Nichtlineare Schrödinger-Gleichung - Nonlinear Schrödinger equation

Absoluter Wert der komplexen Einhüllenden exakter analytischer Breather- Lösungen der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung (NLS) in dimensionsloser Form. (A) Die Akhmediev Verschnaufpause; (B) der Wanderatmer ; (C) die Kuznetsov-Ma-Atempause.

In der theoretischen Physik ist die (eindimensionale) nichtlineare Schrödinger-Gleichung ( NLSE ) eine nichtlineare Variation der Schrödinger-Gleichung . Es handelt sich um eine klassische Feldgleichung, deren Hauptanwendungen auf die Ausbreitung von Licht in nichtlinearen optischen Fasern und planaren Wellenleitern sowie auf Bose-Einstein-Kondensate beschränkt auf stark anisotrope zigarrenförmige Fallen im mittleren Feldbereich liegen. Darüber hinaus taucht die Gleichung in den Studien von Schwerewellen mit kleiner Amplitude auf der Oberfläche von tiefem, nichtviskosem Wasser (Nullviskosität) auf; die Langmuir-Wellen in heißen Plasmen; die Ausbreitung von in der Ebene gebeugten Wellenstrahlen in den Fokussierungsbereichen der Ionosphäre; die Ausbreitung von Davydovs Alpha-Helix-Solitonen , die für den Energietransport entlang der Molekülketten verantwortlich sind; und viele andere. Allgemeiner ausgedrückt erscheint der NLSE als eine der universellen Gleichungen, die die Entwicklung langsam variierender Pakete quasi-monochromatischer Wellen in schwach nichtlinearen Medien mit Dispersion beschreiben . Anders als die lineare Schrödinger-Gleichung beschreibt die NLSE nie die zeitliche Entwicklung eines Quantenzustands. Das 1D NLSE ist ein Beispiel für ein integrierbares Modell .

In der Quantenmechanik ist der 1D-NLSE ein Spezialfall des klassischen nichtlinearen Schrödinger-Feldes , das wiederum ein klassischer Grenzwert eines Quanten-Schrödinger-Feldes ist. Umgekehrt, wenn das klassische Schrödinger-Feld kanonisch quantisiert wird , wird es zu einer Quantenfeldtheorie (die linear ist, obwohl sie ″ quantennichtlineare Schrödinger-Gleichung″ genannt wird), die bosonische Punktteilchen mit Delta-Funktions-Wechselwirkungen beschreibt – die Teilchen entweder abstoßen oder anziehen, wenn sie am selben Punkt sind. Tatsächlich entspricht diese Quantenfeldtheorie bei endlicher Teilchenzahl dem Lieb-Liniger-Modell . Sowohl die Quanten- als auch die klassische 1D-nichtlineare Schrödinger-Gleichung sind integrierbar. Von besonderem Interesse ist die Grenze der unendlich starken Abstoßung, in diesem Fall wird das Lieb-Liniger-Modell zum Tonks-Girardeau-Gas (auch als hartes Bose-Gas oder undurchdringliches Bose-Gas bezeichnet). In dieser Grenze können die Bosonen durch eine Änderung von Variablen, die eine Kontinuumsverallgemeinerung der Jordan-Wigner-Transformation ist , in ein eindimensionales, nicht wechselwirkendes spinloses Fermion des Systems umgewandelt werden.

Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung ist eine vereinfachte 1+1-dimensionale Form der Ginzburg-Landau-Gleichung, die 1950 in ihrer Arbeit zur Supraleitung eingeführt wurde und explizit von RY Chiao, E. Garmire und CH Townes ( 1964 , Gleichung (5 )) in ihrem Studium der optischen Strahlen.

Die mehrdimensionale Version ersetzt die zweite räumliche Ableitung durch den Laplace-Operator. In mehr als einer Dimension ist die Gleichung nicht integrierbar, sie lässt Kollaps und Wellenturbulenzen zu.

Gleichung

Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung , anwendbar auf die klassische und Quantenmechanik .

Klassische Gleichung

Die klassische Feldgleichung (in dimensionsloser Form) lautet:

für den komplexen Körper ψ ( x , t ).

Diese Gleichung ergibt sich aus dem Hamilton-Operator

${\displaystyle H=\int\mathrm{d} x\left[{1 \over 2}|\partial_{x}\psi |^{2}+{\kappa \over 2}|\psi |^{ 4}\rechts]}$

mit den Poisson-Klammern

${\displaystyle \{\psi (x),\psi (y)\}=\{\psi^{*}(x),\psi^{*}(y)\}=0\,}$

${\displaystyle \{\psi^{*}(x),\psi(y)\}=i\delta (xy).\,}$

Im Gegensatz zu seinem linearen Gegenstück beschreibt es nie die zeitliche Entwicklung eines Quantenzustands.

Der Fall mit negativem κ wird als Fokussierung bezeichnet und ermöglicht sowohl helle Soliton- Lösungen (im Raum lokalisiert und mit einer räumlichen Abschwächung gegen unendlich) als auch Breather- Lösungen. Sie kann mit Hilfe der inversen Streutransformation exakt gelöst werden , wie von Zakharov & Shabat (1972) gezeigt (siehe unten ). Der andere Fall, bei dem κ positiv ist, ist die defokussierende NLS, die dunkle Soliton- Lösungen aufweist (mit einer konstanten Amplitude im Unendlichen und einem lokalen räumlichen Abfall der Amplitude).

Quantenmechanik

Um die quantisierte Version zu erhalten , ersetzen Sie einfach die Poisson-Klammern durch Kommutatoren

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\psi (x),\psi (y)]&=[\psi^{*}(x),\psi^{*}(y)]=0\ \{}[\psi^{*}(x),\psi(y)]&=-\delta (xy)\end{ausgerichtet}}}$

und normaler Ordnung der Hamilton-Operator

${\displaystyle H=\int dx\left[{1 \over 2}\partial _{x}\psi ^{\dagger}\partial_{x}\psi +{\kappa \over 2}\psi ^{ \dagger}\psi^{\dagger}\psi\psi\right].}$

Die Quantenversion wurde durch den Bethe-Ansatz von Lieb und Liniger gelöst . Die Thermodynamik wurde von Chen-Ning Yang beschrieben . Auch Quantenkorrelationsfunktionen wurden 1993 von Korepin ausgewertet. Das Modell hat höhere Erhaltungssätze - Davies und Korepin im Jahr 1989 drückten sie in Bezug auf lokale Felder aus.

Lösen der Gleichung

Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung ist in 1d integrierbar: Zakharov und Shabat ( 1972 ) haben sie mit der inversen Streutransformation gelöst . Das entsprechende lineare Gleichungssystem ist als Zakharov-Shabat-System bekannt :

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\phi_{x}&=J\phi\Lambda+U\phi\\\phi_{t}&=2J\phi\Lambda^{2}+2U\phi\ Lambda +\left(JU^{2}-JU_{x}\right)\phi ,\end{aligned}}}$

wo

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}\end{pmatrix}},\quad J=i\sigma_{z}={\begin {pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad U=i{\begin{pmatrix}0&q\\r&0\end{pmatrix}}.}$

Als Kompatibilitätsbedingung des Zakharov-Shabat-Systems ergibt sich die nichtlineare Schrödinger-Gleichung:

${\displaystyle \phi_{xt}=\phi_{tx}\quad \Rightarrow\quad U_{t}=-JU_{xx}+2JU^{2}U\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{cases }iq_{t}=q_{xx}+2qrq\\ir_{t}=-r_{xx}-2qrr.\end{cases}}}$

Durch Setzen von q = r * oder q = − r * erhält man die nichtlineare Schrödinger-Gleichung mit anziehender oder abstoßender Wechselwirkung.

Ein alternativer Ansatz verwendet das Zakharov-Shabat-System direkt und verwendet die folgende Darboux-Transformation :

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\phi\to \phi [1]&=\phi\Lambda -\sigma\phi \\U\to U[1]&=U+[J,\sigma ]\\\ Sigma &=\varphi\Omega\varphi^{-1}\end{ausgerichtet}}}$

was das System invariant lässt.

Hier ist φ eine weitere invertierbare Matrixlösung (anders als ϕ ) des Zakharov-Shabat-Systems mit dem Spektralparameter Ω:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\varphi_{x}&=J\varphi\Omega+U\varphi\\\varphi_{t}&=2J\varphi\Omega^{2}+2U\varphi\ Omega +\left(JU^{2}-JU_{x}\right)\varphi .\end{aligned}}}$

Ausgehend von der trivialen Lösung U = 0 erhält man iterativ die Lösungen mit n Solitonen .

Die NLS-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung wie die Gross-Pitaevskii-Gleichung . Normalerweise hat es keine analytische Lösung und die gleichen numerischen Methoden, die zur Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichung verwendet werden, wie die Split-Step- Crank-Nicolson- und Fourier-Spektralmethoden , werden für ihre Lösung verwendet. Für seine Lösung gibt es verschiedene Fortran- und C-Programme .

Galileische Invarianz

Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung ist im folgenden Sinne Galilei-invariant :

Gegeben eine Lösung ψ ( x, t ) erhält man eine neue Lösung, indem man überall in ψ ( x, t ) x durch x + vt ersetzt und einen Phasenfaktor von anhängt : ${\displaystyle e^{-iv(x+vt/2)}\,}$

${\displaystyle \psi (x,t)\mapsto \psi_{[v]}(x,t)=\psi (x+vt,t)\;e^{-iv(x+vt/2)} .}$

Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung in der Faseroptik

In der Optik tritt die nichtlineare Schrödinger-Gleichung im Manakov-System auf , einem Modell der Wellenausbreitung in der Faseroptik. Die Funktion ψ repräsentiert eine Welle und die nichtlineare Schrödinger-Gleichung beschreibt die Ausbreitung der Welle durch ein nichtlineares Medium. Die Ableitung zweiter Ordnung repräsentiert die Dispersion, während der -Term die Nichtlinearität repräsentiert. Die Gleichung modelliert viele Nichtlinearitätseffekte in einer Faser, einschließlich, aber nicht beschränkt auf Selbstphasenmodulation , Vierwellenmischung , Erzeugung zweiter Harmonischer , stimulierte Raman-Streuung , optische Solitonen , ultrakurze Pulse usw.

Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung in Wasserwellen

Ein Soliton mit hyperbolischer Sekante (sech) für Oberflächenwellen auf tiefem Wasser.
Blaue Linie: Wasserwellen.
Rote Linie: Hüllsoliton.

Für Wasserwellen , beschreibt die nichtlineare Schrödinger - Gleichung , die die Entwicklung der Hüllkurve der modulierten Wellengruppen. In einer Arbeit aus dem Jahr 1968 beschreibt Vladimir E. Zakharov die Hamiltonsche Struktur von Wasserwellen. In derselben Arbeit zeigt Zakharov, dass für langsam modulierte Wellengruppen die Wellenamplitude näherungsweise der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung genügt. Der Wert des Nichtlinearitätsparameters к hängt von der relativen Wassertiefe ab. Für tiefes Wasser, mit dem der Wassertiefe groß gegenüber der Wellenlänge der Wasserwellen, к negativ und Umschlag Solitonen auftreten kann. Darüber hinaus können diese Hüllsolitone unter externer zeitabhängiger Wasserströmung beschleunigt werden.

Für flaches Wasser, mit Wellenlängen von mehr als 4,6 - fache der Wassertiefe, die Nicht - Linearität Parameter к positiv ist, und Wellengruppen mit Umschlag Solitonen sind nicht vorhanden. In flachen Gewässern gibt es Solitonen oder Translationswellen , die jedoch nicht durch die nichtlineare Schrödinger-Gleichung bestimmt werden.

Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung wird als wichtig erachtet, um die Entstehung von Schurkenwellen zu erklären .

Das komplexe Feld ψ , wie es in der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung erscheint, hängt mit der Amplitude und Phase der Wasserwellen zusammen. Betrachten wir ein langsam moduliertes Trägerwelle mit Wasseroberfläche Elevations η der Form:

${\displaystyle \eta =a(x_{0},t_{0})\;\cos \left[k_{0}\,x_{0}-\omega _{0}\,t_{0}-\ theta (x_{0},t_{0})\right],}$

wobei a ( x ₀ , t ₀ ) und θ ( x ₀ , t ₀ ) die langsam modulierte Amplitude und Phase sind . Weitere ω ₀ und k ₀ sind die (konstante) Winkelfrequenz und Wellenzahl der Trägerwellen, die die zu erfüllen haben Dispersions Beziehung ω ₀ = Ω ( k ₀ ). Dann

${\displaystyle \psi =a\;\exp \left(i\theta\right).}$

Also sein Modul | & psgr; | Amplitude ist die Welle ein , und ihr Argument arg ( ψ ) die Phase θ .

Die Beziehung zwischen den physikalischen Koordinaten ( x ₀ , t ₀ ) und den ( x, t )-Koordinaten, wie sie in der oben angegebenen nichtlinearen Schrödinger-Gleichung verwendet wird , ist gegeben durch:

${\displaystyle x=k_{0}\left[x_{0}-\Omega '(k_{0})\;t_{0}\right],\quad t=k_{0}^{2}\left [-\Omega ''(k_{0})\right]\;t_{0}}$

So ( x, t ) mit dem Bewegen eines transformierten Koordinatensystem Gruppengeschwindigkeit Ω '( k ₀ ) der Trägerwellen, wobei die Dispersion-Beziehung Krümmung Ω "( k ₀ ) - darstellt Dispersion der Gruppengeschwindigkeit - immer negativ ist für Wasserwellen unter Einwirkung der Schwerkraft, für jede Wassertiefe.

Für Wellen an der Wasseroberfläche des Tiefenwassers sind die Bedeutungskoeffizienten für die nichtlineare Schrödinger-Gleichung:

${\displaystyle \kappa=-2k_{0}^{2},\quad\Omega(k_{0})={\sqrt {gk_{0}}}=\omega_{0}\,\!}$   so   ${\displaystyle \Omega '(k_{0})={\frac {1}{2}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}}},\quad \Omega ''(k_ {0})=-{\frac {1}{4}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}^{2}}},\,\!}$

wobei g die Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche ist.

In den ursprünglichen ( x ₀ , t ₀ ) Koordinaten lautet die nichtlineare Schrödinger-Gleichung für Wasserwellen:

${\displaystyle i\,\partial_{t_{0}}A+i\,\Omega '(k_{0})\,\partial_{x_{0}}A+{\tfrac {1}{2} }\Omega ''(k_{0})\,\partial_{x_{0}x_{0}}A-\nu\,|A|^{2}\,A=0,}$

with (dh die komplex Konjugierte von ) und So für tiefe Wasserwellen. ${\displaystyle A=\psi^{*}}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \nu =\kappa\,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).}$${\displaystyle \nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}}$

Messgerät gleichwertiges Gegenstück

NLSE (1) ist Eichäquivalent der folgenden isotropen Landau-Lifshitz-Gleichung (LLE) oder Heisenberg-Ferromagnet- Gleichung

${\displaystyle {\vec{S}}_{t}={\vec{S}}\wedge {\vec{S}}_{xx}.\qquad}$

Beachten Sie, dass diese Gleichung mehrere integrierbare und nicht-integrierbare Verallgemeinerungen in 2 + 1-Dimensionen wie die Ishimori-Gleichung usw. zulässt .

Beziehung zu Wirbeln

Hasimoto (1972) zeigte, dass die Arbeit von da Rios  ( 1906 ) über Wirbelfilamente eng mit der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung verwandt ist. Anschließend Salman (2013) verwendet , um diese Korrespondenz zu zeigen , dass Belüftungslösungen auch für einen Wirbelfaden entstehen können.

Siehe auch

• AKNS-System
• Eckhaus-Gleichung
• Quartische Wechselwirkung für ein verwandtes Modell in der Quantenfeldtheorie
• Soliton (Optik)
• Logarithmische Schrödinger-Gleichung

Anmerkungen

Verweise

Anmerkungen

Sonstiges

Externe Links

• "Nichtlineare Schrödinger-Systeme" . Scholarpedia .
• Übungsvorlesung zur nichtlinearen Schrödinger-Gleichung (Video) .
• Nichtlineare Schrödinger-Gleichung mit kubischer Nichtlinearität bei EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nichtlineare Schrödinger-Gleichung mit einer Potenzgesetz -Nichtlinearität bei EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nichtlineare Schrödinger-Gleichung allgemeiner Form bei EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Mathematische Aspekte der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung im Dispersive Wiki