Destruktives Dilemma - Destructive dilemma

Destruktives Dilemma ist der Name einer gültigen Inferenzregel der Aussagenlogik . Es ist die Schlussfolgerung, dass, wenn P Q impliziert und R S impliziert und entweder Q falsch oder S falsch ist, entweder P oder R falsch sein muss. In der Summe muss, wenn zwei Bedingungen wahr sind, aber eine ihrer Konsequenzen falsch ist, eine ihrer Antezedenzen falsch sein. Destruktives Dilemma ist die disjunktive Version von modus tollens . Die disjunktive Version von modus ponens ist das konstruktive Dilemma . Die destruktive Dilemma-Regel kann angegeben werden:

{\ displaystyle {\ frac {P \ zu Q, R \ zu S, \ neg Q \ lor \ neg S} {\ also \ neg P \ lor \ neg R}}}

Wenn die Regel lautet, dass überall dort, wo Instanzen von " ", " " und " " in Zeilen eines Beweises erscheinen, " " in eine nachfolgende Zeile eingefügt werden kann. ${\ displaystyle P \ to Q}$ ${\ displaystyle R \ to S}$ ${\ displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$ ${\ displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$

Formale Notation

Die destruktive Dilemma- Regel kann in fortlaufender Notation geschrieben werden:

{\ Anzeigestil (P \ bis Q), (R \ bis S), (\ neg Q \ lor \ neg S) \ vdash (\ neg P \ lor \ neg R)}

wo ist ein metalogische Symbol bedeutet , dass eine syntaktische Folge von , und in einem gewissen logischen System ; ${\ displaystyle \ vdash}$ ${\ displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$ ${\ displaystyle P \ to Q}$ ${\ displaystyle R \ to S}$ ${\ displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$

und ausgedrückt als wahrheitsfunktionale Tautologie oder Satz der Aussagenlogik:

{\ displaystyle (((P \ bis Q) \ land (R \ bis S)) \ land (\ neg Q \ lor \ neg S)) \ bis (\ neg P \ lor \ neg R)}

wo , , und sind Sätze in einigen ausgedrückt formalen System . ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S}$

Beispiel für natürliche Sprache

Wenn es regnet, bleiben wir drinnen.

Wenn es sonnig ist, gehen wir spazieren.

Entweder bleiben wir nicht drinnen oder wir gehen nicht spazieren oder beides.

Daher wird es entweder nicht regnen oder es wird nicht sonnig sein oder beides.

Beweis


Schritt	Vorschlag	Ableitung
1	${\ displaystyle P \ to Q}$	Gegeben
2	${\ displaystyle R \ to S}$	Gegeben
3	${\ displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$	Gegeben
4	${\ displaystyle \ neg Q \ bis \ neg P}$	Umsetzung (1)
5	${\ displaystyle \ neg S \ to \ neg R}$	Umsetzung (2)
6	${\ displaystyle (\ neg Q \ bis \ neg P) \ land (\ neg S \ bis \ neg R)}$	Konjunktionseinführung (4,5)
6	${\ displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$	Konstruktives Dilemma (6,3)

Beispiel Beweis

Die Gültigkeit dieser Argumentstruktur kann gezeigt werden, indem sowohl der bedingte Beweis (CP) als auch die reductio ad absurdum (RAA) folgendermaßen verwendet werden:

1.	${\ displaystyle ((P \ rightarrow Q) \ And (R \ rightarrow S)) \ And (\ neg Q \ vee \ neg S)}$	(CP-Annahme)
2.	${\ displaystyle (P \ rightarrow Q) \ And (R \ rightarrow S)}$	(1: Vereinfachung)
3.	${\ displaystyle (P \ rightarrow Q)}$	(2: Vereinfachung)
4.	${\ displaystyle (R \ rightarrow S)}$	(2: Vereinfachung)
5.	${\ displaystyle (\ neg Q \ vee \ neg S)}$	(1: Vereinfachung)
6.	${\ displaystyle \ neg (\ neg P \ vee \ neg R)}$	(RAA-Annahme)
7.	${\ displaystyle \ neg \ neg P \ und \ neg \ neg R}$	(6: De Morgans Gesetz )
8.	${\ displaystyle \ neg \ neg P}$	(7: Vereinfachung)
9.	${\ displaystyle \ neg \ neg R}$	(7: Vereinfachung)
10.	${\ displaystyle P}$	(8: doppelte Verneinung )
11.	${\ displaystyle R}$	(9: doppelte Verneinung)
12.	${\ displaystyle Q}$	(3,10: modus ponens)
13.	${\ displaystyle S}$	(4,11: modus ponens)
14.	${\ displaystyle \ neg \ neg Q}$	(12: doppelte Verneinung)
15.	${\ displaystyle \ neg S}$	(5, 14: disjunktiver Syllogismus )
16.	${\ displaystyle S \ And \ neg S}$	(13,15: Konjunktion )
17.	${\ displaystyle \ neg P \ vee \ neg R}$	(6-16: RAA)

18.	${\ displaystyle (((P \ rightarrow Q) \ And (R \ rightarrow S)) \ And (\ neg Q \ vee \ neg S))) \ rightarrow \ neg P \ vee \ neg R}$	(1-17: CP)