f ( R ) Schwerkraft - f(R) gravity

${\displaystyle \kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu\nu}}$

${\displaystyle f(R)}$

Metrische f ( R ) Schwerkraft

Herleitung von Feldgleichungen

In der Metrik f ( R ) Gravitation gelangt man zu den Feldgleichungen, indem man in Bezug auf die Metrik variiert und die Verbindung nicht unabhängig behandelt. Der Vollständigkeit halber erwähnen wir nun kurz die grundlegenden Schritte der Variation der Aktion. Die Hauptschritte sind die gleichen wie bei der Variation der Einstein-Hilbert-Aktion (weitere Details finden Sie im Artikel), aber es gibt auch einige wichtige Unterschiede.

Die Variation der Determinante ist wie immer:

$${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} }$$

Der Ricci-Skalar ist definiert als

$${\displaystyle R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}.}$$

Daher ist seine Variation bezüglich der inversen Metrik gegeben durch ${\displaystyle g^{\mu\nu}}$

$${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\delta R&=R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}+g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}\\ &=R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}+g^{\mu\nu}\left(\nabla_{\rho}\delta\Gamma_{\nu\mu}^ {\rho}-\nabla_{\nu}\delta\Gamma_{\rho\mu}^{\rho}\right)\end{ausgerichtet}}}$$

Für den zweiten Schritt siehe den Artikel über die Einstein-Hilbert-Aktion . Da es sich um die Differenz zweier Verbindungen handelt, sollte sie als Tensor transformiert werden. Daher kann es geschrieben werden als ${\displaystyle \delta\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}}$

$${\displaystyle \delta\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla_{\mu}\delta g_ {a\nu}+\nabla_{\nu}\delta g_{a\mu}-\nabla_{a}\delta g_{\mu\nu}\right).}$$

Einsetzen in die obige Gleichung:

$${\displaystyle \delta R=R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}+g_{\mu\nu}\Box \delta g^{\mu\nu}-\nabla_{\ mu}\nabla_{\nu}\delta g^{\mu\nu}}$$

wobei die

${\displaystyle \nabla _{\mu}}$

${\displaystyle \square =g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}}$

Bezeichnend ist die Variation in der Aktion: ${\displaystyle F(R)={\frac {df}{dR}}}$

$${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\delta S[g]&=\int {\frac {1}{2\kappa}}\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f (R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac{1}{2\kappa}}\left(F (R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} f(R)\right)\,\mathrm {d}^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa}}{\sqrt {-g}}\left(F( R)(R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}+g_{\mu\nu}\Box \delta g^{\mu\nu}-\nabla_{\mu}\nabla _{\nu}\delta g^{\mu\nu})-{\frac {1}{2}}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}f(R)\right )\,\mathrm{d}^{4}x\end{ausgerichtet}}}$$

Wenn wir eine partielle Integration des zweiten und dritten Termes durchführen (und die Randbeiträge vernachlässigen), erhalten wir:

$${\displaystyle \delta S[g]=\int {\frac {1}{2\kappa}}{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu\nu}\left(F(R)R_ {\mu\nu}-{\frac{1}{2}}g_{\mu\nu}f(R)+[g_{\mu\nu}\Box -\nabla_{\mu}\nabla_ {\nu}]F(R)\rechts)\,\mathrm {d} ^{4}x.}$$

Indem man verlangt, dass die Wirkung unter Variationen der Metrik invariant bleibt , erhält man die Feldgleichungen: ${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta g^{\mu\nu}}}=0}$

$${\displaystyle F(R)R_{\mu\nu}-{\frac {1}{2}}f(R)g_{\mu\nu}+\left[g_{\mu\nu}\Box - \nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\right]F(R)=\kappa T_{\mu\nu},}$$

${\displaystyle T_{\mu\nu}}$

$${\displaystyle T_{\mu\nu}=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_ {\mathrm{m}})}{\delta g^{\mu\nu}}}},}$$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}}$

Die verallgemeinerten Friedmann-Gleichungen

Unter der Annahme einer Robertson-Walker-Metrik mit Skalierungsfaktor können wir die verallgemeinerten

${\displaystyle a(t)}$

${\displaystyle \kappa=1}$

$${\displaystyle 3FH^{2}=\rho_{\rm {m}}+\rho_{\rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\ Punkt {F}}}$$

$${\displaystyle -2F{\dot {H}}=\rho_{\rm {m}}+{\frac {4}{3}}\rho_{\rm {rad}}+{\ddot {F }}-H{\dot{F}},}$$

$${\displaystyle H={\frac {\dot {a}}{a}},}$$

$${\displaystyle {\dot {\rho}}_{\rm {m}}+3H\rho_{\rm {m}}=0;}$$

$${\displaystyle {\dot {\rho}}_{\rm {rad}}+4H\rho_{\rm {rad}}=0.}$$

Modifizierte Newton-Konstante

Ein interessantes Merkmal dieser Theorien ist die Tatsache, dass die Gravitationskonstante zeit- und skalenabhängig ist. Um dies zu sehen, fügen Sie der Metrik (im Newtonschen Messgerät ) eine kleine skalare Störung hinzu :

$${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(1+2\Phi)\mathrm {d} t^{2}+\alpha^{2}(1-2\Psi)\delta_{ ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$$

$${\displaystyle \Phi =-4\pi G_{\mathrm {eff} }{\frac {a^{2}}{k^{2}}}\delta \rho_{\mathrm {m}}}$$

$${\displaystyle G_{\textrm{eff}}={\frac {1}{8\pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R} }m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},}$$

$${\displaystyle m\equiv {\frac {RF_{,R}}{F}}.}$$

Massive Gravitationswellen

Diese Klasse von Theorien weist, wenn sie linearisiert wird, drei Polarisationsmoden für die Gravitationswellen auf , von denen zwei dem masselosen Graviton entsprechen (Helizitäten ±2) und die dritte (Skalar) darauf zurückzuführen ist, dass, wenn wir eine konforme Transformation berücksichtigen, die Theorie vierter Ordnung f ( R ) wird zur Allgemeinen Relativitätstheorie plus einem Skalarfeld . Um dies zu sehen, identifizieren Sie

$${\displaystyle \Phi\to f'(R)\quad {\textrm {und}}\quad {\frac {dV}{d\Phi}}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R )}{3}},}$$

$${\displaystyle \Box \Phi ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \Phi}}}$$

Arbeiten nach erster Ordnung der Störungstheorie:

$${\displaystyle g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}}$$

$${\displaystyle \Phi =\Phi_{0}+\delta \Phi}$$

$${\displaystyle h_{\mu\nu}(t,z;\omega)=A^{+}(\omega)\exp(-i\omega(tz))e_{\mu\nu}^{+} +A^{\times}(\omega)\exp(-i\omega(tz))e_{\mu\nu}^{\times}+h_{f}(v_{\textrm {g}}tz; \omega)\eta_{\mu\nu}}$$

$${\displaystyle h_{f}\equiv {\frac {\delta \Phi }{\Phi_{0}}},}$$

und v _g ( ω ) = d ω / d k ist die Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpakets h _f auf Wellenvektor zentriert k . Die ersten beiden Terme entsprechen den üblichen transversalen Polarisationen aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, während der dritte dem neuen massiven Polarisationsmodus der f ( R )-Theorien entspricht. Dieser Modus ist eine Mischung aus einem masselosen transversalen Atmungsmodus (aber nicht spurlos) und einem massiven longitudinalen Skalarmodus. Die transversalen und spurlosen Moden (auch als Tensor-Moden bekannt) breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus , aber die massive skalare Mode bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v _G  < 1 (in Einheiten mit c  = 1), diese Mode ist dispersiv. Im f ( R )-Gravitationsmetrik-Formalismus ist jedoch für das Modell (auch als reines Modell bekannt) der dritte Polarisationsmodus ein reiner Atmungsmodus und breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit durch die Raumzeit aus. ${\displaystyle f(R)=\alpha R^{2}}$${\displaystyle R^{2}}$

Äquivalenter Formalismus

Unter bestimmten zusätzlichen Bedingungen können wir die Analyse von f ( R )-Theorien vereinfachen , indem wir ein Hilfsfeld Φ einführen . Angenommen für alle

${\displaystyle f''(R)\neq 0}$

${\displaystyle \Phi =f'(R)}$

${\displaystyle R=V'(\Phi)}$

$${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[{\frac {1}{2\kappa}}\left(\Phi RV(\Phi)\right)+ {\mathcal{L}}_{\text{m}}\right].}$$

Wir haben die Euler-Lagrange-Gleichungen

$${\displaystyle V'(\Phi)=R}$$

$${\displaystyle \Phi\left(R_{\mu\nu}-{\frac {1}{2}}g_{\mu\nu}R\right)+\left(g_{\mu\nu}\Box -\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu\nu}V(\Phi)=\kappa T_{\mu \nu}}$$

Eliminieren von Φ erhalten wir genau die gleichen Gleichungen wie zuvor. Allerdings sind die Gleichungen in den Ableitungen nur zweiter Ordnung, statt vierter Ordnung.

Wir arbeiten derzeit mit dem Jordan-Rahmen . Durch eine konforme Neuskalierung

$${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu\nu}=\Phi g_{\mu\nu},}$$

$${\displaystyle R=\Phi\left[{\tilde{R}}+{\frac {3{\tilde {\Box}}\Phi }{\Phi}}-{\frac {9}{2}} \left({\frac{{\tilde {\nabla}}\Phi }{\Phi}}\right)^{2}\right]}$$

$${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa}}\left[{\tilde {R}}- {\frac {3}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla}}\Phi }{\Phi}}\right)^{2}-{\frac {V(\Phi ) }{\Phi^{2}}}\right]}$$

Definieren und Ersetzen ${\displaystyle {\tilde {\Phi}}={\sqrt {3}}\ln {\Phi}}$

$${\displaystyle S=\int\mathrm {d}^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac{1}{2\kappa}}\left[{\tilde { R}}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\nabla}}{\tilde {\Phi}}\right)^{2}-{\tilde {V}}({ \tilde {\Phi}})\right]}$$

$${\displaystyle {\tilde {V}}({\tilde {\Phi}})=e^{-{\frac {2}{\sqrt {3}}}{\tilde {\Phi}}}V\ left(e^{{\tilde {\Phi}}/{\sqrt {3}}}\right).}$$

Dies ist die allgemeine Relativitätstheorie, die an ein reales Skalarfeld gekoppelt ist: Die Verwendung von f ( R )-Theorien zur Beschreibung des sich beschleunigenden Universums ist praktisch äquivalent zur Verwendung der Quintessenz . (Zumindest äquivalent bis auf den Vorbehalt, dass wir noch keine Materiekopplungen spezifiziert haben, also (zum Beispiel) f ( R ) Gravitation, in der Materie minimal an die Metrik gekoppelt ist (dh im Jordan-System) ist äquivalent zu einer Quintessenztheorie in dem das Skalarfeld eine fünfte Kraft mit Gravitationsstärke vermittelt.)

Palatini f ( R ) Schwerkraft

In Palatini f ( R ) Gravitation behandelt man Metrik und Verbindung unabhängig und variiert die Wirkung in Bezug auf jede von ihnen separat. Die Materie Lagrange wird als unabhängig von der Verbindung angenommen. Diese Theorien sind äquivalent zur Brans-Dicke-Theorie mit ω = − 3 ⁄ 2 . Aufgrund der Struktur der Theorie scheinen die Palatini- f ( R )-Theorien jedoch im Widerspruch zum Standardmodell zu stehen, können Sonnensystemexperimente verletzen und scheinen unerwünschte Singularitäten zu erzeugen.

Metrisch-affine f ( R ) Gravitation

In der metrisch-affinen f ( R )-Gravitation verallgemeinert man die Dinge noch weiter, indem man sowohl die Metrik als auch die Verbindung unabhängig behandelt und annimmt, dass die Materie Lagrange auch von der Verbindung abhängt.

Beobachtungstests

Da es viele mögliche Formen der f ( R )-Gravitation gibt, ist es schwierig, generische Tests zu finden. Da außerdem Abweichungen von der Allgemeinen Relativitätstheorie in einigen Fällen beliebig klein gemacht werden können, ist es unmöglich, einige Modifikationen schlüssig auszuschließen. Ein gewisser Fortschritt kann gemacht werden, ohne eine konkrete Form für die Funktion f ( R ) durch

$${\displaystyle f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+\cdots}$$

Der erste Term ist wie die kosmologische Konstante und muss klein sein. Der nächste Koeffizient a ₁ kann wie in der Allgemeinen Relativitätstheorie auf eins gesetzt werden. Für metrische f ( R ) Gravitation (im Gegensatz zu Palatini oder metrisch-affiner f ( R ) Gravitation) wird der quadratische Term am besten durch Messungen der fünften Kraft eingeschränkt , da er zu einer Yukawa- Korrektur des Gravitationspotentials führt. Die besten aktuellen Grenzen sind | ein ₂ | <4 × 10 ⁻⁹  m ² oder gleichwertig | ein ₂ | <2,3 × 10 ²²  GeV ^–2 .

Der parametrisierte post-Newtonsche Formalismus soll generische modifizierte Gravitationstheorien einschränken können. Die Gravitation f ( R ) hat jedoch viele der gleichen Werte wie die Allgemeine Relativitätstheorie und ist daher mit diesen Tests nicht zu unterscheiden. Insbesondere die Lichtablenkung bleibt unverändert, so dass die f ( R )-Gravitation, wie die Allgemeine Relativitätstheorie, vollständig mit den Grenzen der Cassini-Nachführung übereinstimmt .

Starobinsky-Schwerkraft

Die Schwerkraft von Starobinsky hat die folgende Form

$${\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}$$

${\displaystyle M}$

Gogoi-Goswami-Schwerkraft

Die Gogoi-Goswami-Schwerkraft hat die folgende Form

$${\displaystyle f(R)=R-{\frac {\alpha }{\pi}}R_{c}\cot^{-1}\left({\frac {R_{c}^{2}}{ R^{2}}}\right)-\beta R_{c}\left[1-\exp \left(-{\frac {R}{R_{c}}}\right)\right]}$$

${\displaystyle\alpha}$

${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle R_{c}}$

Tensorielle Generalisierung

f ( R ) Gravitation, wie in den vorherigen Abschnitten dargestellt, ist eine skalare Modifikation der Allgemeinen Relativitätstheorie. Allgemeiner gesagt können wir a

$${\displaystyle \int \mathrm {d}^{D}x{\sqrt {-g}}\,f(R,R^{\mu\nu}R_{\mu\nu},R^{\mu \nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma})}$$

Siehe auch

• Erweiterte Gravitationstheorien
• Gauß-Motorhauben-Schwerkraft
• Lovelock-Schwerkraft

Verweise

Weiterlesen

• Siehe Kapitel 29 im Lehrbuch "Particles and Quantum Fields" von Kleinert, H. (2016), World Scientific (Singapur, 2016) (auch online verfügbar )
• Sotiriou, TP; Faraoni, V. (2010). „f(R) Theorien der Schwerkraft“. Bewertungen der modernen Physik . 82 (1): 451–497. arXiv : 0805.1726 . Bibcode : 2010RvMP...82..451S . doi : 10.1103/RevModPhys.82.451 . S2CID  15024691 .
• Sotiriou, TP (2009). „6+1 Lektionen aus der f(R)-Schwerkraft“. Zeitschrift für Physik: Konferenzreihe . 189 (9): 012039. arXiv : 0810.5594 . Bibcode : 2009JPhCS.189a2039S . doi : 10.1088/1742-6596/189/1/012039 . S2CID  14820388 .
• Capozziello, S.; De Laurentis, M. (2011). „Erweiterte Theorien der Schwerkraft“. Physik Berichte . 509 (4–5): 167–321. arXiv : 1108.6266 . Bibcode : 2011PhR...509..167C . doi : 10.1016/j.physrep.2011.09.003 . S2CID  119296243 .
• Salvatore Capozziello und Mariafelicia De Laurentis, (2015) "F(R) Theorien der Gravitation". Scholarpedia, doi:10.4249/scholarpedia.31422
• Kalvakota, Vaibhav R., (2021) "Investigating f(R)" gravity and cosmologies", Preprint-Archiv der mathematischen Physik, https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf

Externe Links

• f ( R ) Schwerkraft auf arxiv.org
• Erweiterte Theorien der Schwerkraft