Transposition (Logik) - Transposition (logic)

Transformationsregeln
Aussagenrechnung
Schlussfolgerungsregeln
Implikationseinleitung  / -beseitigung ( modus ponens ) Bibedingte Einführung  / Elimination Konjunktionseinführung  / -beseitigung Disjunktionseinführung  / -beseitigung Disjunktiver  / hypothetischer Syllogismus Konstruktives  / destruktives Dilemma Absorption  / modus tollens  / modus ponendo tollens Verneinungseinleitung
Regeln für den Austausch
Assoziativität Kommutativität Verteilung Doppelte Negation De Morgans Gesetze Umsetzung Materielle Auswirkungen Ausfuhr Tautologie
Prädikatenlogik
Schlussfolgerungsregeln
Universelle Generalisierung  / Instanziierung Existenzielle Generalisierung  / Instanziierung
v T e

In der Aussagenlogik ist die Transposition eine gültige Ersetzungsregel , die es erlaubt, in einem logischen Beweis das Antezedens mit der Konsequenz einer bedingten Aussage zu vertauschen, wenn beide ebenfalls negiert sind . Es ist die Folgerung von der Wahrheit von „ A impliziert B “ auf die Wahrheit von „Nicht- B impliziert nicht- A “ und umgekehrt. Es ist sehr eng mit der Regel des Inferenzmodus tollens verwandt . Es ist die Regel, dass

${\displaystyle (P\to Q)\Leftrightarrow (\neg Q\to \neg P)}$

wobei " " ein metalogisches Symbol ist, das "in einem Beweis durch ersetzt werden kann" darstellt. ${\displaystyle \Leftrightarrow}$

Formale Notation

Die Umsetzungsregel kann wie folgt ausgedrückt werden :

${\displaystyle (P\to Q)\vdash (\neg Q\neg P)}$

wo ist eine metalogische Symbolbedeutung, die in einem logischen System eine syntaktische Folge davon ist; ${\displaystyle \vdash}$${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)}$${\displaystyle (P\to Q)}$

oder als folgerungsregel:

${\displaystyle {\frac {P\zu Q}{\daher \neg Q\zu \neg P}}}$

wobei die Regel lautet, dass überall dort, wo eine Instanz von " " in einer Beweiszeile erscheint, sie durch " " ersetzt werden kann; ${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

oder als Aussage einer wahrheitsfunktionalen Tautologie oder eines Satzes der Aussagenlogik. Das Prinzip wurde als Satz der Aussagenlogik von Russell und Whitehead in Principia Mathematica wie folgt formuliert :

${\displaystyle (P\to Q)\to (\neg Q\neg P)}$

wobei und sind Sätze, die in einem formalen System ausgedrückt werden . ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

Traditionelle Logik

Form der Umsetzung

Im abgeleiteten Satz ist das Konsequente der Widerspruch zum Vorsatz des ursprünglichen Satzes, und der Vorläufer des abgeleiteten Satzes ist der Widerspruch zum Konsequenten des ursprünglichen Satzes. Das Symbol für materielle Implikation bezeichnet den Satz als hypothetische oder die "Wenn-Dann"-Form, zB "wenn P dann Q".

Die bikonditionale Aussage der Transpositionsregel (↔) bezieht sich auf die Beziehung zwischen hypothetischen (→) Aussagen , wobei jede Aussage einen vorausgehenden und einen Folgeterm enthält. Als logische Folgerung erfordert das Transponieren oder Konvertieren der Begriffe eines Satzes die Umwandlung der Begriffe der Sätze auf beiden Seiten der bikonditionalen Beziehung. Das heißt, um (P → Q) in (Q → P) zu transponieren oder umzuwandeln, muss der andere Satz (~Q → ~P) transponiert oder umgewandelt werden in (~P → ~Q). Andernfalls macht die Umwandlung der Bedingungen eines Satzes und nicht des anderen die Regel ungültig, wodurch die hinreichende Bedingung und die notwendige Bedingung der Bedingungen der Sätze verletzt wird, wenn der Verstoß darin besteht, dass der geänderte Satz den Trugschluss begeht, den Vorhergehenden zu leugnen oder den . zu bejahen konsequent durch unerlaubte Konvertierung .

Die Wahrheit der Transpositionsregel hängt von den Beziehungen von hinreichender Bedingung und notwendiger Bedingung in der Logik ab.

Ausreichende Bedingung

Im Satz "Wenn P, dann Q" ist das Auftreten von 'P' hinreichender Grund für das Auftreten von 'Q'. 'P' als Individuum oder Klasse impliziert materiell 'Q', aber die Beziehung von 'Q' zu 'P' ist so, dass die umgekehrte Aussage "Wenn Q, dann P" nicht notwendigerweise eine hinreichende Bedingung hat. Die Folgerungsregel für hinreichende Bedingung ist modus ponens , was ein Argument für die bedingte Implikation ist:

Prämisse (1): Wenn P, dann Q

Prämisse (2): P

Fazit: Daher ist Q

Notwendige Bedingung

Da die Umkehrung von Prämisse (1) nicht gültig ist, kann über die Beziehung von 'P' und 'Q' nur gesagt werden, dass 'P' in Abwesenheit von 'Q' nicht auftritt, was bedeutet, dass 'Q' ist die notwendige Bedingung für 'P'. Die Folgerungsregel für die notwendige Bedingung ist modus tollens :

Prämisse (1): Wenn P, dann Q

Prämisse (2): nicht Q

Fazit: Also nicht P

Notwendigkeits- und Suffizienzbeispiel

Ein traditionell von Logikern benutztes Beispiel für die Gegenüberstellung ausreichender und notwendiger Bedingungen ist die Aussage "Wenn es Feuer gibt, dann ist Sauerstoff vorhanden". Für ein Feuer oder eine Verbrennung ist eine sauerstoffreiche Umgebung erforderlich, aber nur weil eine sauerstoffreiche Umgebung vorhanden ist, bedeutet dies nicht unbedingt, dass ein Feuer oder eine Verbrennung auftritt. Während man folgern kann, dass Feuer die Anwesenheit von Sauerstoff voraussetzt, kann aus der Anwesenheit von Sauerstoff nicht das Umgekehrte "Wenn Sauerstoff vorhanden ist, ist Feuer vorhanden" geschlossen werden. Aus dem ursprünglichen Satz lässt sich nur folgern: "Wenn kein Sauerstoff vorhanden ist, kann es kein Feuer geben".

Verhältnis von Aussagen

Das Symbol für das Bikonditional ("↔") bedeutet, dass die Beziehung zwischen den Sätzen sowohl notwendig als auch ausreichend ist und wird als " wenn und nur wenn " verbalisiert , oder nach dem Beispiel "Wenn P dann Q 'wenn und nur wenn' wenn nicht Q, dann nicht P".

Notwendige und hinreichende Bedingungen lassen sich durch Analogie aus den Begriffen und den unmittelbaren Schlußregeln der traditionellen Logik erklären. Im kategorialen Satz "Alles S ist P" heißt das Subjekt "S" verteilt, dh alle Mitglieder seiner Klasse sind in seinem Ausdruck erschöpft. Umgekehrt kann der Prädikatsausdruck 'P' nicht als verteilt oder in seinem Ausdruck erschöpft bezeichnet werden, da es unbestimmt ist, ob jede Instanz eines Mitglieds von 'P' als Klasse auch ein Mitglied von 'S' als Klasse ist. Alles, was gültig abgeleitet werden kann, ist, dass "Einige P sind S". Somit kann die Aussage vom Typ 'A' "Alle P ist S" nicht durch Umwandlung aus der ursprünglichen Aussage vom Typ "A" "Alle S ist P" abgeleitet werden. Alles, was abgeleitet werden kann, ist die Aussage vom Typ "A" "Alles Nicht-P ist Nicht-S" (Beachten Sie, dass (P → Q) und (~Q → ~P) beide Aussagen vom Typ 'A' sind). Grammatisch kann man nicht aus "Alle Menschen sind sterblich" schließen "alle Sterblichen sind Menschen". Eine Aussage vom Typ 'A' kann nur dann durch Umwandlung sofort abgeleitet werden, wenn sowohl das Subjekt als auch das Prädikat verteilt sind, wie in der Inferenz "Alle Junggesellen sind unverheiratete Männer" aus "Alle unverheirateten Männer sind Junggesellen".

Transposition und die Methode der Kontraposition

In der traditionellen Logik wird der Argumentationsprozess der Transposition als Inferenzregel auf kategoriale Sätze durch Kontraposition und Obversion angewendet , eine Reihe von unmittelbaren Schlussfolgerungen, bei denen die Obversionsregel zuerst auf den ursprünglichen kategorialen Satz „Alles S ist P“ angewendet wird; ergibt die Vorderseite "No S is non-P". Bei der Umkehrung des ursprünglichen Satzes in einen Satz vom Typ 'E' werden beide Begriffe verteilt. Die Vorderseite wird dann umgewandelt, was zu "Kein Nicht-P ist S" führt, wobei die Verteilung beider Terme beibehalten wird. Das Kein Nicht-P ist S" wird wieder umgedreht, was zu dem [Kontrapositiv] "Alles Nicht-P ist Nicht-S" führt. Da in der Definition der Kontraposition bezüglich des Prädikats des abgeleiteten Satzes nichts gesagt ist, ist zulässig, dass es sich um das ursprüngliche Subjekt oder sein Widersprüchliches handeln könnte, und der Prädikatsterm des resultierenden Satzes vom Typ 'A' ist wieder unverteilt. Dies führt zu zwei Kontrapositiven, bei einem der Prädikatsterm ist verteilt und der andere, wo der Prädikatsterm unverteilt ist .

Unterschiede zwischen Transposition und Kontraposition

Beachten Sie, dass die Methode der Transposition und Kontraposition nicht verwechselt werden sollte. Kontraposition ist eine Art von unmittelbarer Folgerung, bei der aus einem gegebenen kategorialen Satz ein anderer kategorialer Satz abgeleitet wird, der den Widerspruch des ursprünglichen Prädikats zum Gegenstand hat. Da in der Definition der Kontraposition über das Prädikat des abgeleiteten Satzes nichts gesagt wird, ist es zulässig, dass es sich um das ursprüngliche Subjekt oder dessen Widersprüchlichkeit handelt. Dies steht im Gegensatz zur Form der Transpositionssätze, die eine materielle Implikation oder eine hypothetische Aussage sein können. Der Unterschied besteht darin, dass bei der Anwendung auf kategoriale Sätze das Ergebnis der Kontraposition zwei Kontrapositive sind, die jeweils das Gegenteil des anderen sind, dh "Kein Nicht-P ist S" und "Alles Nicht-P ist Nicht-S". Die Unterscheidung zwischen den beiden Kontrapositiven wird im Transpositionsprinzip, das die "mittleren Schlüsse" der Kontraposition voraussetzt und auch als "Gesetz der Kontraposition" bezeichnet wird, absorbiert und eliminiert.

Transposition in der mathematischen Logik

Siehe Transposition (Mathematik) , Mengenlehre

Beweise

Vorschlag	Ableitung
${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Gegeben
${\displaystyle \neg P\lor Q}$	Materielle Auswirkungen
${\displaystyle Q\lor\neg P}$	Kommutativität
${\displaystyle \neg \neg Q\lor \neg P}$	Doppelte Negation
${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$	Materielle Auswirkungen

Im klassischen Aussagensystem

In deduktiven Systemen im Hilbert-Stil für die Aussagenlogik wird nur eine Seite der Transposition als Axiom und die andere als Theorem verwendet. Wir beschreiben einen Beweis dieses Satzes in dem von Jan ukasiewicz vorgeschlagenen System der drei Axiome :

A1. ${\displaystyle \phi\to\left(\psi\to\phi\right)}$

A2. ${\displaystyle \left(\phi\to\left(\psi\rightarrow\xi\right)\right)\to\left(\left(\phi\to\psi\right)\to\left(\phi\ nach \xi \right)\right)}$

A3. ${\displaystyle \left(\lnot\phi\to\lnot\psi\right)\to\left(\psi\to\phi\right)}$

(A3) gibt bereits eine der Transpositionsrichtungen an. Die andere Seite, falls unten bewiesen, unter Verwendung der folgenden hier bewiesenen Lemmata : ${\displaystyle (\psi\to\phi)\to (\neg\phi\to\neg\psi)}$

(DN1) - Doppelnegation (eine Richtung)${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

(DN2) - Doppelte Negation (andere Richtung)${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

(HS1) - eine Form des hypothetischen Syllogismus${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

(HS2) - eine andere Form des hypothetischen Syllogismus.${\displaystyle (p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))}$

Wir verwenden auch die Methode des hypothetischen Syllogismus-Metatheorems als Kurzform für mehrere Beweisschritte.

Der Beweis lautet wie folgt:

(1)       (Beispiel des (DN2))${\displaystyle q\to \neg \neg q}$

(2)       (Instanz des (HS1)${\displaystyle (q\to \neg \neg q)\to ((p\to q)\to (p\to \neg \neg q))}$

(3)       (aus (1) und (2) durch modus ponens)${\displaystyle (p\to q)\to (p\to \neg \neg q)}$

(4)       (Beispiel des (DN1))${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

(5)       (Instanz des (HS2))${\displaystyle (\neg \neg p\to p)\to ((p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q))}$

(6)       (aus (4) und (5) nach modus ponens)${\displaystyle (p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$

(7)       (aus (3) und (6) unter Verwendung des hypothetischen Syllogismus-Metatheorems)${\displaystyle (p\to q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$

(8)       (Beispiel von (A3))${\displaystyle (\neg \neg p\to \neg \neg q)\to (\neg q\to \neg p)}$

(9)       (aus (7) und (8) unter Verwendung des hypothetischen Syllogismus-Metatheorems)${\displaystyle (p\to q)\to (\neg q\to \neg p)}$

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

• Brody, Bobuch A. "Glossar der logischen Begriffe". Enzyklopädie der Philosophie. vol. 5-6, s. 61. Macmillan, 1973.
• Irving M. Copi; Carl Cohen; Victor Rodych (9. September 2016). Einführung in die Logik . Taylor & Franziskus. ISBN 978-1-315-51087-3.
• Copi, Irving. Symbolische Logik . MacMillan, 1979, fünfte Auflage.
• Prior, AN "Logik, Traditionell". Enzyklopädie der Philosophie , Bd. 5, Macmillan, 1973.
• Stebbing, Susan . Eine moderne Einführung in die Logik . Harper, 1961, Siebte Auflage

Externe Links

• Unsachgemäße Umsetzung (Fallacy-Dateien)