Halbzahl - Half-integer

In der Mathematik ist eine halbe Ganzzahl eine Zahl der Form

${\ displaystyle n + {\ tfrac {1} {2}}}$ ,

wobei eine ganze Zahl ist . Beispielsweise, ${\ displaystyle n}$

4 + 1 /. 2 , ⁷ / ₂ , - + 13 /. 2 8.5

sind alle halbe ganze Zahlen . Der Name "halbe Ganzzahl" ist möglicherweise irreführend, da die Menge möglicherweise missverstanden wird, um Zahlen wie 1 (die halbe Ganzzahl 2) zu enthalten. Ein Name wie "Ganzzahl plus Hälfte" mag genauer sein, aber obwohl dies nicht wörtlich wahr ist, ist "halbe Ganzzahl" der herkömmliche Begriff. Halbzahlen kommen in der Mathematik und in der Quantenmechanik häufig genug vor, dass ein bestimmter Begriff zweckmäßig ist.

Beachten Sie, dass eine Halbierung einer Ganzzahl nicht immer eine Halbzahl ergibt. Dies gilt nur für ungerade ganze Zahlen . Aus diesem Grund werden halbe Ganzzahlen manchmal auch als halbe ungerade Ganzzahlen bezeichnet . Halbzahlen sind eine Teilmenge der dyadischen Rationalitäten (Zahlen, die durch Teilen einer Ganzzahl durch eine Zweierpotenz erzeugt werden ).

Notation und algebraische Struktur

Die Menge aller Halbzahlen wird oft bezeichnet

${\ displaystyle \ mathbb {Z} + {\ tfrac {1} {2}} \ quad = \ quad \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} \ right) \ smallsetminus \ mathbb { Z} ~.}$

Die ganzen Zahlen und die halben ganzen Zahlen bilden zusammen eine Gruppe unter der Additionsoperation, die bezeichnet werden kann

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} ~.}$

Diese Zahlen bilden jedoch keinen Ring, da das Produkt zweier halber Ganzzahlen häufig keine halbe Ganzzahl ist. z.B ${\ displaystyle ~ {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {1} {2}} ~ = ~ {\ tfrac {1} {4}} ~ \ notin ~ {\ tfrac {1} { 2}} \ mathbb {Z} ~.}$

Verwendet

Kugelverpackung

Die dichteste Gitterpackung von Einheitskugeln in vier Dimensionen (als D ₄ -Gitter bezeichnet ) platziert an jedem Punkt eine Kugel, deren Koordinaten entweder alle ganzen Zahlen oder alle halben ganzen Zahlen sind. Diese Packung ist eng mit den Hurwitz-Ganzzahlen verwandt : Quaternionen, deren reale Koeffizienten entweder alle Ganzzahlen oder alle Halbzahlen sind.

Physik

In der Physik ergibt sich das Pauli-Ausschlussprinzip aus der Definition von Fermionen als Teilchen mit Spins , die halbe ganze Zahlen sind.

Die Energieniveaus des Quantenharmonischen Oszillators treten bei halben ganzen Zahlen auf und daher ist seine niedrigste Energie nicht Null.

Kugelvolumen

Obwohl die Fakultätsfunktion nur für ganzzahlige Argumente definiert ist, kann sie mit der Gammafunktion auf gebrochene Argumente erweitert werden . Die Gammafunktion für halbe ganze Zahlen ist ein wichtiger Teil der Formel für das Volumen einer n- dimensionalen Kugel mit dem Radius R ,

${\ displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}} + 1)}} R ^ {n} ~. }}$

Die Werte der Gammafunktion für halbe Ganzzahlen sind ganzzahlige Vielfache der Quadratwurzel von pi :

${\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} + n \ right) ~ = ~ {\ frac {\, (2n-1) !! \,} {2 ^ {n}}} \, {\ sqrt {\ pi \,}} ~ = ~ {\ frac {(2n)!} {\, 4 ^ {n} \, n! \,}} {\ sqrt {\ pi \,}} ~}$

wo n !! bezeichnet die doppelte Fakultät .

Verweise