Existenzsatz - Existence theorem
In der Mathematik ist ein Existenzsatz ein Satz, der die Existenz eines bestimmten Objekts behauptet. Es könnte eine Erklärung sein , die mit dem Satz beginnt „ gibt es (n) “, oder es könnte eine universelle Aussage , deren letzte sein quantifier ist existentiell (zB „für alle x , y , ... gibt es (n) .. ."). In den formalen Bedingungen der symbolischen Logik , ein Existenzsatz ist ein Satz mit einer Pränexform der Einbeziehung Existenzquantor , obwohl in der Praxis werden solche Sätze in der Regel in der mathematischen Standardsprache angegeben. Zum Beispiel die Aussage, dass dieSinusfunktion ist überall stetig , oder jeder Satz, der in großer O-Notation geschrieben ist , kann als von Natur aus existenzielle Sätze angesehen werden – da die Quantifizierung in den Definitionen der verwendeten Konzepte zu finden ist.
Eine Kontroverse , die zurück zu der frühen zwanzigsten Jahrhundert betrifft die Frage der rein theoretischer Existenztheoreme geht, das heißt, Sätze , die auf nicht-konstruktiv grundlegende abhängen Material wie das Axiom der Unendlichkeit , das Axiom der Wahl oder das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten . Solche Theoreme liefern keinen Hinweis darauf, wie das Objekt konstruiert (oder ausgestellt) wird, dessen Existenz behauptet wird. Aus konstruktivistischer Sicht sind solche Ansätze nicht praktikabel, da sie dazu führen, dass die Mathematik ihre konkrete Anwendbarkeit verliert, während der entgegengesetzte Standpunkt ist, dass abstrakte Methoden so weitreichend sind, wie es die numerische Analyse nicht sein kann.
'reine' Existenzergebnisse
In der Mathematik ist ein Existenzsatz rein theoretisch, wenn der dafür gegebene Beweis nicht auf eine Konstruktion des Objekts hinweist, dessen Existenz behauptet wird. Ein solcher Beweis ist nicht konstruktiv, da sich der gesamte Ansatz möglicherweise nicht für eine Konstruktion eignet. In Bezug auf Algorithmen umgehen rein theoretische Existenztheoreme alle Algorithmen, um das zu finden, was behauptet wird, zu existieren. Diesen stehen die sogenannten „konstruktiven“ Existenztheoreme gegenüber, die viele konstruktivistische Mathematiker, die in erweiterten Logiken (wie der intuitionistischen Logik ) arbeiten, für intrinsisch stärker halten als ihre nicht-konstruktiven Gegenstücke.
Trotzdem sind die rein theoretischen Existenzergebnisse dennoch allgegenwärtig in der zeitgenössischen Mathematik. Zum Beispiel war John Nashs ursprünglicher Beweis für die Existenz eines Nash-Gleichgewichts im Jahr 1951 ein solcher Existenzsatz. Ein konstruktiver Ansatz wurde auch 1962 gefunden.
Konstruktivistische Ideen
Auf der anderen Seite hat es eine beträchtliche Klärung dessen gegeben, was konstruktive Mathematik ist – ohne dass eine „Meistertheorie“ auftauchte. Beispielsweise soll nach den Definitionen von Errett Bishop die Stetigkeit einer Funktion wie sin( x ) als konstruktive Bindung auf den Stetigkeitsmodul nachgewiesen werden , was bedeutet, dass der existenzielle Inhalt der Stetigkeitsbehauptung ein Versprechen ist, das immer gehalten werden. Dementsprechend lehnt Bishop die Standardidee der punktweisen Kontinuität ab und schlägt vor, dass Kontinuität im Sinne einer "lokalen einheitlichen Kontinuität" definiert werden sollte. Eine andere Erklärung des Existenzsatzes könnte man aus der Typentheorie gewinnen , in der ein Beweis einer Existenzaussage nur von einem Term (den man als den rechnerischen Inhalt sehen kann) kommen kann.