Äquivalenzklasse - Equivalence class

${\displaystyle u.}$

${\displaystyle S.}$

${\displaystyle S}$

${\displaystyle\,\sim\,,}$

${\displaystyle S/\sim.}$

Wenn die Menge eine Struktur hat (wie eine

${\displaystyle S}$

${\displaystyle \,\sim\,}$

Beispiele

• Wenn die Menge aller Autos ist und die

${\displaystyle X}$

${\displaystyle L\sim M}$

${\displaystyle L}$

${\displaystyle M}$

Definition und Notation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine

${\displaystyle X}$

${\displaystyle \,\sim\,}$

${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle a\sim a}$für alle (

${\displaystyle a\sim b}$

${\displaystyle b\sim c}$

${\displaystyle a\sim c}$

${\displaystyle a,b,c\in X}$

Die Äquivalenzklasse eines Elements wird oft bezeichnet oder und ist als die Menge definiert von Elementen , die auf verwandte werden durch  Das Wort „Klasse“ in dem Begriff „Äquivalenzklasse“ im allgemeinen als ein Synonym für „betrachtet werden kann

${\displaystyle a}$

${\displaystyle [a]}$

${\displaystyle [a]_{\sim},}$

${\displaystyle \{x\in X:a\sim x\}}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle \,\sim.}$

Die Menge aller Äquivalenzklassen in Bezug auf eine Äquivalenzrelation wird als bezeichnet und heißt

${\displaystyle X}$

${\displaystyle R}$

${\displaystyle x\mapsto [x]}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle X/R,}$

Jedes Element einer äquivalenten Klasse charakterisiert die Klasse und kann verwendet werden, um sie

${\displaystyle X/R}$

${\displaystyle X/R,}$

Manchmal gibt es einen Abschnitt, der "natürlicher" ist als die anderen. In diesem Fall werden die Repräsentanten kanonische Repräsentanten genannt . Zum Beispiel ist in der modularen Arithmetik für jede ganze Zahl m größer als 1 die Kongruenz modulo m eine Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen, für die zwei ganze Zahlen a und b äquivalent sind – in diesem Fall sagt man kongruent – wenn m dividiert dies ist bezeichnet Jede Klasse enthält eine eindeutige nicht negative ganze Zahl kleiner als und diese ganzen Zahlen sind die kanonischen Repräsentanten. ${\displaystyle ab;}$${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$${\displaystyle n,}$

Die Verwendung von Repräsentanten zur Darstellung von Klassen ermöglicht es, Klassen nicht explizit als Mengen zu betrachten. In diesem Fall wird die kanonische Surjektion, die ein Element seiner Klasse zuordnet, durch die Funktion ersetzt, die ein Element dem Repräsentanten seiner Klasse zuordnet. Im vorherigen Beispiel wird diese Funktion bezeichnet und erzeugt den Rest der

${\displaystyle a{\bmod {m}},}$

Eigenschaften

Jedes Element von ist Mitglied der Äquivalenzklasse Alle zwei Äquivalenzklassen und sind entweder gleich oder

${\displaystyle x}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle [x].}$

${\displaystyle [x]}$

${\displaystyle [y]}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle x\sim y}$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle y}$

Aus den Eigenschaften einer Äquivalenzrelation folgt, dass

$${\displaystyle x\sim y}$$

${\displaystyle [x]=[y].}$

Mit anderen Worten, wenn ist eine Äquivalenzrelation auf einer Menge und und sind zwei Elemente von dann sind diese Aussagen äquivalent: ${\displaystyle \,\sim\,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle x\sim y}$
• ${\displaystyle [x]=[y]}$
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}$

Grafische Darstellung

Graph einer Beispieläquivalenz mit 7 Klassen

Ein ungerichteter Graph kann auf jede in Verbindung gebracht werden symmetrische Beziehung auf einer Reihe , wo die Scheitelpunkte sind die Elemente und zwei Ecken und verbunden sind , wenn und nur wenn Unter diesen Graphen , die die Graphen der Äquivalenzbeziehungen; sie gekennzeichnet sind , wie die solche Graphen , dass die

${\displaystyle X,}$

${\displaystyle X,}$

${\displaystyle s}$

${\displaystyle t}$

${\displaystyle s\sim t.}$

Invarianten

Wenn eine Äquivalenzrelation auf und ist eine Eigenschaft von Elementen , so dass , wann immer wahr ist , wenn wahr ist, dann wird die Eigenschaft wird gesagt , ein sein

${\displaystyle \,\sim\,}$

${\displaystyle X,}$

${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle x\sim y,}$

${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle P(y)}$

${\displaystyle P}$

${\displaystyle\,\sim\,,}$

${\displaystyle \,\sim.}$

Ein häufiger Sonderfall tritt auf, wenn eine Funktion von zu einer anderen Menge ist ; if wann immer dann heißt

${\displaystyle f}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$

${\displaystyle x_{1}\sim x_{2},}$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle\,\sim\,,}$

${\displaystyle \,\sim.}$

${\displaystyle \,\sim\,}$

${\displaystyle \,\sim\,}$

${\displaystyle \,\sim\,}$

Jede Funktion selbst definiert eine Äquivalenzrelation, nach der genau dann die Äquivalenzklasse von ist die Menge aller Elemente, auf die abgebildet werden, dh die Klasse ist das

${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$

${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).}$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle f(x),}$

${\displaystyle [x]}$

${\displaystyle f(x).}$

${\displaystyle f.}$

Allgemeiner kann eine Funktion äquivalente Argumente (unter einer Äquivalenzrelation auf ) auf äquivalente Werte (unter einer Äquivalenzrelation auf ) abbilden . Eine solche Funktion ist ein

${\displaystyle \sim_{X}}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle \sim_{Y}}$

${\displaystyle Y}$

Quotientenraum in der Topologie

In der Topologie ist ein Quotientenraum ein topologischer Raum , der auf dem Satz von Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation auf einem topologischen Raum gebildet wird, wobei die Topologie des ursprünglichen Raums verwendet wird, um die Topologie auf dem Satz von Äquivalenzklassen zu erstellen.

In der abstrakten Algebra , Kongruenzrelationen auf dem darunterliegenden Satz einer Algebra erlauben die Algebra eine Algebra über die Äquivalenzklassen der Beziehung zu induzieren, eine gerufene Quotient Algebra . In der linearen Algebra ist ein Quotientenraum ein Vektorraum, der durch Nehmen einer Quotientengruppe gebildet wird , wobei der Quotientenhomomorphismus eine lineare Abbildung ist . Als Erweiterung kann der Begriff Quotientenraum in der abstrakten Algebra für Quotientenmodule , Quotientenringe , Quotientengruppen oder jede beliebige Quotientenalgebra verwendet werden. Die Verwendung des Begriffs für die allgemeineren Fälle kann jedoch ebenso oft analog zu den Bahnen einer Gruppenaktion erfolgen.

Die Bahnen einer Gruppenwirkung auf einer Menge können Quotientenraum der Aktion auf der Menge genannt werden, insbesondere dann, wenn die Bahnen der Gruppenwirkung die richtigen Nebenmengen einer Untergruppe einer Gruppe sind, die sich aus der Wirkung der Untergruppe auf ergeben die Gruppe durch linke Translationen bzw. die linken Nebenklassen als Orbits unter rechter Translation.

Eine normale Untergruppe einer topologischen Gruppe, die durch Translationshandlung auf die Gruppe einwirkt, ist ein Quotientenraum im Sinne von Topologie, abstrakter Algebra und Gruppenhandlungen gleichzeitig.

Obwohl der Begriff für den Satz von Äquivalenzklassen einer beliebigen Äquivalenzrelation verwendet werden kann, möglicherweise mit einer weiteren Struktur, besteht die Absicht der Verwendung des Begriffs im Allgemeinen darin, diese Art von Äquivalenzrelation auf einer Menge entweder mit einer Äquivalenzrelation zu vergleichen, die eine gewisse Struktur auf der Menge induziert von Äquivalenzklassen von einer gleichartigen Struktur auf oder zu den Bahnen einer Gruppenwirkung. Sowohl der Sinn einer durch eine Äquivalenzrelation erhaltenen Struktur als auch das Studium von

${\displaystyle X,}$

${\displaystyle X,}$

Siehe auch

• Äquivalenzpartitionierung , eine Methode zum Entwerfen von Testsätzen beim Softwaretesten basierend auf der Aufteilung der möglichen Programmeingaben in Äquivalenzklassen entsprechend dem Verhalten des Programms bei diesen Eingaben
• Homogener Raum , der Quotientenraum von Lie-Gruppen
• Partielle Äquivalenzrelation  – Mathematisches Konzept zum Vergleichen von Objekten
• Quotient durch eine Äquivalenzrelation
• Transversal (Kombinatorik)  – Eine Linie, die ein Liniensystem schneidet.

Anmerkungen

Verweise

• Avelsgaard, Carol (1989), Grundlagen für fortgeschrittene Mathematik , Scott Foresman, ISBN 0-673-38152-8
• Devlin, Keith (2004), Mengen, Funktionen und Logik: Eine Einführung in die abstrakte Mathematik (3. Aufl.), Chapman & Hall/ CRC Press, ISBN 978-1-58488-449-1
• Maddox, Randall B. (2002), Mathematisches Denken und Schreiben , Harcourt/Academic Press, ISBN 0-12-464976-9
• Wolf, Robert S. (1998), Beweis, Logik und Vermutung: Der Werkzeugkasten eines Mathematikers , Freeman, ISBN 978-0-7167-3050-7

Weiterlesen

• Sundstrom (2003), Mathematical Reasoning: Writing and Proof , Prentice-Hall
• Schmied; Eggen; St.Andre (2006), A Transition to Advanced Mathematics (6. Aufl.), Thomson (Brooks/Cole)
• Schumacher, Carol (1996), Kapitel Null: Grundbegriffe der abstrakten Mathematik , Addison-Wesley, ISBN 0-201-82653-4
• O'Leary (2003), Die Struktur des Beweises: Mit Logik und Mengenlehre , Prentice-Hall
• Lay (2001), Analysis mit Einführung in den Beweis , Prentice Hall
• Morash, Ronald P. (1987), Brücke zur abstrakten Mathematik , Random House, ISBN 0-394-35429-X
• Gilbert; Vanstone (2005), Eine Einführung in das mathematische Denken , Pearson Prentice-Hall
• Fletcher; Patty, Grundlagen der höheren Mathematik , PWS-Kent
• Iglewicz; Stoyle, Eine Einführung in das mathematische Denken , MacMillan
• D'Angelo; West (2000), Mathematisches Denken: Problemlösung und Beweise , Prentice Hall
• Cupillari , Die Schrauben und Muttern der Beweise , Wadsworth
• Bond, Einführung in die abstrakte Mathematik , Brooks/Cole
• Barnier; Feldman (2000), Einführung in die fortgeschrittene Mathematik , Prentice Hall
• Ash, Einführung in die abstrakte Mathematik , MAA

Externe Links

• Medien im Zusammenhang mit Äquivalenzklassen bei Wikimedia Commons