphismus.
• Ein Ringhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen Ringen , die die Ringaddition, die Ringmultiplikation und die multiplikative Identität bewahrt . Ob die multiplikative Identität bewahrt werden soll, hängt von der Definition des verwendeten Rings ab. Bleibt die multiplikative Identität erhalten, liegt ein rng- Homomorphismus vor.
• Eine lineare Abbildung ist ein Homomorphismus von Vektorräumen ; das heißt, ein Gruppenhomomorphismus zwischen Vektorräumen, der die abelsche Gruppenstruktur und die skalare Multiplikation beibehält .
• Ein Modulhomomorphismus , auch lineare Abbildung zwischen Modulen genannt , wird ähnlich definiert.
• Ein Algebra-Homomorphismus ist eine Abbildung, die die Algebra- Operationen beibehält .

Eine algebraische Struktur kann mehr als eine Operation haben, und ein Homomorphismus ist erforderlich, um jede Operation zu erhalten. Somit ist eine Abbildung, die nur einige der Operationen beibehält, kein Homomorphismus der Struktur, sondern nur ein Homomorphismus der Unterstruktur, die durch Berücksichtigung nur der erhaltenen Operationen erhalten wird. Beispielsweise ist eine Abbildung zwischen Monoiden, die die Monoid-Operation und nicht das Identitätselement beibehält, kein Monoid-Homomorphismus, sondern nur ein Halbgruppen-Homomorphismus.

Die Notation für die Operationen muss in Quelle und Ziel eines Homomorphismus nicht gleich sein. Zum Beispiel bilden die reellen Zahlen eine Gruppe für die Addition und die positiven reellen Zahlen eine Gruppe für die Multiplikation. Die Exponentialfunktion

${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

befriedigt

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$

und ist somit ein Homomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen. Es ist sogar ein Isomorphismus (siehe unten), da seine Umkehrfunktion , der natürliche Logarithmus , erfüllt

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}$

und ist auch ein Gruppenhomomorphismus.

Beispiele

Die reellen Zahlen sind ein Ring mit Addition und Multiplikation. Die Menge aller 2×2- Matrizen ist auch ein Ring, unter Matrixaddition und Matrixmultiplikation . Definieren wir eine Funktion zwischen diesen Ringen wie folgt:

${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

wobei r eine reelle Zahl ist, dann ist f ein Homomorphismus von Ringen, da f beide Additionen erhält :

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\ begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$

und Multiplikation:

${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\ 0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$

In einem anderen Beispiel bilden die von Null verschiedenen komplexen Zahlen eine Gruppe unter der Operation der Multiplikation, wie dies auch die von Null verschiedenen reellen Zahlen tun. (Null muss aus beiden Gruppen ausgeschlossen werden, da es keine multiplikative Inverse gibt , die für Elemente einer Gruppe erforderlich ist.) Definiere eine Funktion von den komplexen Zahlen ungleich Null zu den reellen Zahlen ungleich Null durch ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=|z|.}$

Das heißt, ist der absolute Wert (oder Modul) der komplexen Zahl . Dann ist ein Homomorphismus von Gruppen, da er die Multiplikation erhält: ${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{ 2}).}$

Beachten Sie, dass f nicht zu einem Homomorphismus von Ringen (von den komplexen Zahlen zu den reellen Zahlen) erweitert werden kann, da es die Addition nicht beibehält:

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$

Als weiteres Beispiel zeigt das Diagramm einen Monoid- Homomorphismus vom Monoid zum Monoid . Aufgrund der unterschiedlichen Bezeichnungen entsprechender Operationen betragen die erfüllten strukturerhaltenden Eigenschaften und . ${\displaystyle f}$${\displaystyle (\mathbb{N} ,+,0)}$${\displaystyle (\mathbb{N},\times,1)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$${\displaystyle f(0)=1}$

Eine Kompositionsalgebra über einem Körper hat eine quadratische Form , die als Norm bezeichnet wird , die ein Gruppenhomomorphismus von der multiplikativen Gruppe von zur multiplikativen Gruppe von ist . ${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle N:A\to F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$

Spezielle Homomorphismen

Mehrere Arten von Homomorphismen haben einen bestimmten Namen, der auch für allgemeine Morphismen definiert ist .

Isomorphismus

Ein Isomorphismus zwischen algebraischen Strukturen desselben Typs wird allgemein als bijektiver Homomorphismus definiert.

Im allgemeineren Kontext der Kategorientheorie wird ein Isomorphismus als ein Morphismus definiert , der eine Umkehrung hat , die auch ein Morphismus ist. Im speziellen Fall von algebraischen Strukturen sind die beiden Definitionen äquivalent, obwohl sie sich für nicht-algebraische Strukturen unterscheiden können, denen eine Menge zugrunde liegt.

Genauer gesagt, wenn

${\displaystyle f:A\nach B}$

ein (Homo-)Morphismus ist, hat er eine Inverse, wenn es einen Homomorphismus gibt

${\displaystyle g:B\nach A}$

so dass

${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{and}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

Wenn und zugrunde liegende Mengen haben und eine inverse , dann ist bijektiv. In der Tat ist injektiv , wie impliziert , und ist surjektiv , wie für jedes in , das man hat , und ist das Bild eines Elements von . ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\nach B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x=f(g(x))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$

Umgekehrt, wenn ein bijektiver Homomorphismus zwischen algebraischen Strukturen ist, sei die Abbildung so, dass das eindeutige Element von so ist, dass . Man hat und es bleibt nur zu zeigen, dass g ein Homomorphismus ist. Wenn eine binäre Operation der Struktur ist, für jedes Paar , von Elementen , hat man ${\displaystyle f:A\nach B}$${\displaystyle g:B\nach A}$${\displaystyle g(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ und }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}$${\displaystyle*}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A} g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}$

und ist somit kompatibel mit Da der Beweis für jede Arität ähnlich ist , zeigt dies, dass es sich um einen Homomorphismus handelt. ${\displaystyle g}$${\displaystyle *.}$${\displaystyle g}$

Dieser Beweis funktioniert nicht für nicht-algebraische Strukturen. Zum Beispiel ist für topologische Räume ein Morphismus eine stetige Abbildung , und die Umkehrung einer bijektiven stetigen Abbildung ist nicht notwendigerweise stetig. Ein Isomorphismus topologischer Räume, Homöomorphismus oder bikontinuierliche Abbildung genannt , ist also eine bijektiv stetige Abbildung, deren Inverse ebenfalls stetig ist.

Endomorphismus

Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus, dessen Domäne gleich der Codomäne ist , oder allgemeiner ein Morphismus, dessen Quelle gleich dem Ziel ist.

Die Endomorphismen einer algebraischen Struktur oder eines Objekts einer Kategorie bilden unter Komposition ein Monoid .

Die Endomorphismen eines Vektorraums oder eines Moduls bilden einen Ring . Im Fall eines Vektorraums oder eines freien Moduls endlicher Dimension induziert die Wahl einer Basis einen Ringisomorphismus zwischen dem Ring der Endomorphismen und dem Ring der quadratischen Matrizen derselben Dimension.

Automorphismus

Ein Automorphismus ist ein Endomorphismus, der auch ein Isomorphismus ist.

Die Automorphismen einer algebraischen Struktur oder eines Objekts einer Kategorie bilden unter Komposition eine Gruppe , die als Automorphismengruppe der Struktur bezeichnet wird.

Viele Gruppen, die einen Namen erhalten haben, sind Automorphismusgruppen einer algebraischen Struktur. Zum Beispiel ist die allgemeine lineare Gruppe die Automorphismusgruppe eines Vektorraums der Dimension über einem Körper . ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

Die Automorphismus- Feldergruppen wurden von Évariste Galois zum Studium der Wurzeln von Polynomen eingeführt und bilden die Grundlage der Galois-Theorie .

Monomorphismus

Für algebraische Strukturen werden Monomorphismen allgemein als injektive Homomorphismen definiert .

Im allgemeineren Kontext der Kategorientheorie wird ein Monomorphismus als ein Morphismus definiert , der annullierbar bleibt . Dies bedeutet , dass eine (Homo) morphism einen Monomorphismus wenn ist, für jedes Paar , von morphisms von jedem anderen Objekt zu , dann impliziert . ${\displaystyle f:A\nach B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$${\displaystyle g=h}$

Diese beiden Definitionen von Monomorphismus sind für alle gängigen algebraischen Strukturen äquivalent. Genauer gesagt sind sie äquivalent für Körper , für die jeder Homomorphismus ein Monomorphismus ist, und für Varietäten der universellen Algebra , also algebraischen Strukturen, für die Operationen und Axiome (Identitäten) ohne Einschränkung definiert sind (Körper sind keine Varietät, da die multiplikativ invers ist entweder als unäre Operation oder als Eigenschaft der Multiplikation definiert, die in beiden Fällen nur für Elemente ungleich Null definiert sind).

Insbesondere sind die beiden Definitionen eines Monomorphismus äquivalent für Mengen , Magmen , Halbgruppen , Monoide , Gruppen , Ringe , Körper , Vektorräume und Module .

Ein gespaltener Monomorphismus ist ein Homomorphismus, der eine linke Inverse hat und somit selbst eine rechte Inverse dieses anderen Homomorphismus ist. Das heißt, ein Homomorphismus ist ein geteilter Monomorphismus, wenn es einen Homomorphismus gibt, so dass Ein geteilter Monomorphismus für beide Bedeutungen von Monomorphismus immer ein Monomorphismus ist . Für Mengen und Vektorräume ist jeder Monomorphismus ein gespaltener Monomorphismus, aber diese Eigenschaft gilt nicht für die meisten gebräuchlichen algebraischen Strukturen. ${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon B\to A}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

Epimorphismus

In der Algebra werden Epimorphismen oft als surjektive Homomorphismen definiert . Auf der anderen Seite, in der Kategorie Theorie , Epimorphismen sind definiert als rechts kündbarer morphisms . Dies bedeutet , dass eine (Homo) morphism einen Epimorphismus , wenn für jedes Paar , von morphisms aus irgendeinem anderen Gegenstand , die Gleichheit bedeutet . ${\displaystyle f:A\nach B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$${\displaystyle g=h}$

Ein surjektiver Homomorphismus ist immer rechtsaufhebbar, aber das Umgekehrte gilt nicht immer für algebraische Strukturen. Die beiden Definitionen von Epimorphismus sind jedoch äquivalent für Mengen , Vektorräume , abelsche Gruppen , Module (siehe unten für einen Beweis) und Gruppen . Die Bedeutung dieser Strukturen in der gesamten Mathematik und insbesondere in der linearen Algebra und der homologischen Algebra kann die Koexistenz zweier nicht äquivalenter Definitionen erklären.

Algebraische Strukturen, für die es nicht-surjektive Epimorphismen gibt, umfassen Halbgruppen und Ringe . Das einfachste Beispiel ist die Einbeziehung von ganzen Zahlen in rationale Zahlen , die ein Homomorphismus von Ringen und multiplikativen Halbgruppen ist. Für beide Strukturen ist es ein Monomorphismus und ein nicht-surjektiver Epimorphismus, aber kein Isomorphismus.

Eine weite Verallgemeinerung dieses Beispiels ist die Lokalisierung eines Rings durch eine multiplikative Menge. Jede Lokalisierung ist ein Ringepimorphismus, der im Allgemeinen nicht surjektiv ist. Da Lokalisationen in der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie von grundlegender Bedeutung sind , könnte dies erklären, warum in diesen Bereichen die Definition von Epimorphismen als rechtslöschbare Homomorphismen im Allgemeinen bevorzugt wird.

Ein gespaltener Epimorphismus ist ein Homomorphismus, der eine Rechtsinverse hat und somit selbst eine Linksinverse dieses anderen Homomorphismus ist. Das heißt, ein Homomorphismus ist ein geteilter Epimorphismus, wenn es einen Homomorphismus gibt, so dass Ein geteilter Epimorphismus für beide Bedeutungen von Epimorphismus immer ein Epimorphismus ist . Für Mengen und Vektorräume ist jeder Epimorphismus ein geteilter Epimorphismus, aber diese Eigenschaft gilt nicht für die meisten gebräuchlichen algebraischen Strukturen. ${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon B\to A}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}$

Zusammenfassend hat man

${\displaystyle {\text{gespaltener Epimorphismus}}\implies {\text{Epimorphismus (surjektiv)}}\implies {\text{Epimorphismus (rechts löschbar)}};}$

die letzte Implikation ist eine Äquivalenz für Mengen, Vektorräume, Module und abelsche Gruppen; die erste Implikation ist eine Äquivalenz für Mengen und Vektorräume.

Kernel

Jeder Homomorphismus definiert eine Äquivalenzrelation auf durch , wenn und nur wenn . Die Relation heißt Kern von . Es handelt sich um eine Kongruenzrelation auf . Der Quotientenmenge kann dann auf natürliche Weise eine Struktur des gleichen Typs wie gegeben werden, indem die Operationen der Quotientenmenge durch für jede Operation von definiert werden . In diesem Fall ist das Bild von in under dem Homomorphismus notwendigerweise isomorph zu ; diese Tatsache ist einer der Isomorphismussätze . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle\sim}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle\sim}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}$${\displaystyle \ast}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X/\!\sim}$

Wenn die algebraische Struktur für eine Operation eine Gruppe ist , reicht die Äquivalenzklasse des Identitätselements dieser Operation aus, um die Äquivalenzrelation zu charakterisieren. In diesem Fall wird der Quotient durch die Äquivalenzrelation mit bezeichnet (normalerweise als „ mod “ gelesen ). Auch in diesem Fall ist es , anstatt , dass der aufgerufen wird , Kernel von . Die Kerne von Homomorphismen einer gegebenen Art von algebraischer Struktur sind natürlicherweise mit einer gewissen Struktur ausgestattet. Dieser Strukturtyp der Kerne ist im Fall von abelschen Gruppen , Vektorräumen und Modulen derselbe wie die betrachtete Struktur, ist aber anders und hat in anderen Fällen einen bestimmten Namen erhalten, wie zum Beispiel normale Untergruppe für Kerne von Gruppenhomomorphismen und -idealen für Kerne von Ringhomomorphismen (bei nichtkommutativen Ringen sind die Kerne die zweiseitigen Ideale ). ${\displaystyle K}$${\displaystyle X/K}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle\sim}$${\displaystyle f}$

Beziehungsstrukturen

In der Modelltheorie wird der Begriff einer algebraischen Struktur auf Strukturen verallgemeinert, die sowohl Operationen als auch Beziehungen beinhalten. Sei L eine Signatur bestehend aus Funktions- und Relationssymbolen und A , B zwei L -Strukturen. Dann ist ein Homomorphismus von A nach B eine Abbildung h vom Gebiet von A auf das Gebiet von B, so dass

• h ( F ^A ( a ₁ ,…, a _n )) = F ^B ( h ( a ₁ ),…, h ( a _n )) für jedes n- äre Funktionssymbol F in L ,
• R ^A ( a ₁ ,…, a _n ) impliziert R ^B ( h ( a ₁ ),…, h ( a _n )) für jedes n- äre Relationssymbol R in L .

Im Spezialfall mit nur einer binären Relation erhalten wir den Begriff eines Graphenhomomorphismus . Für eine detaillierte Diskussion relationaler Homomorphismen und Isomorphismen siehe.

Formale Sprachtheorie

Homomorphismen werden auch beim Studium formaler Sprachen verwendet und werden oft kurz als Morphismen bezeichnet. Gegeben Alphabete Σ ₁ und Σ ₂ , eine Funktion h  : Σ ₁ ^* → Σ ₂ ^* , so daß h ( uv ) = h ( u ) H ( v ) für alle u und v in Σ ₁ ^* a genannt wird Homomorphismus auf Σ ₁ ^* . Wenn h ein Homomorphismus auf Σ ₁ ^{∗ ist} und ε die leere Zeichenkette bezeichnet, dann heißt h ein ε-freier Homomorphismus, wenn h ( x ) ≠ ε für alle x ≠ ε in Σ ₁ ^∗ .

Die Menge Σ ^∗ von Wörtern, die aus dem Alphabet Σ gebildet werden, kann man sich als das von Σ erzeugte freie Monoid vorstellen. Hier ist die monoide Operation die Verkettung und das Identitätselement ist das leere Wort. Aus dieser Perspektive ist ein Sprachhomormorphismus genau ein Monoid-Homomorphismus.

Siehe auch

• Dauerfunktion
• Diffeomorphismus
• Homomorphe Verschlüsselung
• Homomorphic Secret Sharing – ein vereinfachtes dezentrales Abstimmungsprotokoll
• Morphismus

Anmerkungen

Zitate

Verweise

• Stanley N. Burris; HP Sankappanavar (2012). Ein Kurs in universeller Algebra (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
• Mac Lane, Saunders (1971), Kategorien für den berufstätigen Mathematiker , Graduate Texts in Mathematics , 5 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90036-5, Zbl  0232.18001
• Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (2003), Ein erster Kurs in abstrakter Algebra , Addison-Wesley, ISBN 978-1-292-02496-7