von Neumann Kardinalauftrag - von Neumann cardinal assignment

Die von Neumann- Kardinalzuordnung ist eine Kardinalzuordnung , die Ordnungszahlen verwendet . Für einen gut bestellbaren Set U definieren wir seine Kardinalzahl die kleinste Ordnungszahl sein gleichmächtig zu U , mit der von Neumann Definition einer Ordnungszahl. Etwas präziser:

${\ displaystyle | U | = \ mathrm {card} (U) = \ inf \ {\ alpha \ in \ mathrm {ON} \ | \ \ alpha = _ {c} U \},}$

Dabei ist ON die Klasse der Ordnungszahlen. Diese Ordnungszahl wird auch als Anfangsordnungszahl des Kardinals bezeichnet.

Dass eine solche Ordnungszahl existiert und einzigartig ist, wird durch die Tatsache garantiert, dass U gut geordnet ist und dass die Klasse der Ordnungszahlen unter Verwendung des Axioms der Ersetzung gut geordnet ist . Mit dem vollen Axiom der Wahl ist jeder Satz gut ordentlich , so dass jeder Satz einen Kardinal hat; Wir ordnen die Kardinäle in der geerbten Reihenfolge der Ordnungszahlen. Es ist leicht festzustellen, dass dies mit der Bestellung über ≤ _c übereinstimmt . Dies ist eine gute Reihenfolge der Kardinalzahlen.

Anfangsordnungszahl eines Kardinals

Jeder Ordnungszahl ist ein Kardinal zugeordnet , seine Kardinalität, die durch einfaches Vergessen der Reihenfolge erhalten wird. Jeder gut geordnete Satz mit dieser Ordnungszahl als Auftragstyp hat dieselbe Kardinalität. Die kleinste Ordnungszahl mit einem bestimmten Kardinal als Kardinalität wird als Anfangsordnungszahl dieses Kardinals bezeichnet. Jede endliche Ordnungszahl ( natürliche Zahl ) ist initial, aber die meisten unendlichen Ordnungszahlen sind nicht initial. Das Axiom der Wahl entspricht der Aussage, dass jede Menge gut geordnet sein kann, dh dass jeder Kardinal eine anfängliche Ordnungszahl hat. In diesem Fall ist es traditionell die Kardinalzahl mit seinen anfänglichen Ordnungs zu identifizieren, und wir sagen , dass die anfänglichen Ordnungs sind ein Kardinal.

Die -te unendliche Anfangsordnungszahl wird geschrieben . Seine Kardinalität ist geschrieben (die -te Aleph-Zahl ). Zum Beispiel ist die Kardinalität von is , die auch die Kardinalität von ist , und (alle sind zählbare Ordnungszahlen). Wir identifizieren uns also mit , außer dass die Notation zum Schreiben von Kardinälen und zum Schreiben von Ordnungszahlen verwendet wird. Dies ist wichtig, da sich die Arithmetik für Kardinäle von der Arithmetik für Ordnungszahlen unterscheidet , z. B.  =  wohingegen  >  . Auch ist die kleinste unzählbare Ordnungs (um zu sehen , dass es existiert, betrachten die Menge der Äquivalenzklassen von Wohlordnungen der natürlichen Zahlen, die jeweils so gut Ordnung definiert eine zählbare Ordnungs und ist die Auftragsart dieses Satzes), ist die kleinste Ordnungszahl, deren Kardinalität größer ist als und so weiter und die Grenze für natürliche Zahlen ist (jede Grenze von Kardinälen ist ein Kardinal, also ist diese Grenze tatsächlich der erste Kardinal nach all dem ). ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ omega}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ omega ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {2}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha} ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ omega}}$${\ displaystyle \ omega _ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ omega _ {n}}$

Unendliche Anfangsordnungszahlen sind Grenzordnungszahlen. Die Verwendung der Ordnungsarithmetik impliziert , und 1 ≤ α <ω _β impliziert α  · ω _β = ω _β , und 2 ≤ α <ω _β impliziert α ^{ω _β} = ω _β . Unter Verwendung der Veblens Hierarchie , & bgr; & ne; 0 und α <& ohgr; _{& bgr;} bedeuten und & Ggr; _{& ohgr; & bgr;} = & ohgr; _{& bgr;} . In der Tat kann man weit darüber hinausgehen. Als Ordnungszahl ist eine unendliche Anfangsordnungszahl eine extrem starke Grenze. ${\ displaystyle \ alpha <\ omega _ {\ beta}}$${\ displaystyle \ alpha + \ omega _ {\ beta} = \ omega _ {\ beta}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} (\ omega _ {\ beta}) = \ omega _ {\ beta} \,}$

Siehe auch

• Aleph Nummer

Verweise

• YN Moschovakis Anmerkungen zur Mengenlehre (1994 Springer) p. 198