Hardy-Littlewood-Ungleichheit - Hardy–Littlewood inequality

In der mathematischen Analyse , die Hardy-Littlewood Ungleichheit , benannt nach GH Hardy und John Edensor Littlewood , heißt es, dass , wenn f und g sind nicht negative messbare reelle Funktionen auf verschwindende Unendlichkeit , die auf definierten n - dimensionalen euklidischen Raum R ⁿ dann

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}( x)g^{*}(x)\,dx}$

wobei f ^* und g ^* die symmetrisch abnehmenden Umordnungen von f ( x ) bzw. g ( x ) sind.

Beweis

Von der Schichtkuchendarstellung haben wir:

${\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\infty}\chi_{f(x)>r}\,dr}$

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{\infty}\chi_{g(x)>s}\,ds}$

wobei bezeichnet die Indikatorfunktion der Teilmenge E _f gegeben durch ${\displaystyle \chi_{f(x)>r}}$

${\displaystyle E_{f}=\left\{x\in X:f(x)>r\right\}}$

Bezeichnet analog die Indikatorfunktion der Teilmenge E _g gegeben durch ${\displaystyle \chi_{g(x)>s}}$

${\displaystyle E_{g}=\left\{x\in X:g(x)>s\right\}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx=\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{0 }^{\infty}\int_{0}^{\infty}\chi_{f(x)>r}\chi_{g(x)>s}\,dr\,ds\,dx}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty}\int _{0}^{\infty}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{f(x)>r \cap g(x)>s}\,dx\,dr\,ds}$

${\displaystyle =\int_{0}^{\infty}\int _{0}^{\infty}\mu \left(\left\{f(x)>r\right\}\cap \left\ {g(x)>s\rechts\}\rechts)\,dr\,ds}$

${\displaystyle \leq \int _{0}^{\infty}\int _{0}^{\infty}\min \left(\mu\left(f(x)>r\right);\mu\ links(g(x)>s\rechts)\rechts)\,dr\,ds}$

${\displaystyle =\int_{0}^{\infty}\int _{0}^{\infty}\min \left(\mu\left(f^{*}(x)>r\right); \mu \left(g^{*}(x)>s\right)\right)\,dr\,ds}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty}\int _{0}^{\infty}\mu \left(\left\{f^{\ast }(x)>r\right\} \cap \left\{g^{\ast}(x)>s\right\}\right)\,dr\,ds}$

${\displaystyle =\int_{\mathbb{R}^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx}$

Eine Bewerbung

Sei die Zufallsvariable normalverteilt mit mittlerer und endlicher Varianz ungleich Null , dann kann mit der Hardy-Littlewood-Ungleichung bewiesen werden, dass für das reziproke Moment für den Absolutwert von is ${\displaystyle X}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle 0<\delta <1}$${\displaystyle \delta ^{\text{th}}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[{\frac {1}{\vert X\vert ^{\delta }}}\right]&\leq 2^{\frac {(1 -\delta)}{2}}{\frac{\Gamma\left({\frac{1-\delta}{2}}\right)}{\sigma^{\delta }{\sqrt {2\pi }}}}{\text{ unabhängig vom Wert von }}\mu\in\mathbb{R} .\end{aligned}}}$

Die Technik, die verwendet wird, um die obige Eigenschaft der Normalverteilung zu erhalten, kann für andere unimodale Verteilungen verwendet werden.

Siehe auch

• Umordnungsungleichung
• Tschebyschews Summenungleichung
• Lorentz-Raum

Verweise