Dispersion (Wasserwellen) - Dispersion (water waves)
In fluid dynamics , Dispersion von Wasserwellen bezieht sich allgemein auf Frequenzdispersion , was bedeutet , daß Wellen unterschiedlicher Wellenlängen in unterschiedlichen Reisephasengeschwindigkeiten . Wasserwellen sind in diesem Zusammenhang Wellen, die sich auf der Wasseroberfläche ausbreiten , wobei die Schwerkraft und die Oberflächenspannung die Rückstellkräfte sind . Infolgedessen wird Wasser mit einer freien Oberfläche im Allgemeinen als dispersives Medium angesehen .
Bei einer bestimmten Wassertiefe breiten sich Oberflächengravitationswellen - dh Wellen, die an der Luft-Wasser-Grenzfläche auftreten, und die Schwerkraft als einzige Kraft, die die Ebenheit wiederherstellt - mit zunehmender Wellenlänge schneller aus . Andererseits haben Gravitationswellen in tieferem Wasser für eine gegebene (feste) Wellenlänge eine größere Phasengeschwindigkeit als in flacherem Wasser . Im Gegensatz zum Verhalten von Gravitationswellen breiten sich Kapillarwellen (dh nur durch Oberflächenspannung erzwungen) bei kürzeren Wellenlängen schneller aus.
Neben der Frequenzdispersion weisen Wasserwellen auch eine Amplitudendispersion auf. Dies ist ein nichtlinearer Effekt, bei dem Wellen mit größerer Amplitude eine andere Phasengeschwindigkeit haben als Wellen mit kleiner Amplitude.
Frequenzdispersion für Oberflächengravitationswellen
In diesem Abschnitt geht es um die Frequenzdispersion für Wellen auf einer durch die Schwerkraft erzwungenen Flüssigkeitsschicht und gemäß der linearen Theorie. Informationen zu Oberflächenspannungseffekten auf die Frequenzdispersion finden Sie unter Oberflächenspannungseffekte in der Luftwellentheorie und der Kapillarwelle .
Wellenausbreitung und -streuung
Die einfachste sich ausbreitende Welle unveränderlicher Form ist eine Sinuswelle . Eine Sinuswelle mit Wasseroberfläche Elevations η (x, t) ist gegeben durch:
wobei a die ist Amplitude (in Metern) und θ = θ (x, t) ist die Phasenfunktion (in Radianten ), auf der horizontalen Position in Abhängigkeit ( x , in Metern) und Zeit ( t , in Sekunden ):
- mit und
wo:
- λ ist die Wellenlänge (in Metern),
- T ist die Periode (in Sekunden),
- k ist die Wellenzahl (im Bogenmaß pro Meter) und
- ω ist die Winkelfrequenz (im Bogenmaß pro Sekunde).
Charakteristische Phasen einer Wasserwelle sind:
- der aufwärts gerichtete Nulldurchgang bei θ = 0 ,
- der Wellenkamm bei θ = ½ π ,
- der abwärts gerichtete Nulldurchgang bei θ = π und
- der Wellentrog bei θ = 1 ½ π .
Eine bestimmte Phase wiederholt sich nach einem ganzzahligen m- Vielfachen von 2π : sin ( θ ) = sin ( θ + m · 2π ).
Wesentlich für Wasserwellen und andere Wellenphänomene in der Physik ist, dass sich frei ausbreitende Wellen mit einer Amplitude ungleich Null nur dann existieren, wenn die Winkelfrequenz ω und die Wellenzahl k (oder äquivalent die Wellenlänge λ und die Periode T ) eine funktionale Beziehung erfüllen : die Frequenzdispersion Beziehung
Die Dispersionsrelation hat zwei Lösungen: ω = + Ω (k) und ω = −Ω (k) , entsprechend Wellen, die sich in positiver oder negativer x- Richtung bewegen. Die Dispersionsrelation hängt im Allgemeinen zusätzlich zur Wellenzahl k von mehreren anderen Parametern ab . Für Gravitationswellen sind dies nach linearer Theorie die Erdbeschleunigung g und die Wassertiefe h . Die Dispersionsrelation für diese Wellen ist:
oder
eine implizite Gleichung mit tanh, die die hyperbolische Tangentenfunktion bezeichnet.
Eine anfängliche Wellenphase & thgr; = & thgr; 0 breitet sich als Funktion von Raum und Zeit aus . Seine nachfolgende Position ist gegeben durch:
Dies zeigt, dass sich die Phase mit der Geschwindigkeit bewegt:
das heißt die Phasengeschwindigkeit.
Phasengeschwindigkeit
Eine Sinuswelle, kleiner oberflächenElevations Amplitude und mit einer konstanten Wellenlänge pflanzt sich mit der Phasengeschwindigkeit , auch celerity oder Phasengeschwindigkeit bezeichnet. Während die Phasengeschwindigkeit ein Vektor ist und eine zugeordnete Richtung hat, beziehen sich Geschwindigkeit oder Phasengeschwindigkeit nur auf die Größe der Phasengeschwindigkeit. Nach der linearen Theorie für durch die Schwerkraft erzwungene Wellen hängt die Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge und der Wassertiefe ab. Bei einer festen Wassertiefe breiten sich lange Wellen (mit großer Wellenlänge) schneller aus als kürzere Wellen.
In der linken Abbildung ist zu sehen, dass sich flache Wasserwellen mit Wellenlängen λ, die viel größer als die Wassertiefe h sind , mit der Phasengeschwindigkeit ausbreiten
mit g die Erdbeschleunigung und c p die Phasengeschwindigkeit. Da diese Flachwasserphasengeschwindigkeit unabhängig von der Wellenlänge ist, weisen Flachwasserwellen keine Frequenzdispersion auf.
Unter Verwendung einer anderen Normalisierung für dieselbe Frequenzdispersionsbeziehung zeigt die Abbildung rechts, dass für eine feste Wellenlänge λ die Phasengeschwindigkeit c p mit zunehmender Wassertiefe zunimmt. Bis in tiefem Wasser mit einer Wassertiefe h größer als die Hälfte der Wellenlänge λ (also für h / λ> 0,5 ) die Phasengeschwindigkeit c p unabhängig von der Wassertiefe ist:
mit T der Wellenperiode (der Reziprokwert der Frequenz f , T = 1 / f ). In tiefem Wasser nimmt die Phasengeschwindigkeit mit der Wellenlänge und mit der Periode zu.
Da die Phasengeschwindigkeit c p = λ / T = λf erfüllt , hängen Wellenlänge und Periode (oder Frequenz) zusammen. Zum Beispiel in tiefem Wasser:
Die Dispersionseigenschaften für die Zwischentiefe sind unten angegeben.
Gruppengeschwindigkeit
Die Interferenz zweier sinusförmiger Wellen mit leicht unterschiedlichen Wellenlängen, aber gleicher Amplitude und Ausbreitungsrichtung führt zu einem Schwebungsmuster , das als Wellengruppe bezeichnet wird. Wie in der Animation zu sehen ist, bewegt sich die Gruppe aufgrund der Frequenzdispersion mit einer Gruppengeschwindigkeit c g, die sich von der Phasengeschwindigkeit c p unterscheidet.
Die Gruppengeschwindigkeit ist in den beiden obigen Abbildungen durch die roten Linien (mit B gekennzeichnet ) dargestellt. Im Flachwasser ist die Gruppengeschwindigkeit gleich der Flachwasserphasengeschwindigkeit. Dies liegt daran, dass flache Wasserwellen nicht dispersiv sind. In tiefem Wasser ist die Gruppengeschwindigkeit gleich der Hälfte der Phasengeschwindigkeit: c g = ½ c p .
Die Gruppengeschwindigkeit stellt sich auch als Energietransportgeschwindigkeit heraus. Dies ist die Geschwindigkeit, mit der die mittlere Wellenenergie in einem schmalbandigen Wellenfeld horizontal transportiert wird .
Im Fall einer Gruppengeschwindigkeit, die sich von der Phasengeschwindigkeit unterscheidet, ist eine Konsequenz, dass sich die Anzahl der in einer Wellengruppe gezählten Wellen unterscheidet, wenn sie von einem Schnappschuss im Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt gezählt werden, von der Zeitzählung von der gemessenen Oberflächenhöhe an einer festen Position. Betrachten Sie eine Wellengruppe mit der Länge Λ g und der Gruppendauer von τ g . Die Gruppengeschwindigkeit ist:
Die Anzahl der Wellen in einer Wellengruppe, gemessen zu einem bestimmten Zeitpunkt im Raum, beträgt: Λ g / λ . Während an einem festen Ort in der Zeit gemessen wird , ist die Anzahl der Wellen in einer Gruppe: τ g / T . Das Verhältnis der Anzahl der im Raum gemessenen Wellen zu den in der Zeit gemessenen ist also:
In tiefem Wasser hat eine Wellengruppe mit c g = ½ c p doppelt so viele Wellen in der Zeit wie im Raum.
Die Wasseroberflächenhöhe η (x, t) als Funktion der horizontalen Position x und der Zeit t für eine bichromatische Wellengruppe mit vollständiger Modulation kann mathematisch wie folgt formuliert werden:
mit:
- a die Wellenamplitude jeder Frequenzkomponente in Metern,
- k 1 und k 2 die Wellenzahl jeder Wellenkomponente im Bogenmaß pro Meter und
- ω 1 und ω 2 die Winkelfrequenz jeder Wellenkomponente im Bogenmaß pro Sekunde.
Sowohl ω 1 und k 1 als auch ω 2 und k 2 müssen die Dispersionsrelation erfüllen:
- und
Unter Verwendung trigonometrischer Identitäten wird die Oberflächenhöhe wie folgt geschrieben:
Der Teil zwischen eckigen Klammern ist die sich langsam ändernde Amplitude der Gruppe mit der Gruppenwellenzahl ½ (k 1 - k 2 ) und der Gruppenwinkelfrequenz ½ (ω 1 - ω 2 ) . Infolgedessen ist die Gruppengeschwindigkeit für die Grenze k 1 → k 2 :
Wellengruppen sind nur bei einem schmalbandigen Signal zu erkennen, wobei die Wellenzahldifferenz k 1 - k 2 im Vergleich zur mittleren Wellenzahl ½ (k 1 + k 2 ) gering ist .
Mehrkomponenten-Wellenmuster
Der Effekt der Frequenzdispersion besteht darin, dass sich die Wellen als Funktion der Wellenlänge ausbreiten, so dass sich die räumlichen und zeitlichen Phaseneigenschaften der sich ausbreitenden Welle ständig ändern. Beispielsweise bewegen sich Wasserwellen mit einer längeren Wellenlänge unter Einwirkung der Schwerkraft schneller als Wellen mit einer kürzeren Wellenlänge.
Während zwei überlagerte Sinuswellen, die als bichromatische Welle bezeichnet werden, eine Hüllkurve haben, die sich unverändert bewegt, führen drei oder mehr Sinuswellenkomponenten zu einem sich ändernden Muster der Wellen und ihrer Hüllkurve. Ein Meereszustand - das heißt: reale Wellen auf dem Meer oder Ozean - kann als Überlagerung vieler sinusförmiger Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen, Amplituden, Anfangsphasen und Ausbreitungsrichtungen beschrieben werden. Jede dieser Komponenten bewegt sich entsprechend der Dispersionsrelation mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit. Die Statistik einer solchen Oberfläche kann durch ihr Leistungsspektrum beschrieben werden .
Dispersionsbeziehung
In der nachstehenden Tabelle wird die Dispersionsrelation ω 2 = [ Ω (k) ] 2 zwischen Winkelfrequenz ω = 2π / T und Wellenzahl k = 2π / λ gegeben ist, sowie die Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten.
Frequenzdispersion von Gravitationswellen auf der Oberfläche von tiefem Wasser, flachem Wasser und in mittlerer Tiefe gemäß der linearen Wellentheorie | |||||
---|---|---|---|---|---|
Menge | Symbol | Einheiten | tiefes Wasser ( h > ½ λ ) |
seichtes Wasser ( h <0,05 λ ) |
Zwischentiefe (alle λ und h ) |
Dispersionsrelation | rad / s | ||||
Phasengeschwindigkeit | Frau | ||||
Gruppengeschwindigkeit | Frau | ||||
Verhältnis | - - | ||||
Wellenlänge | m | für die gegebene Periode T ist die Lösung von: |
Tiefes Wasser entspricht Wassertiefen, die größer als die Hälfte der Wellenlänge sind , wie es im Ozean üblich ist. In tiefem Wasser breiten sich Wellen mit längerer Periode schneller aus und transportieren ihre Energie schneller. Die Tiefwassergruppengeschwindigkeit beträgt die Hälfte der Phasengeschwindigkeit . In seichtem Wasser ist für Wellenlängen, die größer als das Zwanzigfache der Wassertiefe sind, wie sie häufig in Küstennähe zu finden sind, die Gruppengeschwindigkeit gleich der Phasengeschwindigkeit.
Geschichte
Die vollständige lineare Dispersionsbeziehung wurde zuerst von Pierre-Simon Laplace gefunden , obwohl seine Lösung für das lineare Wellenproblem einige Fehler aufwies. Die vollständige Theorie für lineare Wasserwellen, einschließlich Dispersion, wurde von George Biddell Airy abgeleitet und um 1840 veröffentlicht. Eine ähnliche Gleichung wurde ungefähr zur gleichen Zeit auch von Philip Kelland gefunden (wobei er jedoch einige Fehler bei der Ableitung der Wellentheorie machte). .
Die Grenze für seichtes Wasser (mit kleinem h / λ ), ω 2 = gh k 2 , wurde von Joseph Louis Lagrange abgeleitet .
Oberflächenspannungseffekte
Bei Schwerkraft-Kapillar-Wellen, bei denen die Oberflächenspannung die Wellen beeinflusst, wird die Dispersionsbeziehung wie folgt:
mit σ die Oberflächenspannung (in N / m).
Für eine Wasser-Luft-Grenzfläche (mit σ = 0,074 N / m und ρ = 1000 kg / m³ ) können die Wellen als reine Kapillarwellen - dominiert von Oberflächenspannungseffekten - für Wellenlängen von weniger als 0,4 cm (0,2 in) angenähert werden . Für Wellenlängen über 7 cm (3 in) sind die Wellen in guter Näherung reine Oberflächengravitationswellen mit sehr geringen Oberflächenspannungseffekten.
Grenzflächenwellen
Für zwei homogene Flüssigkeitsschichten mit einer mittleren Dicke h unterhalb der Grenzfläche und h ' oberhalb - unter Einwirkung der Schwerkraft und oberhalb und unterhalb durch horizontale starre Wände begrenzt - wird die Dispersionsbeziehung ω 2 = Ω 2 ( k ) für Schwerkraftwellen angegeben durch:
wobei wiederum ρ und ρ ' die Dichten unterhalb und oberhalb der Grenzfläche sind, während coth die hyperbolische Kotangensfunktion ist. Für den Fall, dass ρ ' Null ist, reduziert sich dies auf das Dispersionsverhältnis der Oberflächengravitationswellen auf Wasser endlicher Tiefe h .
Wenn die Tiefe der beiden Flüssigkeitsschichten sehr groß wird ( h → ∞, h ′ → ∞), nähern sich die hyperbolischen Kotangens in der obigen Formel dem Wert eins an. Dann:
Nichtlineare Effekte
Flachwasser
Amplitude Dispersionseffekte erscheinen zum Beispiel in den Einzelwellen : ein einziger Buckel von Wasser mit konstanter Geschwindigkeit in seichtem Wasser mit einem horizontalen Bett reisen. Beachten Sie, dass Einzelwellen nahezu Solitonen sind , aber nicht genau - nach der Wechselwirkung zweier (kollidierender oder überholender) Einzelwellen haben sie sich in der Amplitude etwas geändert und ein oszillierender Rest bleibt zurück. Die Ein-Solitonen-Lösung der Korteweg-de-Vries-Gleichung mit der Wellenhöhe H in der Wassertiefe h weit weg vom Wellenkamm bewegt sich mit der Geschwindigkeit:
Für diese nichtlineare Gravitationswelle ist es also die gesamte Wassertiefe unter dem Wellenberg, die die Geschwindigkeit bestimmt, wobei sich höhere Wellen schneller als niedrigere Wellen ausbreiten. Es ist zu beachten, dass Einzelwellenlösungen nur für positive Werte von H existieren , Einzelschwerkraftwellen der Depression existieren nicht.
Tiefes Wasser
Die lineare Dispersionsrelation - unbeeinflußt von Wellenamplitude - ist für die nichtlineare Wellen auch korrekt an der zweiten Ordnung der Störungstheorie Expansion, mit den Aufträgen in Bezug auf die Wellensteilheit ka (wobei eine Welle ist Amplitude ). Zur dritten Ordnung und für tiefes Wasser ist die Dispersionsrelation
- damit
Dies bedeutet, dass sich große Wellen schneller ausbreiten als kleine mit derselben Frequenz. Dies macht sich nur bemerkbar, wenn die Wellensteilheit ka groß ist.
Wellen bei mittlerem Strom: Doppler-Verschiebung
Wasserwellen in einem mittleren Fluss (also eine Welle in einem sich bewegenden Medium) erfahren eine Doppler-Verschiebung . Angenommen, die Dispersionsrelation für ein sich nicht bewegendes Medium ist:
mit k die Wellenzahl. Dann für ein Medium mit einem mittleren Geschwindigkeitsvektor V , die Dispersionsbeziehung mit Doppler - Verschiebung wird:
wobei k der Wellenzahlvektor ist, bezogen auf k als: k = | k |. Das Punktprodukt k · V ist gleich: k · V = kV cos α , wobei V die Länge des mittleren Geschwindigkeitsvektors V : V = | ist V |. Und α der Winkel zwischen der Wellenausbreitungsrichtung und der mittleren Strömungsrichtung. Für Wellen und Strom in derselben Richtung ist k • V = kV .
Siehe auch
Andere Artikel über Dispersion
Dispersive Wasserwellenmodelle
- Luftwellentheorie
- Benjamin-Bona-Mahony-Gleichung
- Boussinesq-Näherung (Wasserwellen)
- Knoidale Welle
- Camassa-Holm-Gleichung
- Davey-Stewartson-Gleichung
- Kadomtsev-Petviashvili-Gleichung (auch als KP-Gleichung bekannt)
- Korteweg-de-Vries-Gleichung (auch als KdV-Gleichung bekannt)
- Lukes Variationsprinzip
- Nichtlineare Schrödinger-Gleichung
- Flachwassergleichungen
- Stokes 'Wellentheorie
- Trochoide Welle
- Wellenturbulenzen
- Whitham-Gleichung
Anmerkungen
Verweise
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Externe Links
- Mathematische Aspekte dispersiver Wellen werden im Dispersive Wiki diskutiert .