Geometrischer Fluss - Geometric flow

In der Mathematik , insbesondere der Differentialgeometrie , ist ein geometrischer Fluss der Gradientenfluss , der einer Funktion auf einem Verteiler zugeordnet ist, der eine geometrische Interpretation aufweist, die normalerweise mit einer äußeren oder inneren Krümmung verbunden ist . Sie können als Flüsse in einem Modulraum (für intrinsische Flüsse) oder als Parameterraum (für extrinsische Flüsse) interpretiert werden .

Diese sind für die Variationsrechnung von grundlegendem Interesse und umfassen mehrere berühmte Probleme und Theorien. Besonders interessant sind ihre kritischen Punkte .

Ein geometrischer Fluss wird auch als geometrische Evolutionsgleichung bezeichnet .

Beispiele

Extrinsisch

Extrinsische geometrische Strömungen sind Strömungen auf eingebetteten Teilverteilern oder allgemeiner untergetauchten Teilverteilern . Im Allgemeinen ändern sie sowohl die Riemannsche Metrik als auch das Eintauchen.

• Mittlerer Krümmungsfluss wie bei Seifenfilmen ; kritische Punkte sind minimale Oberflächen
• Kurvenverkürzungsfluss , der eindimensionale Fall des mittleren Krümmungsflusses
• Willmore fließen , wie bei Minimax-Eversionen von Kugeln
• Inverser mittlerer Krümmungsfluss

Eigen

Intrinsische geometrische Strömungen sind Strömungen auf der Riemannschen Metrik , unabhängig von Einbettung oder Eintauchen.

• Ricci fließen , wie in der Lösung der Poincaré-Vermutung , und Richard S. Hamiltons Beweis des Uniformisierungssatzes
• Calabi-Fluss , ein Fluss für Kähler-Metriken
• Yamabe fließen

Klassen von Flüssen

Wichtige Klassen von Strömungen sind Krümmungsströmungen , Variationsströmungen (die einige Funktionen extremisieren) und Strömungen, die als Lösungen für parabolische partielle Differentialgleichungen entstehen . Ein gegebener Fluss lässt häufig alle diese Interpretationen wie folgt zu.

Bei einem elliptischen Operator L ergibt die parabolische PDE eine Strömung, und stationäre Zustände für die Strömung sind Lösungen für die elliptische partielle Differentialgleichung . ${\ displaystyle u_ {t} = Lu}$ ${\ displaystyle Lu = 0}$

Wenn die Gleichung die Euler-Lagrange-Gleichung für ein funktionelles F ist , hat der Fluss eine Variationsinterpretation als Gradientenfluss von F , und stationäre Zustände des Flusses entsprechen kritischen Punkten des funktionalen. ${\ displaystyle Lu = 0}$

Im Zusammenhang mit geometrischen Strömungen ist die Funktion häufig die L ² -Norm einer gewissen Krümmung.

Wenn also eine Krümmung K gegeben ist , kann man die Funktion definieren , die die Euler-Lagrange-Gleichung für einen elliptischen Operator L und die zugehörige parabolische PDE aufweist . ${\ displaystyle F (K) = \ | K \ | _ {2}: = \ left (\ int _ {M} K ^ {2} \ right) ^ {1/2}}$${\ displaystyle Lu = 0}$${\ displaystyle u_ {t} = Lu}$

Der Ricci-Fluss , der Calabi-Fluss und der Yamabe-Fluss entstehen auf diese Weise (in einigen Fällen mit Normalisierungen).

Krümmungsflüsse können das Volumen erhalten oder nicht (der Calabi-Fluss tut dies, während der Ricci-Fluss dies nicht tut), und wenn nicht, kann der Fluss den Verteiler einfach schrumpfen oder vergrößern, anstatt die Metrik zu regulieren. So normalisiert man häufig den Durchfluss, indem man beispielsweise das Volumen festlegt.

Verweise

• Bakas, Ioannis (14. Oktober 2005) [28. Juli 2005 (v1)]. "Die algebraische Struktur geometrischer Strömungen in zwei Dimensionen". Zeitschrift für Hochenergiephysik . 2005 (10): 038. arXiv : hep-th / 0507284 . Bibcode : 2005JHEP ... 10..038B . doi : 10.1088 / 1126-6708 / 2005/10/038 . S2CID   15924056 .

• Bakas, Ioannis (5. Februar 2007). "Renormierungsgruppengleichungen und geometrische Strömungen" . arXiv : hep-th / 0702034 . Bibcode : 2007hep.th .... 2034B . Zitierjournal benötigt |journal= ( Hilfe )