Hardy-Littlewood-Maximalfunktion - Hardy–Littlewood maximal function

In der Mathematik ist der Hardy-Littlewood-Maximaloperator M ein signifikanter nichtlinearer Operator, der in der Realanalyse und der Oberschwingungsanalyse verwendet wird . Es nimmt eine lokal integrierbare Funktion f  : R ^d → C und gibt eine andere Funktion Mf zurück , die an jedem Punkt x ∈ R ^d den maximalen Durchschnittswert ergibt , den f für an diesem Punkt zentrierte Kugeln haben kann. Etwas präziser,

${\ displaystyle Mf (x) = \ sup _ {r> 0} {\ frac {1} {| B (x, r) |}} \ int _ {B (x, r)} | f (y) | \, dy}$

wobei B ( x , r ) die Kugel mit dem Radius r ist, die bei x zentriert ist , und | E | bezeichnet das d- dimensionale Lebesgue-Maß von E ⊂ R ^d .

Die Mittelwerte sind in x und r gemeinsam stetig , daher ist die maximale Funktion Mf , die das Supremum über r  > 0 ist, messbar . Es ist nicht offensichtlich, dass Mf fast überall endlich ist. Dies ist eine Folge der maximalen Ungleichung zwischen Hardy und Littlewood .

Maximale Ungleichheit zwischen Hardy und Littlewood

Dieser Satz von GH Hardy und JE Little besagt , dass M ist begrenzt als sublinear Operator vom L ^p ( R ^d ) sich für p > 1. Das heißt, wenn f ∈ L ^p ( R ^d ) dann die maximale Funktion Mf ist schwach L ¹ -gebunden und Mf ∈ L ^p ( R ^d ). Bevor wir den Satz genauer formulieren, bezeichne { f > t } der Einfachheit halber die Menge { x | f ( x )> t }. Jetzt haben wir:

Satz (Schwache Typschätzung). Für d  ≥ 1 gibt es eine Konstante C _d  > 0, so dass für alle λ> 0 und f  ∈  L ¹ ( R ^d ) gilt:

${\ displaystyle \ left | \ {Mf> \ lambda \} \ right | <{\ frac {C_ {d}} {\ lambda}} \ Vert f \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {d})}.}$

Mit der vorliegenden Hardy-Littlewood-Maximalungleichung ist die folgende Schätzung vom starken Typ eine unmittelbare Folge des Marcinkiewicz-Interpolationssatzes :

Satz (Starke Typschätzung). Für d  ≥ 1, 1 <  p  ≤ ∞ und f  ∈  L ^p ( R ^d ),

es gibt eine Konstante C _{p, d}  > 0, so dass

${\ displaystyle \ Vert Mf \ Vert _ {L ^ {p} (\ mathbf {R} ^ {d})} \ leq C_ {p, d} \ Vert f \ Vert _ {L ^ {p} (\ mathbf {R} ^ {d})}.}$

In der starken Typschätzung sind die besten Grenzen für C _{p, d} unbekannt. In der Folge verwendete Elias M. Stein jedoch die Calderón-Zygmund-Rotationsmethode, um Folgendes zu beweisen:

Satz (Dimensionsunabhängigkeit). Für 1 <  p  ≤ ∞ kann man C _p wählen _{, d} = C _p unabhängig von d .

Beweis

Obwohl es mehrere Beweise für diesen Satz gibt, wird im Folgenden ein gemeinsamer gegeben: Für p  = ∞ ist die Ungleichung trivial (da der Durchschnitt einer Funktion nicht größer als ihr wesentliches Supremum ist ). Für 1 <  p  <∞ werden wir zuerst die folgende Version des Vitali-Deckungs-Lemmas verwenden , um die Schätzung des schwachen Typs zu beweisen. (Siehe den Artikel für den Beweis des Lemmas.)

Lemma. Sei X ein trennbarer metrischer Raum und eine Familie offener Kugeln mit begrenztem Durchmesser. Dann hat eine zählbare Unterfamilie bestehend aus disjunkten Bällen, so dass ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} '}$

${\ displaystyle \ bigcup _ {B \ in {\ mathcal {F}}} B \ subset \ bigcup _ {B \ in {\ mathcal {F '}}} 5B}$

wobei 5 B ist B mit 5 - fachem Radius.

Wenn Mf ( x )> t ist, können wir per Definition eine Kugel B _{x finden,} die bei x so zentriert ist, dass

${\ displaystyle \ int _ {B_ {x}} | f | dy> t | B_ {x} |.}$

Durch das Lemma können wir unter solchen Kugeln eine Folge von disjunkten Kugeln B _{j finden,} so dass die Vereinigung von 5 B _j { Mf > t } abdeckt . Es folgt:

${\ displaystyle | \ {Mf> t \} | \ leq 5 ^ {d} \ sum _ {j} | B_ {j} | \ leq {5 ^ {d} \ über t} \ int | f | dy. }}$

Damit ist der Beweis für die Schätzung des schwachen Typs abgeschlossen. Daraus leiten wir als nächstes die L ^p -Grenzen ab. Definiere b durch b ( x ) = f ( x ) wenn | f ( x ) | > sonst t / 2 und 0. Durch die Schätzung des schwachen Typs, die auf b angewendet wird , haben wir:

${\ displaystyle | \ {Mf> t \} | \ leq {2C \ over t} \ int _ {| f |> {\ frac {t} {2}}} | f | dx,}$

mit C = 5 ^d . Dann

${\ displaystyle \ | Mf \ | _ {p} ^ {p} = \ int \ int _ {0} ^ {Mf (x)} pt ^ {p-1} dtdx = p \ int _ {0} ^ { \ infty} t ^ {p-1} | \ {Mf> t \} | dt}$

Nach der obigen Schätzung haben wir:

${\ displaystyle \ | Mf \ | _ {p} ^ {p} \ leq p \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {p-1} \ left ({2C \ over t} \ int _ { | f |> {\ frac {t} {2}}} | f | dx \ right) dt = 2Cp \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {| f |> {\ frac {t} {2}}} t ^ {p-2} | f | dxdt = C_ {p} \ | f \ | _ {p} ^ {p}}$

wobei die Konstante C _p nur von p und d abhängt . Damit ist der Beweis des Satzes abgeschlossen.

Beachten Sie, dass die Konstante im Beweis verbessert werden kann, indem die innere Regelmäßigkeit des Lebesgue-Maßes und die endliche Version des Vitali-Deckungs-Lemmas verwendet werden . Weitere Informationen zur Optimierung der Konstante finden Sie im Abschnitt Diskussion unten. ${\ displaystyle C = 5 ^ {d}}$${\ displaystyle 3 ^ {d}}$

Anwendungen

Einige Anwendungen der Hardy-Littlewood-Maximalungleichung umfassen den Nachweis der folgenden Ergebnisse:

• Lebesgue-Differenzierungssatz
• Rademacher Differenzierungssatz
• Fatous Satz über nicht tangentiale Konvergenz.
• Satz der gebrochenen Integration

Hier verwenden wir einen Standardtrick mit der Maximalfunktion, um einen schnellen Beweis für den Lebesgue-Differenzierungssatz zu liefern. (Denken Sie jedoch daran, dass wir im Beweis des Maximalsatzes das Vitali-Deckungs-Lemma verwendet haben.) Sei f ∈ L ¹ ( R ⁿ ) und

${\ displaystyle \ Omega f (x) = \ limsup _ {r \ bis 0} f_ {r} (x) - \ liminf _ {r \ bis 0} f_ {r} (x)}$

wo

${\ displaystyle f_ {r} (x) = {\ frac {1} {| B (x, r) |}} \ int _ {B (x, r)} f (y) dy.}$

Wir schreiben f = h + g, wobei h stetig ist und eine kompakte Unterstützung und g ∈ L ¹ ( R ⁿ ) mit einer Norm hat, die beliebig klein gemacht werden kann. Dann

${\ displaystyle \ Omega f \ leq \ Omega g + \ Omega h = \ Omega g}$

durch Kontinuität. Nun ist Ω g ≤ 2 Mg und so haben wir nach dem Theorem:

${\ displaystyle \ left | \ {\ Omega g> \ varepsilon \} \ right | \ leq {\ frac {2A} {\ varepsilon}} \ | g \ | _ {1}}$

Jetzt können wir Ω f = 0 fast überall lassen und schließen ; das heißt, existiert für fast alle x . Es bleibt zu zeigen, dass die Grenze tatsächlich gleich f ( x ) ist. Das ist aber einfach: Es ist bekannt, dass ( Annäherung an die Identität ) und damit fast überall eine Teilfolge besteht . Durch die Eindeutigkeit der Grenze ist f _r → f dann fast überall. ${\ displaystyle \ | g \ | _ {1} \ to 0}$${\ displaystyle \ lim _ {r \ bis 0} f_ {r} (x)}$${\ displaystyle \ | f_ {r} -f \ | _ {1} \ bis 0}$${\ displaystyle f_ {r_ {k}} \ to f}$

Diskussion

Es ist noch unbekannt, welche kleinsten Konstanten C _{p, d} und C _d in den obigen Ungleichungen liegen. Ein Ergebnis von Elias Stein über sphärische Maximalfunktionen kann jedoch verwendet werden, um zu zeigen, dass  wir für 1 <  p <∞ die Abhängigkeit von C _{p, d} von der Dimension entfernen können, dh C _{p, d}  =  C _p für eine Konstante C _p  > 0 nur abhängig von p . Es ist nicht bekannt, ob es eine von der Dimension unabhängige schwache Grenze gibt.

Es gibt mehrere gängige Varianten des Hardy-Littlewood-Maximaloperators, die die Mittelwerte über zentrierten Bällen durch Mittelwerte über verschiedene Gruppen von Sätzen ersetzen. Zum Beispiel kann man den nicht zentrierten HL-Maximaloperator definieren (unter Verwendung der Notation von Stein-Shakarchi).

${\ displaystyle f ^ {*} (x) = \ sup _ {x \ in B_ {x}} {\ frac {1} {| B_ {x} |}} \ int _ {B_ {x}} | f (y) | dy}$

wobei die Kugeln B _x lediglich x enthalten müssen, anstatt bei x zentriert zu sein. Es gibt auch den dyadischen HL-Maximaloperator

${\ displaystyle M _ {\ Delta} f (x) = \ sup _ {x \ in Q_ {x}} {\ frac {1} {| Q_ {x} |}} \ int _ {Q_ {x}} | f (y) | dy}$

wobei Q _x über alle dyadischen Würfel reicht, die den Punkt x enthalten . Beide Operatoren erfüllen die maximale HL-Ungleichung.

Verweise

• John B. Garnett , Begrenzte analytische Funktionen . Springer-Verlag, 2006
• Antonios D. Melas, Die beste Konstante für die zentrierte Hardy-Littlewood-Maximalungleichung , Annals of Mathematics, 157 (2003), 647–688
• Rami Shakarchi & Elias M. Stein , Princeton Vorlesungen in Analyse III: Reale Analyse . Princeton University Press, 2005
• Elias M. Stein, Maximale Funktionen: sphärische Mittel , Proc. Natl. Acad. Sci. USA 73 (1976), 2174–2175
• Elias M. Stein, Singuläre Integrale und Differenzierbarkeitseigenschaften von Funktionen . Princeton University Press, 1971
• Gerald Teschl , Themen der Real- und Funktionsanalyse (Vorlesungsunterlagen)