Geschichte der Trennungsaxiome - History of the separation axioms

Trennungsaxiome
in topologischen Räumen
Kolmogorov- Klassifizierung
T 0  (Kolmogorov)
T 1  (Fréchet)
T 2  (Hausdorff)
T 2 ½ (Urysohn)
komplett T 2  (komplett Hausdorff)
T 3  (regulärer Hausdorff)
T 3½ (Tychonoff)
T 4  (normales Hausdorff)
T 5  (ganz normales
 Hausdorff)
T 6  (ganz normal
 Hausdorff)

Die Geschichte der Trennungsaxiome in der allgemeinen Topologie ist verworren, wobei viele Bedeutungen um dieselben Begriffe konkurrieren und viele Begriffe um dasselbe Konzept konkurrieren.

Ursprünge

Vor der aktuellen allgemeinen Definition des topologischen Raums wurden viele Definitionen angeboten, von denen einige (was wir heute als solche bezeichnen) einige Trennungsaxiome annahmen. Zum Beispiel entspricht die Definition von Felix Hausdorff im Jahr 1914 der modernen Definition plus dem Hausdorff-Trennungsaxiom .

Die Trennungsaxiome als Gruppe wurden für das Studium der Metrisabilität wichtig : die Frage, welchen topologischen Räumen die Struktur eines metrischen Raums gegeben werden kann . Metrische Räume erfüllen alle Trennungsaxiome; aber tatsächlich hilft das Studium von Räumen, die nur einigen Axiomen genügen , zum Konzept der vollständigen Metrisierbarkeit.

Die auf diese Weise zuerst gemeinsam untersuchten Trennungsaxiome waren die Axiome für zugängliche Räume , Hausdorff-Räume , reguläre Räume und normale Räume . Topologen haben diesen Raumklassen die Namen T 1 , T 2 , T 3 und T 4 zugewiesen . Später wurde dieses System der Numerierung erweitert umfasst T 0 , T 2 ½ , T 3 ½ (T oder π ), T 5 und T 6 .

Aber diese Sequenz hatte ihre Probleme. Die Idee sollte sein, dass jeder T i -Raum eine besondere Art von T j -Raum ist, wenn i  > j . Dies ist jedoch nicht unbedingt wahr, da die Definitionen variieren. Zum Beispiel muss ein regulärer Raum (genannt T 3 ) kein Hausdorff-Raum (genannt T 2 ) sein, zumindest nicht nach der einfachsten Definition von regulären Räumen.

Verschiedene Definitionen

Jeder Autor stimmte T 0 , T 1 und T 2 zu . Für die anderen Axiome konnten jedoch verschiedene Autoren deutlich unterschiedliche Definitionen verwenden, je nachdem, woran sie arbeiteten. Diese Unterschiede könnten entstehen, weil, wenn man davon ausgeht, dass ein topologischer Raum das T 1 -Axiom erfüllt, die verschiedenen Definitionen (in den meisten Fällen) äquivalent sind. Wenn man diese Annahme macht, sollte man also die einfachste Definition verwenden. Aber wenn man diese Annahme nicht machte, dann wäre die einfachste Definition möglicherweise nicht die richtige für das nützlichste Konzept; in jedem Fall würde es die (transitive) Folgerung von T i durch T j zerstören und (zum Beispiel) Nicht-Hausdorff-reguläre Räume erlauben.

Topologists auf dem metrisation Problem arbeiten im Allgemeinen tat annehmen T 1 ; schließlich sind alle metrischen Räume T 1 . Daher verwendeten sie die einfachsten Definitionen für T i . Dann benutzten sie für die Fälle, in denen sie T 1 nicht annahmen , Wörter ("regulär" und "normal") für die komplizierteren Definitionen, um sie den einfacheren zu kontrastieren. Dieser Ansatz wurde erst 1970 mit der Veröffentlichung von Counterexamples in Topology von Lynn A. Steen und J. Arthur Seebach, Jr. verwendet.

Im Gegensatz dazu gingen allgemeine Topologen unter der Leitung von John L. Kelley im Jahr 1955 normalerweise nicht von T 1 aus , so dass sie die Trennungsaxiome von Anfang an in der größten Allgemeinheit untersuchten. Sie verwendeten die komplizierteren Definitionen für T i , so dass sie immer eine schöne Eigenschaft in Bezug auf T i zu T j haben würden . Dann benutzten sie für die einfacheren Definitionen Wörter (wieder "normal" und "normal"). Man könnte sagen, dass beide Konventionen den "ursprünglichen" Bedeutungen folgen; die unterschiedlichen Bedeutungen sind für T 1 -Räume gleich, was der ursprüngliche Kontext war. Das Ergebnis war jedoch, dass verschiedene Autoren die verschiedenen Begriffe genau gegensätzlich verwendeten. Um die Verwirrung noch zu erhöhen, wird in der Literatur eine schöne Unterscheidung zwischen einem Axiom und dem Raum, der das Axiom erfüllt, beobachtet, so dass ein T 3 -Raum möglicherweise die Axiome T 3 und T 0 erfüllen muss (z. B. im Encyclopedic Dictionary of Mathematics , 2. Aufl.).

Seit 1970 werden die Begriffe der allgemeinen Topologen immer beliebter, auch in anderen Zweigen der Mathematik, wie der Analysis . (Daher verwenden wir ihre Begriffe in Wikipedia.) Aber die Verwendung ist immer noch nicht konsistent.

Vollständig Hausdorff, Urysohn und T 2 1 ⁄ 2 Leerzeichen

Hauptartikel: Komplett Hausdorff Raum

Steen und Seebach definieren einen Urysohn-Raum als "einen Raum mit einer Urysohn-Funktion für zwei beliebige Punkte". Willard nennt dies einen vollständig Hausdorff-Raum. Steen & Seebach definieren einen vollständig Hausdorff-Raum oder T 2 1 ⁄ 2 Raum als einen Raum, in dem alle zwei Punkte durch geschlossene Nachbarschaften getrennt sind, was Willard einen Urysohn-Raum oder T 2 1 ⁄ 2 Raum nennt . (Wikipedia folgt Willard.)

Siehe auch

Verweise

  • John L. Kelley ; Allgemeine Topologie ; ISBN  0-387-90125-6
  • Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( Dover Reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, HERR  0507446
  • Stephen Willard, General Topology , Addison-Wesley, 1970. Nachdruck von Dover Publications, New York, 2004. ISBN  0-486-43479-6 (Ausgabe von Dover).
  • Willard, Stephen (2004) [1970]. Allgemeine Topologie (Erste Aufl.). Mineola, NY : Dover-Veröffentlichungen . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .