Sofort an - Instanton

Die dx ¹ ⊗σ ₃ Koeffizient eines BPST Instanton auf der (x ¹ , x ² ) -slice von R ⁴ , wo σ ₃ ist die dritte Pauli - Matrix (oben links). Der dx ² ⊗σ ₃ Koeffizient (oben rechts). Diese Koeffizienten bestimmen die Beschränkung des BPST-Instantons A mit g=2,ρ=1,z=0 auf diese Schicht. Die entsprechende Feldstärke zentriert um z=0 (unten links). Eine visuelle Darstellung der Feldstärke eines BPST-Instantons mit Zentrum z auf der Kompaktifizierung S ⁴ von R ⁴ (unten rechts). Das BPST-Instanton ist eine klassische Instanton-Lösung der Yang-Mills-Gleichungen auf R ⁴ .

Ein Instanton (oder Pseudoteilchen ) ist ein Begriff, der in der theoretischen und mathematischen Physik auftaucht . Ein Instanton ist eine klassische Lösung zur Bewegungsgleichungen mit einem endlichen , nicht-Null - Aktion , entweder in der Quantenmechanik oder in der Quantenfeldtheorie . Genauer gesagt ist es eine Lösung der Bewegungsgleichungen der klassischen Feldtheorie auf einer euklidischen Raumzeit .

In solchen Quantentheorien kann man sich Lösungen der Bewegungsgleichungen als kritische Punkte der Aktion vorstellen . Die kritischen Punkte der Aktion können lokale Maxima der Aktion, lokale Minima oder Sattelpunkte sein . Instantonen sind in der Quantenfeldtheorie wichtig, weil:

• sie erscheinen im Pfadintegral als führende Quantenkorrekturen des klassischen Verhaltens eines Systems, und
• sie können verwendet werden, um das Tunnelverhalten in verschiedenen Systemen wie einer Yang-Mills-Theorie zu studieren .

In Bezug auf die Dynamik erlauben Familien von Instantonen, die Instantonen, dh verschiedene kritische Punkte der Bewegungsgleichung, miteinander in Beziehung zu setzen. In der Physik sind Instantonen besonders wichtig, da angenommen wird, dass die Kondensation von Instantonen (und rauschinduzierten Anti-Instantonen) die Erklärung der rauschinduzierten chaotischen Phase ist, die als selbstorganisierte Kritikalität bekannt ist .

Mathematik

Mathematisch ist ein Yang-Mills-Instanton eine selbstduale oder anti-selbstduale Verbindung in einem Hauptbündel über einer vierdimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit , die in der nichtabelschen Eichtheorie die Rolle der physikalischen Raumzeit spielt . Instantons sind topologisch nichttriviale Lösungen von Yang-Mills-Gleichungen , die das Energiefunktional innerhalb ihres topologischen Typs absolut minimieren. Die ersten solchen Lösungen wurden im Fall des vierdimensionalen euklidischen Raums entdeckt, der zur vierdimensionalen Kugel kompaktiert wurde und sich als in der Raumzeit lokalisiert herausstellte, was zu den Namen Pseudoteilchen und Instanton führte .

Yang-Mills-Instantonen wurden in vielen Fällen explizit mit Hilfe der Twistor-Theorie konstruiert , die sie mit algebraischen Vektorbündeln auf algebraischen Flächen in Beziehung setzt , und über die ADHM-Konstruktion oder Hyperkähler-Reduktion (siehe Hyperkähler-Mannigfaltigkeit ), ein ausgeklügeltes Verfahren der linearen Algebra. Die bahnbrechende Arbeit von Simon Donaldson , für die er später die Fields-Medaille erhielt , verwendete den Modulraum von Instantonen über einer gegebenen vierdimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit als neue Invariante der Mannigfaltigkeit, die von ihrer differenzierbaren Struktur abhängt , und wendete ihn auf die Konstruktion an von homeomorphic aber nicht diffeomorph Vier Verteilern. Viele Methoden, die bei der Untersuchung von Instantonen entwickelt wurden, wurden auch auf Monopole angewendet . Denn magnetische Monopole entstehen als Lösungen einer Dimensionsreduktion der Yang-Mills-Gleichungen.

Quantenmechanik

Ein Instanton kann verwendet werden, um die Übergangswahrscheinlichkeit für das Tunneln eines quantenmechanischen Teilchens durch eine Potentialbarriere zu berechnen. Ein Beispiel für ein System mit Instanton- Effekt ist ein Teilchen in einem Doppel-Well-Potential . Im Gegensatz zu einem klassischen Teilchen besteht die nicht verschwindende Wahrscheinlichkeit, dass es einen Bereich potenzieller Energie überschreitet, der höher ist als seine eigene Energie.

Motivation, Instantons in Betracht zu ziehen

Betrachten Sie die Quantenmechanik einer Einzelteilchenbewegung innerhalb des Doppeltopfpotentials Die potentielle Energie nimmt ihren minimalen Wert bei an , und diese werden klassische Minima genannt, weil das Teilchen in der klassischen Mechanik dazu neigt, in einem von ihnen zu liegen. In der klassischen Mechanik gibt es zwei Zustände mit der niedrigsten Energie. ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}.}$${\displaystyle x=\pm 1}$

In der Quantenmechanik lösen wir die Schrödinger-Gleichung

${\displaystyle -{\hbar^{2} \over 2m}{\partial^{2} \over \partial x^{2}}\psi +V(x)\psi(x)=E\psi (x ),}$

die Energieeigenzustände zu identifizieren. Wenn wir dies tun, finden wir nur den eindeutigen Zustand mit der niedrigsten Energie anstelle von zwei Zuständen. Die Grundzustandswellenfunktion lokalisiert aufgrund der Quanteninterferenz oder des Quantentunnelns an beiden der klassischen Minima statt nur an einem von ihnen. ${\displaystyle x=\pm 1}$

Instantons sind das Werkzeug, um zu verstehen, warum dies innerhalb der semiklassischen Approximation der Pfadintegralformulierung in der euklidischen Zeit geschieht. Wir werden dies zuerst sehen, indem wir die WKB-Approximation verwenden, die die Wellenfunktion selbst näherungsweise berechnet, und dann Instantonen einführen, indem wir die Pfadintegralformulierung verwenden.

WKB-Näherung

Eine Möglichkeit, diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, ist die semiklassische WKB-Approximation , die einen kleinen Wert von voraussetzt. Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für das Teilchen lautet ${\displaystyle \hbar}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar^{2}}}\psi . }$

Wenn das Potential konstant wäre, wäre die Lösung eine ebene Welle, bis auf einen Proportionalitätsfaktor,

${\displaystyle \psi =\exp(-\mathrm{i}kx)\,}$

mit

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(EV)}}{\hbar}}.}$

Das heißt, wenn die Energie des Teilchens kleiner als die potentielle Energie ist, erhält man eine exponentiell abnehmende Funktion. Die zugehörige Tunnelamplitude ist proportional zu

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{\hbar}}\int _{a}^{b}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},}$

wobei a und b der Anfangs- und Endpunkt der Tunnelflugbahn sind.

Pfadintegralinterpretation über Instantonen

Alternativ ermöglicht die Verwendung von Pfadintegralen eine Instanton- Interpretation und das gleiche Ergebnis kann mit diesem Ansatz erhalten werden. Bei der Pfadintegralformulierung kann die Übergangsamplitude ausgedrückt werden als

${\displaystyle K(a,b;t)=\langle x=a|e^{-{\frac {i\mathbb {H} t}{\hbar}}}|x=b\rangle =\int d [x(t)]e^{\frac {iS[x(t)]}{\hbar}}.}$

Folgt man dem Prozess der Dochtrotation (analytische Fortsetzung) zur euklidischen Raumzeit ( ), erhält man ${\displaystyle it\rightarrow\tau}$

${\displaystyle K_{E}(a,b;\tau)=\langle x=a|e^{-{\frac {\mathbb{H}\tau }{\hbar}}}|x=b\rangle =\int d[x(\tau)]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau)]}{\hbar}}},}$

mit der euklidischen Aktion

${\displaystyle S_{E}=\int_{\tau_{a}}^{\tau_{b}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx }{d\tau }}\right)^{2}+V(x)\right)d\tau .}$

Die potentielle Energie ändert das Vorzeichen unter der Dochtrotation und die Minima verwandeln sich in Maxima, wodurch zwei "Hügel" maximaler Energie gezeigt werden. ${\displaystyle V(x)\rightarrow -V(x)}$${\displaystyle V(x)}$

Betrachten wir nun das lokale Minimum der euklidischen Aktion mit dem Doppelmuldenpotential und setzen wir nur der Einfachheit der Rechnung halber. Da wir wissen wollen, wie die beiden klassisch niedrigsten Energiezustände zusammenhängen, setzen wir und . Für und können wir die euklidische Aktion umschreiben als ${\displaystyle S_{E}}$${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle x=\pm 1}$${\displaystyle a=-1}$${\displaystyle b=1}$${\displaystyle a=-1}$${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau_{a}}^{\tau_{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau}-{ \sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau_{b}}d\tau {dx \ über d\tau }{\sqrt {V(x)}}}$

${\displaystyle \quad =\int_{\tau_{a}}^{\tau_{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau}-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int_{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).}$

${\displaystyle \quad \geq {2{\sqrt {2}} \over 3}.}$

Die obige Ungleichung wird durch die Lösung von mit der Bedingung und gesättigt . Es gibt solche Lösungen, und die Lösung nimmt die einfache Form an, wenn und . Die explizite Formel für die Instantonlösung ist gegeben durch ${\displaystyle {dx\overd\tau}={\sqrt {2V(x)}}}$${\displaystyle x(\tau_{a})=-1}$${\displaystyle x(\tau_{b})=1}$${\displaystyle \tau_{a}=-\infty}$${\displaystyle \tau_{b}=\infty}$

${\displaystyle x(\tau)=\tanh\left({1 \over {\sqrt {2}}}(\tau -\tau_{0})\right).}$

Hier ist eine willkürliche Konstante. Da diese Lösung augenblicklich von einem klassischen Vakuum zu einem anderen klassischen Vakuum springt , wird sie Instanton genannt. ${\displaystyle \tau _{0}}$${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \tau =\tau _{0}}$

Explizite Formel für Double-Well-Potential

Die explizite Formel für die Eigenenergien der Schrödinger-Gleichung mit Doppeltopfpotential wurde von Müller-Kirsten mit Ableitung sowohl durch eine auf die Schrödinger-Gleichung angewendete Störungsmethode (plus Randbedingungen) als auch explizite Ableitung aus dem Wegintegral (und WKB ). Das Ergebnis ist folgendes. Definition der Parameter der Schrödinger-Gleichung und des Potentials durch die Gleichungen

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[EV(z)]y(z)=0,}$

und

${\displaystyle V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4} ,\;\;\;c^{2}>0,\;h^{4}>0,}$

die Eigenwerte für sind: ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E_{\pm}(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac { 1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}} -{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1 }{h^{16}}})}$

${\displaystyle \mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\ sqrt {\pi}}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c ^{2}}.}$

Offensichtlich sind diese Eigenwerte asymptotisch ( ) wie erwartet als Folge des harmonischen Anteils des Potentials entartet. ${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty}$

Ergebnisse

Ergebnisse, die aus dem mathematisch wohldefinierten euklidischen Wegintegral erhalten werden, können nach Wick zurückgedreht werden und liefern die gleichen physikalischen Ergebnisse, die durch geeignete Behandlung des (potentiell divergenten) Minkowski-Wegintegrals erhalten würden. Wie aus diesem Beispiel ersichtlich ist, entspricht die Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit des Teilchens zum Tunneln durch eine klassisch verbotene Region ( ) mit dem Minkowski-Pfadintegral der Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit zum Tunneln durch eine klassisch erlaubte Region (mit Potential − V ( X ) ) im euklidischen Wegintegral (bildlich gesprochen – im euklidischen Bild – entspricht dieser Übergang einem Teilchen, das von einem Hügel eines auf dem Kopf stehenden Doppeltopfpotentials auf den anderen Hügel rollt). Diese klassische Lösung der euklidischen Bewegungsgleichungen wird oft "Knicklösung" genannt und ist ein Beispiel für ein Instanton . In diesem Beispiel verwandeln sich die beiden "Vakua" (dh Grundzustände) des Doppelwannenpotentials in der euklidischen Version des Problems in Hügel. ${\displaystyle V(x)}$

Somit lässt sich die Instantonenfeldlösung der (euklidischen, dh mit imaginärer Zeit) (1 + 1)-dimensionalen Feldtheorie – erste quantisierte quantenmechanische Beschreibung – als Tunneleffekt zwischen den beiden Vakua (Grundzustände – höher Zustände erfordern periodische Instantonen) des physikalischen (1-dimensionalen Raums + Echtzeit) Minkowski-Systems. Im Fall des geschriebenen Doppelwannenpotentials

${\displaystyle V(\phi)={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi^{2}}{m ^{2}}}\right)^{2}}$

der Instanton, dh Lösung von

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau^{2}}}=V'(\phi),}$

(dh mit Energie ), ist ${\displaystyle E_{cl}=0}$

${\displaystyle \phi_{c}(\tau)={\frac{m}{g}}\tanh\left[m(\tau -\tau_{0})\right],}$

wo ist die euklidische zeit. ${\displaystyle \tau =es}$

Beachten Sie, dass eine naive Störungstheorie um eines dieser beiden Vakuen allein (der Minkowskischen Beschreibung) niemals diesen nicht störenden Tunneleffekt zeigen würde , der das Bild der Vakuumstruktur dieses quantenmechanischen Systems dramatisch verändert. Tatsächlich muss die naive Störungstheorie durch Randbedingungen ergänzt werden, und diese liefern den nicht-störenden Effekt, wie aus obiger expliziter Formel und analogen Berechnungen für andere Potentiale wie ein Kosinuspotential (vgl. Mathieu-Funktion ) oder andere periodische Potentiale hervorgeht (vgl. zB Lamé-Funktion und Kugelwellenfunktion ) und unabhängig davon, ob man die Schrödinger-Gleichung oder das Wegintegral verwendet .

Daher kann der perturbative Ansatz die Vakuumstruktur eines physikalischen Systems möglicherweise nicht vollständig beschreiben. Dies kann wichtige Konsequenzen haben, zum Beispiel in der Theorie der "Axionen", wo die nicht-trivialen QCD-Vakuumeffekte (wie die Instantonen ) die Peccei-Quinn-Symmetrie explizit verderben und masselose Nambu-Goldstone-Bosonen in massive Pseudo-Nambu-Goldstone -Bosonen verwandeln diejenigen .

Periodische Instantons

In der eindimensionalen Feldtheorie oder Quantenmechanik definiert man als ``Instanton´´ eine Feldkonfiguration, die eine Lösung der klassischen (Newton-ähnlichen) Bewegungsgleichung mit euklidischer Zeit und endlicher euklidischer Wirkung ist. Im Kontext der Solitonentheorie wird die entsprechende Lösung als Knick bezeichnet . Aufgrund ihrer Analogie zum Verhalten klassischer Teilchen werden solche Konfigurationen oder Lösungen sowie andere zusammenfassend als Pseudoteilchen oder pseudoklassische Konfigurationen bezeichnet. Die ``Instanton´´ (Knick)-Lösung wird von einer anderen Lösung begleitet, die als ``Anti-Instanton´´ (Anti-Knick) bekannt ist, und Instanton und Anti-Instanton werden durch ``topologische Ladungen´´ +1 und −1 . unterschieden jeweils, haben aber die gleiche euklidische Wirkung.

``Periodische Instantonen´´ sind eine Verallgemeinerung von Instantonen. In expliziter Form sind sie durch Jacobi-Elliptische Funktionen ausdrückbar, die periodische Funktionen sind (effektiv Verallgemeinerungen trigonometrischer Funktionen). Im Grenzbereich der unendlichen Zeit reduzieren sich diese periodischen Instantonen – häufig auch als ``Bounces´´, ``Bubbles´´ oder dergleichen bekannt - zu Instantonen.

Die Stabilität dieser pseudoklassischen Konfigurationen kann untersucht werden, indem die Lagrange-Funktion erweitert wird, die die Theorie um die Pseudoteilchenkonfiguration definiert und dann die Gleichung der kleinen Fluktuationen um sie herum untersucht. Für alle Versionen von quartischen Potentialen (Doppelwanne, invertierte Doppelwanne) und periodischen (Mathieu) Potentialen wurden diese Gleichungen als Lamé-Gleichungen entdeckt, siehe Lamé-Funktionen . Die Eigenwerte dieser Gleichungen sind bekannt und erlauben bei Instabilität die Berechnung von Abklingraten durch Auswertung des Wegintegrals.

Instantonen in der Reaktionsgeschwindigkeitstheorie

Im Kontext der Reaktionsgeschwindigkeitstheorie werden periodische Instantonen verwendet, um die Tunnelgeschwindigkeit von Atomen in chemischen Reaktionen zu berechnen. Der Verlauf einer chemischen Reaktion kann als Bewegung von Pseudoteilchen auf einer hochdimensionalen Potentialenergieoberfläche (PES) beschrieben werden. Die thermische Geschwindigkeitskonstante kann dann auf den Imaginärteil der freien Energie bezogen werden durch ${\displaystyle k}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle k(\beta)=-{\frac{2}{\hbar}}{\text{Im}}\text{F} ={\frac{2}{\beta\hbar}}{\text {Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac{2}{\hbar\beta}}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{ {\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}}$

wobei ist die kanonische Partitionsfunktion, die berechnet wird, indem die Spur des Boltzmann-Operators in der Positionsdarstellung genommen wird. ${\displaystyle Z_{k}}$

${\displaystyle Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat{H}}})=\int d\mathbf{x}\left\langle\mathbf{x}\ left|e^{-\beta {\hat{H}}}\right|\mathbf{x} \right\rangle}$

Unter Verwendung einer Dochtrotation und Identifizieren der euklidischen Zeit mit Eins erhält man eine Wegintegraldarstellung für die Verteilungsfunktion in massegewichteten Koordinaten ${\displaystyle \hbar\beta=1/(k_{b}T)}$

${\displaystyle Z_{k}=\oint {\mathcal{D}}\mathbf{x} (\tau)e^{-S_{E}[\mathbf{x} (\tau)]/\hbar}, \ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar}\left({\frac {\dot {\mathbf{x}}}{2}}^{2}+V(\ mathbf {x} (\tau))\right)d\tau}$

Das Wegintegral wird dann über eine steilste Abstiegsintegration angenähert, die nur die Beiträge der klassischen Lösungen und quadratische Fluktuationen um sie herum berücksichtigt. Dies ergibt für den Geschwindigkeitskonstantenausdruck in massegewichteten Koordinaten

${\displaystyle k(\beta)={\frac{2}{\beta\hbar}}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial^{2} }{\partial\tau^{2}}}+\mathbf{V} ''(x_{\text{RS}}(\tau))\right]}{{\text{det}}\left[- {\frac {\partial^{2}}{\partial\tau^{2}}}+\mathbf{V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau))\right]}}\ rechts)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau)+S_{E}[x_{\ text{RS}}(\tau)]}{\hbar}}\right)}}$

wobei ein periodisches Instanton und die triviale Lösung des ruhenden Pseudoteilchens ist, die die Konfiguration des Reaktantenzustands darstellt. ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{Inst}}}$${\displaystyle \mathbf{x} _{\text{RS}}}$

Invertierte Double-Well-Formel

Für das Doppelwannenpotential lassen sich die Eigenwerte für das invertierte Doppelwannenpotential ableiten. In diesem Fall sind die Eigenwerte jedoch komplex. Definieren von Parametern durch die Gleichungen

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[EV(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},}$

die Eigenwerte nach Müller-Kirsten sind, für ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...,}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{ 2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{ h^{16}}})\pm i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2} }{(2\pi)^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

Der Imaginärteil dieses Ausdrucks stimmt mit dem bekannten Ergebnis von Bender und Wu überein. In ihrer Notation${\displaystyle \hbar=1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .}$

Quantenfeldtheorie

Hypersphäre ${\displaystyle S^{3}}$
Stereografische Projektion der Hypersphäre Parallelen (rot), Meridiane (blau) und Hypermeridiane (grün).

Beim Studium der Quantenfeldtheorie (QFT) kann die Vakuumstruktur einer Theorie die Aufmerksamkeit auf Instantonen lenken. Wie ein quantenmechanisches System mit Doppelwanne veranschaulicht, ist ein naives Vakuum möglicherweise nicht das wahre Vakuum einer Feldtheorie. Darüber hinaus kann das wahre Vakuum einer Feldtheorie eine "Überlappung" mehrerer topologisch inäquivalenter Sektoren sein, sogenanntes " topologisches Vakuum ".

Ein gut verstandenes und anschauliches Beispiel für einen Instanton und seine Interpretation findet sich im Kontext einer QFT mit einer nicht-abelschen Eichgruppe , einer Yang-Mills-Theorie . Für eine Yang-Mills-Theorie können diese inäquivalenten Sektoren (in einer geeigneten Eichung) durch die dritte Homotopiegruppe von SU(2) (deren Gruppenmannigfaltigkeit die 3-Sphäre ist ) klassifiziert werden . Ein bestimmtes topologisches Vakuum (ein "Sektor" des wahren Vakuums) wird durch eine unveränderte Transformation , den Pontryagin-Index, gekennzeichnet . Da es sich bei der dritten Homotopiegruppe von um die Menge der ganzen Zahlen handelt , ${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle \pi_{3}}$${\displaystyle (S^{3})=}$${\displaystyle \mathbb{Z}\,}$

es gibt unendlich viele topologisch inäquivalente Vakua, bezeichnet mit , wobei ihr entsprechender Pontryagin-Index ist. Ein Instanton ist eine Feldkonfiguration, die die klassischen Bewegungsgleichungen in der euklidischen Raumzeit erfüllt und als Tunneleffekt zwischen diesen verschiedenen topologischen Vakua interpretiert wird. Er wird wiederum durch eine ganze Zahl, seinen Pontryagin-Index, gekennzeichnet . Man kann sich ein Instanton mit Index vorstellen , um das Tunneln zwischen topologischen Vakua und zu quantifizieren . Wenn Q = 1 ist, wird die Konfiguration nach ihren Entdeckern Alexander Belavin , Alexander Polyakov , Albert S. Schwarz und Yu BPST Instanton genannt . S. Tyupkin . Das wahre Vakuum der Theorie wird durch ein "Winkel"-Theta gekennzeichnet und ist eine Überlappung der topologischen Sektoren: ${\displaystyle |N\rangle}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle |N\rangle}$${\displaystyle |N+Q\rangle}$

${\displaystyle |\theta\rangle =\sum _{N=-\infty}^{N=+\infty}e^{i\theta N}|N\rangle.}$

Gerard 't Hooft führte die feldtheoretische Berechnung der Effekte des BPST-Instantons erstmals in einer an Fermionen gekoppelten Theorie in [1] durch . Er zeigte, dass Nullmoden der Dirac-Gleichung im Instanton-Hintergrund zu einer nicht-störungsfreien Multi-Fermion-Wechselwirkung in der niederenergetischen Effektivwirkung führen.

Yang-Mills-Theorie

Die klassische Yang-Mills-Wirkung auf ein Hauptbündel mit Strukturgruppe G , Basis M , Verbindung A und Krümmung (Yang-Mills-Feldtensor) F ist

${\displaystyle S_{YM}=\int_{M}\left|F\right|^{2}d\mathrm {vol}_{M},}$

wo ist das Volumenformular auf . Wenn das innere Produkt an , die Lie-Algebra von in der Werte annimmt, durch die Killing-Form an gegeben ist , dann kann dies als bezeichnet werden , da ${\displaystyle d\mathrm {vol} _{M}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \int _{M}\mathrm {Tr} (F\keil *F)}$

${\displaystyle F\wedge *F=\langle F,F\rangle d\mathrm {vol} _{M}.}$

Im Fall der Eichgruppe U(1) ist F beispielsweise der elektromagnetische Feldtensor . Aus dem Prinzip der stationären Wirkung folgen die Yang-Mills-Gleichungen. Sie sind

${\displaystyle \mathrm{d} F=0,\quad\mathrm{d} {*F}=0.}$

Die erste davon ist eine Identität, weil d F = d ² A = 0, die zweite ist jedoch eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Verbindung A , und wenn der Minkowski-Stromvektor nicht verschwindet, die Null auf der rechten Seite. der zweiten Gleichung wird durch ersetzt . Beachten Sie jedoch, wie ähnlich diese Gleichungen sind; sie unterscheiden sich durch einen Hodge-Stern . Also eine Lösung der einfacheren (nichtlinearen) Gleichung erster Ordnung ${\displaystyle\mathbf{J}}$

${\displaystyle {*F}=\pm F\,}$

ist automatisch auch eine Lösung der Yang-Mills-Gleichung. Diese Vereinfachung erfolgt bei 4 Mannigfaltigkeiten mit : also bei 2-Formen. Solche Lösungen gibt es normalerweise, obwohl ihr genauer Charakter von der Dimension und Topologie des Basisraums M, des Hauptbündels P und der Eichgruppe G abhängt. ${\displaystyle s=1}$${\displaystyle *^{2}=+1}$

In nichtabelschen Yang-Mills-Theorien und wobei D die äußere kovariante Ableitung ist . Darüber hinaus ist die Bianchi-Identität${\displaystyle DF=0}$${\displaystyle D*F=0}$

${\displaystyle DF=dF+A\Wedge FF\Wedge A=d(dA+A\Wedge A)+A\Wedge (dA+A\Wedge A)-(dA+A\Wedge A)\Wedge A=0 }$

ist befriedigt.

In der Quantenfeldtheorie ist ein Instanton eine topologisch nichttriviale Feldkonfiguration im vierdimensionalen euklidischen Raum (betrachtet als die Wick-Rotation der Minkowski-Raumzeit ). Insbesondere bezieht es sich auf ein Yang-Mills- Eichfeld A, das sich der reinen Eichung im räumlichen Unendlichen nähert . Dies bedeutet die Feldstärke

${\displaystyle\mathbf{F} =d\mathbf{A} +\mathbf{A} \wedge\mathbf{A}}$

verschwindet im Unendlichen. Der Name Instanton leitet sich daraus ab, dass diese Felder räumlich und (euklidisch) lokalisiert sind – also zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Der Fall von instantons auf dem zweidimensionalen Raum kann einfacher sein , sichtbar zu machen , weil es den einfachsten Fall der Lehre zugibt Gruppe , nämlich U (1), die eine ist abelschen Gruppe . In diesem Fall kann man sich das Feld A einfach als Vektorfeld vorstellen . Ein Instanton ist eine Konfiguration, bei der beispielsweise die Pfeile von einem zentralen Punkt weg zeigen (dh ein "Igel"-Zustand). In euklidischen vier Dimensionen , sind abelian instantons unmöglich. ${\displaystyle \mathbb{R} ^{4}}$

Die Feldkonfiguration eines Instantons unterscheidet sich stark von der des Vakuums . Aus diesem Grund können Instantonen nicht mit Feynman-Diagrammen untersucht werden , die nur störende Effekte enthalten. Instantons sind grundsätzlich nicht störend .

Die Yang-Mills-Energie ist gegeben durch

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

wobei ∗ das Hodge-Dual ist . Wenn wir darauf bestehen, dass die Lösungen der Yang-Mills-Gleichungen endliche Energie haben , dann muss die Krümmung der Lösung im Unendlichen (als Grenze genommen ) Null sein. Dies bedeutet, dass die Chern-Simons- Invariante am 3-Raum-Rand definiert werden kann. Dies ist über den Satz von Stokes äquivalent zu der Berechnung des Integrals

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ].}$

Dies ist eine Homotopieinvariante und sagt uns, zu welcher Homotopieklasse der Instanton gehört.

Da das Integral eines nichtnegativen Integranden immer nichtnegativ ist,

${\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [(*\mathbf {F} +e^{-i\ theta }\mathbf {F} )\keil (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname { Tr} [*\mathbf{F}\keil\mathbf{F} +\cos\theta\mathbf{F}\keil\mathbf{F}]}$

für alle echten . Das heißt also

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq { \frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|.}$

Wenn diese Grenze gesättigt ist, ist die Lösung ein BPS- Zustand. Für solche Zustände ist je nach Vorzeichen der Homotopieinvariante entweder ∗ F = F oder ∗ F = − F .

Im Standardmodell sind Instantonen sowohl im elektroschwachen Sektor als auch im chromodynamischen Sektor vorhanden. Instanton-Effekte sind wichtig für das Verständnis der Kondensatbildung im Vakuum der Quantenchromodynamik (QCD) und für die Erklärung der Masse des sogenannten 'Eta-Prime-Teilchens', eines Goldstone-Bosons , das durch die axiale Stromanomalie von QCD. Beachten Sie, dass es manchmal auch ein entsprechendes Soliton in einer Theorie mit einer zusätzlichen Raumdimension gibt. Neuere Forschungen zu Instantonen verbinden sie mit Themen wie D-Branen und Schwarzen Löchern und natürlich mit der Vakuumstruktur von QCD. In orientierten Stringtheorien ist beispielsweise eine Dp-Brane ein Eichtheorie-Instanton in der Weltvolumen ( p  + 5)-dimensionalen U ( N  )-Eichtheorie auf einem Stapel von N D( p + 4)-Brane.

Verschiedene Anzahl von Dimensionen

Instantonen spielen eine zentrale Rolle in der nichtperturbativen Dynamik von Eichtheorien. Die Art der physikalischen Anregung, die zu einem Instanton führt, hängt von der Anzahl der Dimensionen der Raumzeit ab, aber überraschenderweise ist der Formalismus für den Umgang mit diesen Instantonen relativ dimensionsunabhängig.

In 4-dimensionalen Eichtheorien sind Instantonen, wie im vorherigen Abschnitt beschrieben, Eichbündel mit einer nichttrivialen Vier-Form- Merkmalsklasse . Ist die Eichsymmetrie eine unitäre Gruppe oder spezielle unitäre Gruppe, dann ist diese Merkmalsklasse die zweite Chern-Klasse , die bei der Eichgruppe U(1) verschwindet. Wenn die Eichsymmetrie eine orthogonale Gruppe ist, dann ist diese Klasse die erste Pontrjagin-Klasse .

In 3-dimensionalen Eichtheorien mit Higgs Feldern , ‚t Hooft-Polyakov Monopole spielen die Rolle von instantons. In seinem 1977 Papier Quark Confinement und Topologie von Eichgruppen , Alexander Polyakov gezeigt , dass Instanton Effekte in 3-dimensionalen QED gekoppelt mit einem skalaren Feld führen zu einer Masse für das Photon .

In 2-dimensionalen abelschen Eichtheorien sind Weltblatt-Instantonen magnetische Wirbel . Sie sind für viele nicht-störende Effekte in der Stringtheorie verantwortlich und spielen eine zentrale Rolle bei der Spiegelsymmetrie .

In der eindimensionalen Quantenmechanik beschreiben Instantonen das Tunneln , das in der Störungstheorie unsichtbar ist.

4D supersymmetrische Eichtheorien

Supersymmetrische Eichtheorien gehorchen oft Nicht-Renormierungssätzen , die die zulässigen Arten von Quantenkorrekturen einschränken. Viele dieser Sätze gelten nur für Korrekturen, die in der Störungstheorie berechenbar sind, und so liefern Instantonen, die in der Störungstheorie nicht gesehen werden, die einzigen Korrekturen für diese Größen.

Feldtheoretische Techniken für Instanton-Berechnungen in supersymmetrischen Theorien wurden in den 1980er Jahren von mehreren Autoren ausführlich untersucht. Da Supersymmetrie die Aufhebung von fermionischen vs. bosonischen Nicht-Null-Moden im Instanton-Hintergrund garantiert, reduziert sich die aufwendige 't-Hooft-Berechnung des Instanton-Sattelpunkts auf eine Integration über Null-Moden.

In N  = 1 supersymmetrischen Eichtheorien können Instantonen das Superpotential modifizieren und manchmal das gesamte Vakuum aufheben . 1984 berechneten Ian Affleck , Michael Dine und Nathan Seiberg die Instanton-Korrekturen des Superpotentials in ihrer Arbeit Dynamical Supersymmetry Breaking in Supersymmetric QCD . Genauer gesagt konnten sie die Rechnung nur dann durchführen, wenn die Theorie einen Flavour chiraler Materie weniger enthält als die Anzahl der Farben in der speziellen unitären Eichgruppe, weil bei weniger Flavours eine ungebrochene nonabelsche Eichsymmetrie zu einer Infrarotdivergenz führt und bei mehr Geschmacksrichtungen ist der Beitrag gleich Null. Für diese spezielle Wahl chiraler Materie können die Vakuumerwartungswerte der skalaren Felder der Materie so gewählt werden, dass die Eichsymmetrie bei schwacher Kopplung vollständig gebrochen wird, was eine zuverlässige semiklassische Sattelpunktberechnung ermöglicht. Durch die Berücksichtigung von Störungen durch verschiedene Massenterme konnten sie das Superpotential in Anwesenheit einer beliebigen Anzahl von Farben und Geschmacksrichtungen berechnen, auch wenn die Theorie nicht mehr schwach gekoppelt ist.

In N  = 2 supersymmetrischen Eichtheorien erhält das Superpotential keine Quantenkorrekturen. Die Korrektur der Metrik des Modulraums von Vakua aus Instantonen wurde jedoch in einer Reihe von Arbeiten berechnet. Zuerst wurde die Ein-Instanton-Korrektur von Nathan Seiberg in Supersymmetry and Nonperturbative Beta Functions berechnet . Der vollständige Satz von Korrekturen für die SU(2)-Yang-Mills-Theorie wurde von Nathan Seiberg und Edward Witten in " Electric – Magnetic Dualität, Monopol-Kondensation, and Confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills Theory " berechnet , wobei a Thema, das heute als Seiberg-Witten-Theorie bekannt ist . Sie erweiterten ihre Berechnungen auf SU(2)-Eichtheorien mit fundamentaler Materie in Monopolen, Dualität und chiraler Symmetriebrechung in N=2 supersymmetrischer QCD . Diese Ergebnisse wurden später für verschiedene Eichgruppen und Stoffgehalte erweitert und in den meisten Fällen auch die direkte eichtheoretische Ableitung erhalten. Für Eichtheorien mit Eichgruppe U(N) wurde die Seiberg-Witten-Geometrie aus der Eichtheorie unter Verwendung von Nekrasov-Teilungsfunktionen im Jahr 2003 von Nikita Nekrasov und Andrei Okounkov und unabhängig von Hiraku Nakajima und Kota Yoshioka abgeleitet .

In N  = 4 supersymmetrischen Eichtheorien führen die Instantonen nicht zu Quantenkorrekturen für die Metrik auf dem Modulraum von vacua.

Siehe auch

• Instanton-Flüssigkeit
• Kaloron
• Sidney Coleman  – US-amerikanischer Physiker
• Holstein-Hering-Methode
• Gravitationsinstanton  – Vierdimensionale vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit, die die Vakuum-Einstein-Gleichungen erfüllt
• Semiklassische Übergangszustandstheorie
• Yang-Mills-Gleichungen
• Lehrentheorie (Mathematik)

Referenzen und Hinweise

Anmerkungen

Zitate

Allgemein

• Instantons in Gauge Theories , eine Zusammenstellung von Artikeln über Instantons, herausgegeben von Mikhail A. Shifman , doi : 10.1142/2281
• Solitons und Instantons , R. Rajaraman (Amsterdam: Nordholland, 1987), ISBN  0-444-87047-4
• Die Verwendung von Instantons von Sidney Coleman in Proc. Int. Schule für subnukleare Physik (Erice, 1977); und in Aspekte der Symmetrie p. 265, Sidney Coleman, Cambridge University Press, 1985, ISBN  0-521-31827-0 ; und in Instantons in Eichtheorien
• Solitonen, Instantons und Twistors . M. Dunajski, Oxford University Press. ISBN  978-0-19-857063-9 .
• The Geometry of Four-Manifolds , SK Donaldson, PB Kronheimer, Oxford University Press, 1990, ISBN  0-19-853553-8 .

Externe Links

• Die Wörterbuchdefinition von Instanton bei Wiktionary