Entartete Verteilung - Degenerate distribution

Entartete univariate

Verteilungsfunktion CDF für k 0 = 0. Die horizontale Achse ist x .
Parameter	${\displaystyle k_{0}\in (-\infty ,\infty )\,}$
Die Unterstützung	${\displaystyle x=k_{0}\,}$
PMF	${\displaystyle {\begin{matrix}1&{\mbox{for }}x=k_{0}\\0&{\mbox{anderswo}}\end{matrix}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{für }}x<k_{0}\\1&{\mbox{für }}x\geq k_{0}\end{matrix}}}$
Bedeuten	${\displaystyle k_{0}\,}$
Median	${\displaystyle k_{0}\,}$
Modus	${\displaystyle k_{0}\,}$
Abweichung	${\displaystyle 0\,}$
Schiefe	nicht definiert
Ex. kurtosis	nicht definiert
Entropie	${\displaystyle 0\,}$
MGF	${\displaystyle e^{k_{0}t}\,}$
CF	${\displaystyle e^{ik_{0}t}\,}$

In der Mathematik ist eine entartete Verteilung nach einigen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in einem Raum, die nur auf einer Mannigfaltigkeit niedrigerer Dimension unterstützt wird , und nach anderen eine Verteilung, die nur an einem einzigen Punkt unterstützt wird. Nach letzterer Definition ist es eine deterministische Verteilung und nimmt nur einen einzigen Wert an. Beispiele sind eine zweiköpfige Münze und ein Würfelwurf, dessen Seiten alle die gleiche Zahl zeigen. Diese Verteilung erfüllt die Definition von "Zufallsvariable", obwohl sie im alltäglichen Sinne des Wortes nicht zufällig erscheint ; daher gilt es als entartet .

Im Fall einer reellwertigen Zufallsvariablen ist die entartete Verteilung eine Einpunktverteilung , lokalisiert an einem Punkt k ₀ auf der reellen Geraden . Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist an dieser Stelle gleich 1 und an anderer Stelle gleich 0.

Die entartete univariate Verteilung kann als Grenzfall einer kontinuierlichen Verteilung angesehen werden, deren Varianz gegen 0 geht, was dazu führt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bei k ₀ eine Deltafunktion ist , mit unendlicher Höhe dort aber Fläche gleich 1.

Die kumulative Verteilungsfunktion der univariaten entarteten Verteilung lautet:

${\displaystyle F_{k_{0}}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\geq k_{0}\\0,&{\mbox{ if }}x<k_{0}\end{matrix}}\right.}$

Konstante Zufallsvariable

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine konstante Zufallsvariable eine diskrete Zufallsvariable , die unabhängig von einem auftretenden Ereignis einen konstanten Wert annimmt . Dies unterscheidet sich technisch von einer fast sicher konstanten Zufallsvariablen , die andere Werte annehmen kann, jedoch nur bei Ereignissen mit Wahrscheinlichkeit Null. Konstante und fast sicher konstante Zufallsvariablen, die eine degenerierte Verteilung aufweisen, bieten eine Möglichkeit, mit konstanten Werten in einem probabilistischen Rahmen umzugehen.

Sei   X : Ω → R   eine auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) definierte Zufallsvariable . Dann ist   X   eine fast sicher konstante Zufallsvariable, wenn es eine solche gibt, dass ${\displaystyle k_{0}\in\mathbb{R}}$

${\displaystyle \Pr(X=k_{0})=1,}$

und ist außerdem eine konstante Zufallsvariable, falls

${\displaystyle X(\omega)=k_{0},\quad\forall\omega\in\Omega.}$

Beachten Sie, dass eine konstante Zufallsvariable fast sicher konstant ist, aber nicht unbedingt umgekehrt , denn wenn   X   fast sicher konstant ist, dann kann es γ ∈ Ω mit   X (γ) ≠ k _{0 geben}   (aber dann notwendigerweise Pr({γ}) = 0, tatsächlich Pr(X k ₀ ) = 0).

Für die Praxis ist die Unterscheidung zwischen   X   konstant ist oder fast sicher konstant ist unwichtig, da die kumulative Verteilungsfunktion  F ( x ) von   X   hängt nicht davon ab , ob   X   konstant ist oder ‚nur‘ fast sicher konstant. In beiden Fällen,

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1,&x\geq k_{0},\\0,&x<k_{0}.\end{cases}}}$

Die Funktion   F ( x ) ist eine Stufenfunktion ; insbesondere ist es eine Übersetzung der Heaviside-Stufenfunktion .

Höhere Abmessungen

Die Entartung einer multivariaten Verteilung in n Zufallsvariablen entsteht, wenn der Träger in einem Raum mit einer Dimension kleiner als n liegt . Dies tritt auf, wenn mindestens eine der Variablen eine deterministische Funktion der anderen ist. Nehmen wir zum Beispiel im Fall von 2 Variablen an, dass Y = aX + b für skalare Zufallsvariablen X und Y und skalare Konstanten a ≠ 0 und b ; hier gibt die Kenntnis des Wertes von einem von X oder Y eine genaue Kenntnis des Wertes des anderen. Alle möglichen Punkte ( x , y ) fallen auf die eindimensionale Linie y = ax + b .

Im Allgemeinen, wenn eine oder mehrere von n Zufallsvariablen durch die anderen exakt linear bestimmt werden, wenn die Kovarianzmatrix existiert, ist ihr Rang kleiner als n und ihre Determinante ist 0, also ist sie positiv semi-definit, aber nicht positiv definit, und die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung ist entartet.

Degeneration kann auch bei einer Kovarianz ungleich Null auftreten. Wenn beispielsweise skalare X ist symmetrisch verteilt etwa 0 und Y ist genau gegeben durch Y = X ² sind alle möglichen Punkte ( x , y ) fällt auf der Parabel y = x ² , die eine eindimensionale Untergruppe der zwei ist dimensionaler Raum.

Verweise