Frechet bedeuten - Fréchet mean

In Mathematik und Statistik ist der Fréchet-Mittelwert eine Verallgemeinerung von Schwerpunkten auf metrische Räume , die einen einzelnen repräsentativen Punkt oder eine zentrale Tendenz für eine Punktgruppe ergibt . Es ist nach Maurice Fréchet benannt . Karcher mittel ist die Umbenennung des Riemannschen Massenzentrums, entwickelt von Karsten Grove und Hermann Karcher. Bei den reellen Zahlen können das arithmetische Mittel , der Median , das geometrische Mittel und das harmonische Mittel alle als Fréchet-Mittel für verschiedene Distanzfunktionen interpretiert werden.

Definition

Sei ( M , d ) ein vollständiger metrischer Raum. Seien x ₁ , x ₂ , …, x _N Punkte in M . Definiere für jeden Punkt p in M die Fréchet-Varianz als Summe der quadrierten Distanzen von p zu x _i :

${\displaystyle \Psi(p)=\sum_{i=1}^{N}d^{2}\left(p,x_{i}\right)}$

Die Karcher-Mittelwerte sind dann die Punkte m von M , die lokal minimieren :

${\displaystyle m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}d^{2}\left(p,x_{i}\right )}$

Wenn es ein m von M gibt , das Ψ global minimiert, dann ist es Fréchet mean .

Manchmal werden den x _i Gewichte w _i zugewiesen . Dann wird die Fréchet-Varianz als gewichtete Summe berechnet,

${\displaystyle \Psi(p)=\sum_{i=1}^{N}w_{i}d^{2}\left(p,x_{i}\right),\;\;\;\ ;m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}w_{i}d^{2}\left(p,x_{i} \Recht).}$

Beispiele für Fréchet bedeutet

Arithmetisches Mittel und Median

Für reelle Zahlen ist das arithmetische Mittel ein Fréchet-Mittel, wobei die übliche euklidische Distanz als Distanzfunktion verwendet wird.

Der Median ist auch ein Fréchet-Mittel, wenn die Definition der Funktion Ψ auf das Nichtquadratische verallgemeinert wird

${\displaystyle \Psi(p)=\sum_{i=1}^{N}d^{\alpha}\left(p,x_{i}\right),}$

wobei die euklidische Distanz die Distanzfunktion d ist . In höherdimensionalen Räumen wird dies zum geometrischen Median . ${\displaystyle \alpha=1}$

Geometrisches Mittel

Auf den positiven reellen Zahlen kann die (hyperbolische) Distanzfunktion definiert werden. Das geometrische Mittel ist das entsprechende Fréchet-Mittel. In der Tat ist dann eine Isometrie vom euklidischen Raum zu diesem "hyperbolischen" Raum und muss den Fréchet-Mittelwert respektieren: Der Fréchet-Mittelwert von ist das Bild des Fréchet-Mittelwerts (im euklidischen Sinne) von , dh es muss sein: ${\displaystyle d(x,y)=|\log(x)-\log(y)|}$${\displaystyle f:x\mapsto e^{x}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(x_{i})}$

${\displaystyle f\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f^{-1}\left(x_{i}\right)\right)=\ exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)={\sqrt[{n}]{x_{1}\ cdots x_{n}}}}$.

Harmonische Mittel

Auf den positiven reellen Zahlen die Metrik (Entfernungsfunktion):

${\displaystyle d_{\operatorname {H}}(x,y)=\left|{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}\right|}$

kann definiert werden. Das harmonische Mittel ist das entsprechende Fréchet-Mittel.

Macht bedeutet

Eine von Null verschiedene reelle Zahl , die Leistungs Mittelwert kann durch die Einführung der Metrik als Fréchet Mittelwert erhalten werden ,${\displaystyle m}$

${\displaystyle d_{m}\left(x,y\right)=\left|x^{m}-y^{m}\right|}$

f-bedeuten

Bei einer invertierbaren und stetigen Funktion kann der f-Mittelwert als der Fréchet-Mittelwert definiert werden, der unter Verwendung der Metrik erhalten wird: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle d_{f}(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|}$

Dies wird manchmal als verallgemeinerter f-Mittelwert oder quasi-arithmetischer Mittelwert bezeichnet .

Gewichtete Mittel

Die allgemeine Definition des Fréchet-Mittelwertes, die die Möglichkeit der Gewichtung von Beobachtungen beinhaltet, kann verwendet werden, um gewichtete Versionen für alle oben genannten Mittelwertarten abzuleiten.

Verweise