Fast sicher - Almost surely

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird ein Ereignis als fast sicher bezeichnet (manchmal abgekürzt als ), wenn es mit Wahrscheinlichkeit 1 (oder Lebesgue-Maß 1) eintritt . Mit anderen Worten, die Menge der möglichen Ausnahmen kann nicht leer sein, aber sie hat die Wahrscheinlichkeit 0. Das Konzept ist analog zum Konzept von " fast überall " in der Maßtheorie .

Bei Wahrscheinlichkeitsexperimenten auf einem endlichen Stichprobenraum gibt es oft keinen Unterschied zwischen fast sicher und sicher (da eine Wahrscheinlichkeit von 1 oft das Einschließen aller Stichprobenpunkte mit sich bringt ). Diese Unterscheidung wird jedoch wichtig, wenn der Stichprobenraum eine unendliche Menge ist , da eine unendliche Menge nichtleere Teilmengen der Wahrscheinlichkeit 0 haben kann.

Einige Beispiele für die Verwendung dieses Konzepts sind die starken und einheitlichen Versionen des Gesetzes der großen Zahlen und die Stetigkeit der Pfade der Brownschen Bewegung .

Die Begriffe fast sicher (ac) und fast immer (aa) werden auch verwendet. Fast nie beschreibt das Gegenteil von fast sicher : Ein Ereignis, das mit Wahrscheinlichkeit Null eintritt, passiert fast nie .

Formale Definition

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum . Ein Ereignis geschieht fast sicher , wenn . Äquivalent tritt fast sicher ein, wenn die Wahrscheinlichkeit des Nichteintretens Null ist : . Allgemeiner gesagt, jedes Ereignis (nicht unbedingt in ) tritt fast sicher ein, wenn es in einer Nullmenge enthalten ist : einer Teilmenge in so dass . Der Begriff der Beinahe-Sicherheit hängt vom Wahrscheinlichkeitsmaß ab . Wenn es notwendig ist, diese Abhängigkeit zu betonen, ist es üblich zu sagen, dass das Ereignis P -fast sicher oder fast sicher eintritt . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal{F}},P)}$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P(E)=1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle P(E^{C})=0}$${\displaystyle E\subseteq\Omega}$${\displaystyle {\mathcal{F}}}$${\displaystyle E^{C}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal{F}}}$${\displaystyle P(N)=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left(\!P\right)}$

Anschauliche Beispiele

Im Allgemeinen kann ein Ereignis „fast sicher“ eintreten, auch wenn der fragliche Wahrscheinlichkeitsraum Ergebnisse enthält, die nicht zum Ereignis gehören – wie die folgenden Beispiele verdeutlichen.

Einen Dart werfen

Stellen Sie sich vor, Sie werfen einen Pfeil auf ein Einheitsquadrat (ein Quadrat mit einer Fläche von 1), so dass der Pfeil immer einen genauen Punkt im Quadrat trifft, so dass jeder Punkt im Quadrat mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen wird. Da das Quadrat die Fläche 1 hat, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Pfeil einen bestimmten Unterbereich des Quadrats trifft, gleich der Fläche dieses Unterbereichs. Zum Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Pfeil die rechte Hälfte des Quadrats trifft, 0,5, da die rechte Hälfte eine Fläche von 0,5 hat.

Betrachten Sie als nächstes den Fall, dass der Pfeil genau einen Punkt in den Diagonalen des Einheitsquadrats trifft. Da die Fläche der Diagonalen des Quadrats 0 ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Pfeil genau auf einer Diagonale landet, 0. Das heißt, der Pfeil wird fast nie auf einer Diagonale landen (gleichermaßen wird er fast sicher nicht auf einer Diagonale landen .) ), obwohl die Punktmenge auf den Diagonalen nicht leer ist und ein Punkt auf einer Diagonalen nicht weniger möglich ist als jeder andere Punkt.

Eine Münze wiederholt werfen

Betrachten Sie den Fall, in dem eine (möglicherweise voreingenommene) Münze geworfen wird, entsprechend dem Wahrscheinlichkeitsraum , wo das Ereignis eintritt, wenn ein Kopf gedreht wird und wenn ein Schwanz geworfen wird. Für diese spezielle Münze wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf umzudrehen, gleich ist , woraus folgt, dass das Komplement-Ereignis, dasjenige, einen Schwanz umzudrehen, die Wahrscheinlichkeit hat . ${\displaystyle (\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)}$${\displaystyle \{H\}}$${\displaystyle \{T\}}$${\displaystyle P(H)=p\in (0,1)}$${\displaystyle P(T)=1-p}$

Angenommen, es wurde ein Experiment durchgeführt, bei dem die Münze wiederholt geworfen wird, mit Ergebnissen und der Annahme, dass das Ergebnis jedes Wurfs unabhängig von allen anderen ist (dh sie sind unabhängig und identisch verteilt ; iid ). Definieren Sie die Reihenfolge der Zufallsvariablen auf dem Münzwurffeld, wobei . dh jeder zeichnet das Ergebnis des th Flip auf. ${\displaystyle \omega_{1},\omega_{2},\ldots}$${\displaystyle(X_{i})_{i\in\mathbb{N}}}$${\displaystyle X_{i}(\omega)=\omega_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i}$

In diesem Fall ist jede unendliche Folge von Kopf und Zahl ein mögliches Ergebnis des Experiments. Jede bestimmte unendliche Folge von Kopf und Zahl hat jedoch die Wahrscheinlichkeit 0, das genaue Ergebnis des (unendlichen) Experiments zu sein. Dies liegt daran , dass die iid- Annahme impliziert, dass die Wahrscheinlichkeit, alle Kopf-über- Flips umzudrehen , einfach ist . Lassen ergibt 0, da nach Annahme. Das Ergebnis ist das gleiche, egal wie stark wir die Münze in Richtung Kopf verzerren, solange wir strikt zwischen 0 und 1 liegen. Tatsächlich gilt das gleiche Ergebnis sogar in der Nicht-Standard-Analyse – wo infinitesimale Wahrscheinlichkeiten nicht zulässig sind. ${\displaystyle n}$${\displaystyle P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n} }$${\displaystyle n\rightarrow\infty}$${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle p}$

Darüber hinaus wird das Ereignis "die Wurffolge enthält mindestens einen " auch fast sicher (dh mit Wahrscheinlichkeit 1) eintreten. Aber wenn statt einer unendlichen Anzahl von Flips das Flipping nach einer endlichen Zeit, sagen wir 1.000.000 Flips, aufhört, dann wäre die Wahrscheinlichkeit, eine All-Heads-Folge zu erhalten, nicht mehr 0, während die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Tails zu erhalten, , wäre nicht mehr 1 (dh das Ereignis ist nicht mehr fast sicher). ${\displaystyle T}$${\displaystyle p^{1.000.000}}$${\displaystyle 1-p^{1.000.000}}$

Asymptotisch fast sicher

In asymptotischer Analyse ist eine Eigenschaft , die halten asymptotisch fast sicher (aas) , wenn über eine Folge von Sätzen, in der Zahlentheorie, die Wahrscheinlichkeit konvergiert auf 1. Zum Beispiel eine große Anzahl asymptotisch fast sicher ist zusammengesetzte , durch den Primzahlsatz ; und in der Zufallsgraphentheorie ist die Aussage " ist zusammenhängend " ( wobei bezeichnet die Graphen auf Ecken mit Kantenwahrscheinlichkeit ) wahr wie wenn für einige${\displaystyle G(n,p_{n})}$${\displaystyle G(n,p)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon)\ln n}{n}}.}$   

In der Zahlentheorie wird dies als „ fast alle “ bezeichnet, wie in „fast alle Zahlen sind zusammengesetzt“. In ähnlicher Weise wird dies in der Graphentheorie manchmal als "fast sicher" bezeichnet.

Siehe auch

• Fast schon
• Fast überall der entsprechende Begriff in der Maßtheorie
• Konvergenz von Zufallsvariablen , für "fast sichere Konvergenz"
• Cromwell-Regel , die besagt, dass Wahrscheinlichkeiten fast nie auf Null oder Eins gesetzt werden sollten
• Entartete Verteilung , für "fast sicher konstant"
• Infinite Monkey Theorem , ein Theorem, das die oben genannten Begriffe verwendet
• Liste des mathematischen Jargons

Anmerkungen

Verweise

• Rogers, LCG; Williams, David (2000). Diffusionen, Markov-Prozesse und Martingale . 1: Fundamente. Cambridge University Press. ISBN 978-0521775946.
• Williams, David (1991). Wahrscheinlichkeit mit Martingalen . Cambridge Mathematische Lehrbücher. Cambridge University Press. ISBN 978-0521406055.