Richard S. Hamilton - Richard S. Hamilton

Richard Hamilton
Hamilton im Jahr 1982
Geboren	( 1943-12-19 )19. Dezember 1943 (77 Jahre) Cincinnati, Ohio , USA
Staatsangehörigkeit	amerikanisch
Alma Mater	Yale University Princeton University
Bekannt für	Hamiltons Ricci-Fluss Ricci-Soliton Earle-Hamilton-Fixpunkt-Theorem Gage-Hamilton-Grayson-Theorem Li-Yau-Hamilton-Ungleichungen Nash-Moser-Theorem
Auszeichnungen	Veblen-Preis (1996) Tonforschungspreis (2003) Leroy P. Steele-Preis (2009) Shaw-Preis (2011)
Wissenschaftlicher Werdegang
Felder	Mathematik
Institutionen	Cornell University University of California, San Diego Columbia University
These	Strukturvariation auf Riemannschen Flächen  (1969)
Doktoratsberater	Robert Gunning
Doktoranden	Martin Lo

Richard Streit Hamilton (* 19. Dezember 1943) ist Davies-Professor für Mathematik an der Columbia University . Er ist bekannt für seine Beiträge zur geometrischen Analysis und zu partiellen Differentialgleichungen . Er leistete grundlegende Beiträge zur Theorie des Ricci-Flusses und seiner Verwendung bei der Auflösung der Poincaré-Vermutung und der Geometrisierungsvermutung im Bereich der geometrischen Topologie .

Biografie

Er erhielt seinen BA 1963 von der Yale University und Ph.D. 1966 von der Princeton University . Robert Gunning betreute seine Diplomarbeit. Hamilton hat an der University of California, Irvine , der University of California, San Diego , der Cornell University und der Columbia University gelehrt .

Hamiltons mathematische Beiträge liegen hauptsächlich auf dem Gebiet der Differentialgeometrie und insbesondere der geometrischen Analyse . Er ist am besten dafür bekannt, dass er den Ricci-Fluss entdeckt und ein Forschungsprogramm gestartet hat, das schließlich zum Beweis der Thurston- Geometrisierungsvermutung und der Lösung der Poincaré-Vermutung durch Grigori Perelman führte . Im August 2006 wurde Perelman die Fields-Medaille für seinen Beweis verliehen, aber abgelehnt .

Hamilton erhielt 1996 den Oswald Veblen Prize in Geometry und 2003 den Clay Research Award . 1999 wurde er in die National Academy of Sciences und 2003 in die American Academy of Arts and Sciences gewählt. Außerdem erhielt er den AMS Leroy P. Steele Preis für einen wegweisenden Beitrag zur Forschung im Jahr 2009 für seinen 1982 erschienenen Artikel Three-Manifolds with positive Ricci curve , in dem er den Ricci-Fluss einführte.

Am 18. März 2010 wurde bekannt gegeben, dass Perelman die Kriterien für die Verleihung des ersten Clay Millennium Prize für seinen 2003 veröffentlichten Beweis der Poincaré-Vermutung erfüllt hat . Am 1. Juli 2010 lehnte Perelman die Auszeichnung und die damit verbundene Preisgeld, wie er es bei der Fields-Medaille getan hatte, und sagte, dass er glaubte, sein Beitrag zum Beweis der Poincaré-Vermutung sei nicht größer als der von Hamilton, der zuerst ein Programm für die Lösung vorschlug. Obwohl Perelmans Lösung tatsächlich auf Richard Hamiltons Theorie des Ricci-Flusses basierte, beinhaltete sie jedoch wichtige Fortschritte von Perelman und nutzte Ergebnisse zu Metrikräumen von Cheeger, Gromov und Perelman selbst. Perelman bewies auch William Thurstons Geometrisierungsvermutung, von der ein Sonderfall die Poincaré-Vermutung ist, ohne die der Beweis der Poincaré-Vermutung nicht möglich gewesen wäre; seine Überprüfung wurde im August 2006 abgeschlossen.

Im Juni 2011 wurde bekannt gegeben, dass Hamilton und Demetrios Christodoulou den mit Millionen Dollar dotierten Shaw-Preis für ihre hochinnovativen Arbeiten zu nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen in der Lorentz- und Riemannschen Geometrie und deren Anwendungen auf die allgemeine Relativitätstheorie und Topologie zu gleichen Teilen verteilen würden.

Mathematische Arbeit

Bis 2020 ist Hamilton Autor von rund fünfzig Forschungsartikeln, davon rund vierzig auf dem Gebiet der geometrischen Strömungen .

Harnack-Ungleichungen für Wärmegleichungen

1986 entdeckten Peter Li und Shing-Tung Yau eine neue Methode zur Anwendung des Maximumprinzips zur Kontrolle der Lösungen der Wärmegleichung . Unter anderem zeigten sie, dass, wenn man eine positive Lösung u der Wärmegleichung auf einer geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer Ricci-Krümmung hat,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {u}{2t}}+2du(v)+u|v|_{g}^{2}\geq 0}$

für jeden Tangentenvektor v . Solche Ungleichungen, bekannt als "differentielle Harnack-Ungleichungen" oder "Li-Yau-Ungleichungen", sind nützlich, da sie entlang von Pfaden integriert werden können, um die Werte von u an zwei beliebigen Raumzeitpunkten zu vergleichen . Sie geben auch direkt punktweise Informationen über u , indem sie v gleich Null setzen.

1993 zeigte Hamilton, dass die Berechnungen von Li und Yau erweitert werden konnten, um zu zeigen, dass ihre differentielle Harnack-Ungleichung eine Folge einer stärkeren Matrixungleichung war. Sein Ergebnis erforderte, dass die geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit eine nichtnegative Schnittkrümmung und einen parallelen Ricci-Tensor (wie der flache Torus oder die Fubini-Study-Metrik über den komplexen projektiven Raum ) hat, bei deren Fehlen er mit einem etwas schwächeren Ergebnis erhielt. Solche Matrixungleichungen werden manchmal als Li-Yau-Hamilton-Ungleichungen bezeichnet .

Hamilton entdeckte auch, dass die Li-Yau-Methodik an den Ricci-Fluss angepasst werden könnte . Bei zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten fand er, dass die Berechnung von Li und Yau direkt an die skalare Krümmung entlang des Ricci-Flusses angepasst werden kann. In allgemeinen Dimensionen zeigte er, dass der Riemannsche Krümmungstensor eine komplizierte Ungleichung erfüllt, formal analog zu seiner Matrixerweiterung der Li-Yau-Ungleichung für den Fall, dass der Krümmungsoperator nicht negativ ist. Als unmittelbare algebraische Konsequenz erfüllt die skalare Krümmung eine Ungleichung, die fast identisch mit der von Li und Yau ist.

Nash-Moser-Theorem

1956 löste John Nash das Problem der glatten isometrischen Einbettung von Riemannschen Mannigfaltigkeiten in den euklidischen Raum. Der Kern seines Beweises war ein neuartiges Ergebnis der "kleinen Störung", das zeigte, dass, wenn eine Riemannsche Metrik auf eine bestimmte Weise isometrisch eingebettet werden könnte, jede nahe gelegene Riemannsche Metrik ebenfalls isometrisch eingebettet werden könnte. Ein solches Ergebnis erinnert stark an einen impliziten Funktionssatz , und viele Autoren haben versucht, die Beweislogik in den Rahmen eines allgemeinen Satzes zu stellen. Solche Sätze sind heute als Nash-Moser-Theoreme bekannt .

1982 veröffentlichte Hamilton seine Formulierung von Nashs Argumentation, indem er das Theorem in die Umgebung zahmer Fréchet-Räume einbettete ; Nashs grundlegende Verwendung der Beschränkung der Fourier-Transformation auf Regularisierung von Funktionen wurde von Hamilton auf die Einstellung exponentiell abnehmender Folgen in Banach-Räumen abstrahiert . Seine Formulierung wurde in der Folgezeit vielfach zitiert und verwendet. Er benutzte es selbst, um einen allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für geometrische Evolutionsgleichungen zu beweisen; der Standardsatz der impliziten Funktionen gilt in solchen Situationen aufgrund der durch die Invarianz unter der Wirkung der Diffeomorphismusgruppe eingeführten Entartungen nicht oft . Insbesondere die Wohlstellung des Ricci-Flusses folgt aus Hamiltons allgemeinem Ergebnis. Obwohl Dennis DeTurck im speziellen Fall des Ricci-Flusses einen einfacheren Beweis lieferte, wurde Hamiltons Ergebnis für einige andere geometrische Flüsse verwendet, für die DeTurcks Methode nicht zugänglich ist.

Harmonische Karte Wärmefluss

1964 James Eells und Joseph Sampson haben die Untersuchung des harmonischen Karte Wärmestrom , einen Konvergenzsatz für die Strömung zu zeigen mit , dass jede glatte Karte von einem geschlossenen Verteiler in einer geschlossenen Mannigfaltigkeit der kraft- Krümmung kann auf eine verformt wird harmonische Karte . 1975 betrachtete Hamilton das entsprechende Randwertproblem für diese Strömung und bewies ein analoges Ergebnis zu Eells und Sampson für die Dirichlet-Bedingung und die Neumann-Bedingung . Die analytische Natur des Problems ist in dieser Situation heikler, da Eells und Sampsons Schlüsselanwendung des Maximumprinzips auf die parabolische Bochner-Formel nicht trivial durchgeführt werden kann, da die Größe des Gradienten an der Grenze nicht automatisch gesteuert wird durch die Randbedingungen.

Indem Richard Schoen und Shing-Tung Yau Grenzen von Hamiltons Lösungen des Randwertproblems für immer größere Grenzen gezogen haben, beobachteten Richard Schoen und Shing-Tung Yau , dass eine endliche Energiekarte von einer vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit zu einer geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeit nicht positiver Krümmung in eine harmonische Karte verformt werden könnte endlicher Energie. Durch den Beweis der Erweiterung des Verschwindungssatzes von Eells und Sampson in verschiedenen geometrischen Einstellungen konnten sie auffallende geometrische Schlussfolgerungen ziehen, wie zum Beispiel, wenn ( M , g ) eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer Ricci-Krümmung ist , dann für jede vorkompakte offene Menge D mit glatten und einfach zusammenhängenden Rand, kann es keinen nichttrivialen Homomorphismus von der Fundamentalgruppe von D in irgendeine Gruppe geben, die die Fundamentalgruppe einer geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeit nicht positiver Krümmung ist.

Mittlerer Krümmungsfluss

1986 wendeten Hamilton und Michael Gage Hamiltons Nash-Moser-Theorem und das Wohlgestelltheitsergebnis für parabolische Gleichungen an, um die Wohlstellung für den mittleren Krümmungsfluss zu beweisen ; sie betrachteten den allgemeinen Fall einer einparametrigen Familie von Immersionen einer geschlossenen Mannigfaltigkeit in eine glatte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann spezialisierten sie sich auf den Fall des Eintauchens des Kreises S ¹ in den zweidimensionalen euklidischen Raum ℝ ² , was den einfachsten Kontext für den Kurvenverkürzungsfluss darstellt . Mit dem Maximumprinzip, das auf den Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Kurve angewendet wurde, bewiesen sie, dass, wenn das anfängliche Eintauchen eine Einbettung ist, auch alle zukünftigen Eintauchen in den mittleren Krümmungsfluss Einbettungen sind. Darüber hinaus bleibt die Konvexität der Kurven in der Zukunft erhalten.

Das Hauptergebnis von Gage und Hamilton ist, dass bei einer gegebenen glatten Einbettung S ¹ → ℝ ^2, die konvex ist, der entsprechende mittlere Krümmungsfluss für eine endliche Zeit existiert, und wenn sich die Zeit ihrem Maximalwert nähert, werden die Kurven asymptotisch zunehmend kleiner und kreisförmig. Sie nutzten frühere Ergebnisse von Gage sowie einige spezielle Ergebnisse für Kurven, wie die Bonnesen-Ungleichung .

1987 bewies Matthew Grayson ein komplementäres Ergebnis und zeigte, dass für jede glatte Einbettung S ¹ → ℝ ² der entsprechende mittlere Krümmungsfluss schließlich konvex wird. In Kombination mit dem Ergebnis von Gage und Hamilton erhält man im Wesentlichen eine vollständige Beschreibung des asymptotischen Verhaltens des mittleren Krümmungsflusses eingebetteter Kreise in ℝ ² . Dieses Ergebnis wird manchmal als Gage-Hamilton-Grayson-Theorem bezeichnet . Es ist etwas überraschend, dass es ein so systematisches und geometrisch definiertes Mittel gibt, eine beliebige Schleife in ℝ ² in einen runden Kreis zu verformen .

Das moderne Verständnis der Ergebnisse von Gage-Hamilton und Grayson behandelt normalerweise beide Einstellungen gleichzeitig, ohne dass gezeigt werden muss, dass beliebige Kurven konvex werden, und das Verhalten konvexer Kurven separat untersucht werden muss. Ihre Ergebnisse können auch auf andere Einstellungen als den mittleren Krümmungsfluss erweitert werden.

Ricci-Fluss

Hamilton erweiterte das Maximumprinzip für parabolische partielle Differentialgleichungen auf die Einstellung symmetrischer 2-Tensoren, die parabolischen partiellen Differentialgleichungen genügen. Er setzte dies auch in die allgemeine Einstellung eines parameterabhängigen Abschnitts eines Vektorbündels über einer geschlossenen Mannigfaltigkeit ein, der eine Wärmegleichung erfüllt, was sowohl starke als auch schwache Formulierungen liefert.

Teilweise aufgrund dieser grundlegenden technischen Entwicklungen konnte Hamilton ein im Wesentlichen vollständiges Verständnis des Verhaltens der Ricci-Strömung auf dreidimensionalen geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit positiver Ricci-Krümmung und nichtnegativer Ricci-Krümmung, vierdimensionalen geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit positiver oder nichtnegativer Krümmung, vermitteln , und zweidimensionale geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nicht positiver Euler-Charakteristik oder mit positiver Krümmung. In jedem Fall verformt der Ricci-Fluss nach entsprechenden Normierungen die gegebene Riemannsche Metrik zu einer mit konstanter Krümmung. Dies hat auffallend einfache unmittelbare Folgerungen, wie die Tatsache, dass jede geschlossene glatte 3-Mannigfaltigkeit, die eine Riemannsche Metrik positiver Krümmung zulässt, auch eine Riemannsche Metrik konstanter positiver Querschnittskrümmung zulässt. Solche Ergebnisse zeichnen sich dadurch aus, dass sie die Topologie solcher Mannigfaltigkeiten stark einschränken; die Raumformen positiver Krümmung sind weitgehend verstanden. Es gibt noch weitere Folgerungen, wie zum Beispiel die Tatsache, dass der topologische Raum der Riemannschen Metrik positiver Ricci-Krümmung auf einer geschlossenen glatten 3-Mannigfaltigkeit pfadbezogen ist. Diese "Konvergenzsätze" von Hamilton wurden von späteren Autoren in den 2000er Jahren erweitert, um einen Beweis für den Satz der differenzierbaren Kugeln zu liefern , der seit den 1960er Jahren eine wichtige Vermutung in der Riemannschen Geometrie war.

1995 erweiterte Hamilton Jeff Cheegers Kompaktheitstheorie für Riemannsche Mannigfaltigkeiten, um einen Kompaktheitssatz für Folgen von Ricci-Flüssen zu geben. Bei einem gegebenen Ricci-Fluss auf einer geschlossenen Mannigfaltigkeit mit einer endlichen Singularität entwickelte Hamilton Methoden zur Neuskalierung um die Singularität, um eine Folge von Ricci-Flüssen zu erzeugen; die Kompaktheitstheorie stellt die Existenz einer begrenzenden Ricci-Strömung sicher, die die kleinskalige Geometrie einer Ricci-Strömung um einen singulären Punkt modelliert. Hamilton benutzte seine Maximumprinzipien, um zu beweisen, dass für jede Ricci-Strömung auf einer geschlossenen dreidimensionalen Mannigfaltigkeit der kleinste Wert der Schnittkrümmung klein ist im Vergleich zu seinem größten Wert. Dies ist als Hamilton-Ivey-Schätzung bekannt; sie ist als Krümmungsungleichung äußerst bedeutsam, die ohne bedingte Annahmen über die Dreidimensionalität hinaus gilt. Eine wichtige Konsequenz ist, dass in drei Dimensionen eine begrenzende Ricci-Strömung, wie sie von der Kompaktheitstheorie erzeugt wird, automatisch eine nichtnegative Krümmung hat. Daher ist die Harnack-Ungleichung von Hamilton auf den begrenzenden Ricci-Fluss anwendbar. Diese Methoden wurden von Grigori Perelman erweitert , der aufgrund seines "noncollapsing theorem" in der Lage war, Hamiltons Kompaktheitstheorie in einer Reihe von erweiterten Zusammenhängen anzuwenden.

1997 konnte Hamilton die von ihm entwickelten Methoden kombinieren, um "Ricci-Fluss mit Chirurgie" für vierdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver isotroper Krümmung zu definieren. Für Ricci-Ströme mit Ausgangsdaten dieser Klasse konnte er die Möglichkeiten der kleinskaligen Geometrie um Punkte mit großer Krümmung klassifizieren und damit die Geometrie systematisch modifizieren, um den Ricci-Strömung fortzusetzen. Als Folge erhielt er ein Ergebnis, das die glatten vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten klassifiziert, die Riemannsche Metriken positiver isotroper Krümmung unterstützen. Shing-Tung Yau bezeichnete diesen Artikel als das "wichtigste Ereignis" in der geometrischen Analysis in der Zeit nach 1993 und markierte ihn als den Punkt, an dem klar wurde, dass Thurstons Geometrisierungsvermutung durch Ricci-Strömungsmethoden bewiesen werden könnte. Die wesentliche ausstehende Aufgabe bestand darin, eine analoge Klassifikation für die kleinskalige Geometrie um hochkrümmende Punkte auf Ricci-Strömungen auf dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten ohne Krümmungseinschränkung durchzuführen; die Hamilton-Ivey-Krümmungsschätzung ist das Analogon zur Bedingung der positiven isotropen Krümmung. Dies wurde von Grigori Perelman in seinem berühmten "kanonischen Nachbarschaftssatz" gelöst . Aufbauend auf diesem Ergebnis modifiziert Perelman die Form von Hamiltons Operationsverfahren, um einen "Ricci-Fluss mit Chirurgie" zu definieren, wenn eine beliebige glatte Riemannsche Metrik auf einer geschlossenen dreidimensionalen Mannigfaltigkeit gegeben ist. Dies führte 2003 zur Auflösung der Geometrisierungsvermutung.

Wichtige Veröffentlichungen

Die Sammlung

• Gesammelte Aufsätze über Ricci Flow. Herausgegeben von HD Cao, B. Chow, SC Chu und ST Yau. Series in Geometry and Topology, 37. International Press, Somerville, MA, 2003. viii+539 S. ISBN  1-57146-110-8

enthält , , , , , , und , zusätzlich zu fünf weiteren Artikeln von Hamilton und zehn Artikeln anderer Autoren.

Siehe auch

• Earle-Hamilton-Fixpunktsatz
• Yamabe-Fluss

Verweise

Externe Links

Medien im Zusammenhang mit Richard Hamilton (Mathematiker) bei Wikimedia Commons

• Richard Hamilton beim Mathematics Genealogy Project
• Richard Hamilton – Fakultätsbiografie auf der Homepage des Department of Mathematics der Columbia University
• Richard Hamilton – kurze Biografie auf der Homepage des Clay Mathematics Institute
• 1996 Veblen-Preis-Zitat
• Vortrag von Hamilton über Ricci Flow
• „Autobiographie von Richard S Hamilton“ . Die Shaw-Preis-Stiftung. 2011-09-28.