Spiegelsymmetrie (Stringtheorie) - Mirror symmetry (string theory)

In der algebraischen Geometrie und der theoretischen Physik ist Spiegelsymmetrie eine Beziehung zwischen geometrischen Objekten, die als Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten bezeichnet werden . Der Begriff bezieht sich auf eine Situation, in der zwei Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten geometrisch sehr unterschiedlich aussehen, aber dennoch äquivalent sind, wenn sie als zusätzliche Dimensionen der Stringtheorie verwendet werden .

Frühe Fälle von Spiegelsymmetrie wurden von Physikern entdeckt. Mathematiker begannen sich um 1990 für diese Beziehung zu interessieren, als Philip Candelas , Xenia de la Ossa , Paul Green und Linda Parkes zeigten, dass sie als Werkzeug in der enumerativen Geometrie verwendet werden kann , einem Zweig der Mathematik, der sich mit dem Zählen von Lösungen für geometrische Fragen befasst . Candelas und seine Mitarbeiter zeigten, dass Spiegelsymmetrie verwendet werden kann, um rationale Kurven auf einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit zu zählen und damit ein seit langem bestehendes Problem zu lösen. Obwohl der ursprüngliche Ansatz zur Spiegelsymmetrie auf physikalischen Ideen beruhte, die mathematisch nicht genau verstanden wurden, wurden einige seiner mathematischen Vorhersagen seitdem rigoros bewiesen .

Heute ist die Spiegelsymmetrie ein wichtiges Forschungsthema in der reinen Mathematik , und Mathematiker arbeiten daran, ein mathematisches Verständnis der Beziehung basierend auf der Intuition der Physiker zu entwickeln. Spiegelsymmetrie ist auch ein grundlegendes Werkzeug für Berechnungen in der Stringtheorie und wurde verwendet, um Aspekte der Quantenfeldtheorie zu verstehen , dem Formalismus, den Physiker verwenden, um Elementarteilchen zu beschreiben . Zu den wichtigsten Ansätzen zur Spiegelsymmetrie zählen das homologische Spiegelsymmetrieprogramm von Maxim Kontsevich und die SYZ-Vermutung von Andrew Strominger , Shing-Tung Yau und Eric Zaslow .

Überblick

Strings und Kompaktifizierung

Die grundlegenden Objekte der Stringtheorie sind offene und geschlossene Strings .

In der Physik ist die Stringtheorie ein theoretischer Rahmen, bei dem die punktförmigen Teilchen der Teilchenphysik durch eindimensionale Objekte namens Strings ersetzt werden . Diese Saiten sehen aus wie kleine Segmente oder Schleifen einer gewöhnlichen Saite. Die Stringtheorie beschreibt, wie sich Strings durch den Raum ausbreiten und miteinander interagieren. Auf Entfernungsskalen, die größer als die Saitenskala sind, sieht eine Saite wie ein gewöhnliches Teilchen aus, wobei ihre Masse , Ladung und andere Eigenschaften durch den Schwingungszustand der Saite bestimmt werden. Die Aufspaltung und Rekombination von Strings entspricht der Partikelemission und -absorption, wodurch die Wechselwirkungen zwischen den Partikeln entstehen.

Es gibt bemerkenswerte Unterschiede zwischen der durch die Stringtheorie beschriebenen Welt und der Alltagswelt. Im Alltag gibt es drei bekannte Raumdimensionen (oben/unten, links/rechts und vorwärts/rückwärts) und eine Zeitdimension (später/früher). So sagt man in der Sprache der modernen Physik, dass die Raumzeit vierdimensional ist. Eine der Besonderheiten der Stringtheorie besteht darin, dass sie für ihre mathematische Konsistenz zusätzliche Dimensionen der Raumzeit benötigt . In der Superstring-Theorie , der Version der Theorie, die eine theoretische Idee namens Supersymmetrie beinhaltet , gibt es neben den vier, die aus der alltäglichen Erfahrung bekannt sind, sechs zusätzliche Dimensionen der Raumzeit.

Eines der Ziele der aktuellen Forschung in der Stringtheorie ist die Entwicklung von Modellen, in denen die Strings Teilchen darstellen, die in Experimenten der Hochenergiephysik beobachtet wurden. Damit ein solches Modell mit Beobachtungen konsistent ist, muss seine Raumzeit in den relevanten Entfernungsskalen vierdimensional sein, also muss nach Wegen gesucht werden, die zusätzlichen Dimensionen auf kleinere Skalen zu beschränken. In den meisten realistischen Modellen der Physik, die auf der Stringtheorie basieren, wird dies durch einen Prozess erreicht, der Kompaktifizierung genannt wird , bei dem angenommen wird, dass sich die zusätzlichen Dimensionen "zusammenschließen", um Kreise zu bilden. An der Grenze, wo diese zusammengerollten Dimensionen sehr klein werden, erhält man eine Theorie, in der die Raumzeit effektiv eine geringere Anzahl von Dimensionen hat. Eine Standardanalogie hierfür ist die Betrachtung eines mehrdimensionalen Objekts wie eines Gartenschlauchs. Betrachtet man den Schlauch aus ausreichender Entfernung, so scheint er nur eine Dimension zu haben, seine Länge. Wenn man sich dem Schlauch nähert, entdeckt man jedoch, dass er eine zweite Dimension enthält, seinen Umfang. Somit würde sich eine Ameise, die auf der Oberfläche des Schlauchs kriecht, in zwei Dimensionen bewegen.

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten

Ein Querschnitt einer quintischen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit

Die Kompaktifizierung kann verwendet werden, um Modelle zu konstruieren, in denen die Raumzeit effektiv vierdimensional ist. Doch nicht jede Art der Verdichtung der zusätzlichen Dimensionen führt zu einem Modell mit den richtigen Eigenschaften, um die Natur zu beschreiben. In einem brauchbaren Modell der Teilchenphysik müssen die kompakten Extradimensionen wie eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit geformt sein . Eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit ist ein spezieller Raum, der in Anwendungen der Stringtheorie typischerweise als sechsdimensional angesehen wird. Es ist nach den Mathematikern Eugenio Calabi und Shing-Tung Yau benannt .

Nachdem Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten in die Physik eingetreten waren, um zusätzliche Dimensionen zu verdichten, begannen viele Physiker, diese Mannigfaltigkeiten zu studieren. In den späten 1980er Jahren stellten Lance Dixon , Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa und Nick Warner fest, dass es angesichts einer solchen Kompaktifizierung der Stringtheorie nicht möglich ist, eine entsprechende Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit eindeutig zu rekonstruieren. Stattdessen können zwei verschiedene Versionen der Stringtheorie, die als Stringtheorie Typ IIA und Typ IIB bezeichnet werden, auf völlig unterschiedlichen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten verdichtet werden, wodurch dieselbe Physik entsteht. In dieser Situation werden die Mannigfaltigkeiten als Spiegelmannigfaltigkeiten bezeichnet, und die Beziehung zwischen den beiden physikalischen Theorien wird als Spiegelsymmetrie bezeichnet.

Die Spiegelsymmetriebeziehung ist ein besonderes Beispiel für das, was Physiker eine physikalische Dualität nennen . Im Allgemeinen bezieht sich der Begriff physikalische Dualität auf eine Situation, in der sich zwei scheinbar unterschiedliche physikalische Theorien auf nichttriviale Weise als gleichwertig erweisen. Wenn eine Theorie so transformiert werden kann, dass sie genauso aussieht wie eine andere Theorie, werden die beiden unter dieser Transformation als dual bezeichnet. Anders ausgedrückt sind die beiden Theorien mathematisch unterschiedliche Beschreibungen derselben Phänomene. Solche Dualitäten spielen in der modernen Physik, insbesondere in der Stringtheorie, eine wichtige Rolle.

Unabhängig davon, ob Calabi-Yau-Kompaktifizierungen der Stringtheorie eine korrekte Beschreibung der Natur liefern, hat die Existenz der Spiegeldualität zwischen verschiedenen Stringtheorien erhebliche mathematische Konsequenzen. Die in der Stringtheorie verwendeten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sind in der reinen Mathematik von Interesse , und die Spiegelsymmetrie ermöglicht es Mathematikern, Probleme in der enumerativen algebraischen Geometrie zu lösen , einem Zweig der Mathematik, der sich mit dem Zählen der Anzahl von Lösungen für geometrische Fragen befasst. Ein klassisches Problem der enumerativen Geometrie besteht darin, die rationalen Kurven auf einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit wie der oben dargestellten aufzuzählen . Durch Anwendung der Spiegelsymmetrie haben Mathematiker dieses Problem in ein äquivalentes Problem für den Spiegel Calabi-Yau übersetzt, das sich als einfacher zu lösen herausstellt.

In der Physik wird die Spiegelsymmetrie aus physikalischen Gründen gerechtfertigt. Mathematiker verlangen jedoch im Allgemeinen strenge Beweise , die keinen Appell an die physikalische Intuition erfordern. Aus mathematischer Sicht ist die oben beschriebene Version der Spiegelsymmetrie immer noch nur eine Vermutung, aber es gibt eine andere Version der Spiegelsymmetrie im Kontext der topologischen Stringtheorie , eine vereinfachte Version der Stringtheorie, die von Edward Witten eingeführt wurde , die von Mathematikern rigoros bewiesen. Im Kontext der topologischen Stringtheorie besagt die Spiegelsymmetrie, dass zwei Theorien, die als A-Modell und B-Modell bezeichnet werden, in dem Sinne äquivalent sind, dass eine Dualität zwischen ihnen besteht. Heute ist die Spiegelsymmetrie ein aktives Forschungsgebiet der Mathematik, und Mathematiker arbeiten daran, ein umfassenderes mathematisches Verständnis der Spiegelsymmetrie basierend auf der Intuition der Physiker zu entwickeln.

Geschichte

Die Idee der Spiegelsymmetrie lässt sich bis in die Mitte der 1980er Jahre zurückverfolgen, als festgestellt wurde, dass eine sich auf einem Radiuskreis ausbreitende Schnur in entsprechenden Einheiten physikalisch einer Schnur entspricht, die sich auf einem Radiuskreis ausbreitet . Dieses Phänomen ist heute als T-Dualität bekannt und steht in engem Zusammenhang mit der Spiegelsymmetrie. In einer Arbeit aus dem Jahr 1985 zeigten Philip Candelas , Gary Horowitz , Andrew Strominger und Edward Witten, dass man durch die Kompaktierung der Stringtheorie auf einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit eine Theorie erhält, die dem Standardmodell der Teilchenphysik in etwa ähnlich ist und auch eine Idee durchgängig enthält Supersymmetrie genannt. Im Anschluss an diese Entwicklung begannen viele Physiker, Calabi-Yau-Kompaktifizierungen zu studieren, in der Hoffnung, realistische Modelle der Teilchenphysik auf der Grundlage der Stringtheorie zu konstruieren. Cumrun Vafa und andere stellten fest, dass es mit einem solchen physikalischen Modell nicht möglich ist, eine entsprechende Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit eindeutig zu rekonstruieren. Stattdessen gibt es zwei Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten, die zu derselben Physik führen. $R$ $1/R$

Durch das Studium der Beziehung zwischen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten und bestimmten konformen Feldtheorien, die Gepner-Modelle genannt werden, fanden Brian Greene und Ronen Plesser nichttriviale Beispiele für die Spiegelbeziehung. Weitere Beweise für diese Beziehung lieferten die Arbeiten von Philip Candelas, Monika Lynker und Rolf Schimmrigk, die eine große Anzahl von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten mit dem Computer untersuchten und feststellten, dass sie in Spiegelpaaren vorkamen.

Mathematiker interessierten sich um 1990 für Spiegelsymmetrie, als die Physiker Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green und Linda Parkes zeigten, dass Spiegelsymmetrie verwendet werden kann, um Probleme in der Aufzählungsgeometrie zu lösen, die sich seit Jahrzehnten oder länger einer Lösung widersetzt hatten. Diese Ergebnisse wurden Mathematikern auf einer Konferenz am Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) in Berkeley, Kalifornien im Mai 1991 präsentiert. Während dieser Konferenz wurde festgestellt, dass eine der Zahlen, die Candelas für das Zählen rationaler Kurven berechnet hatte, mit der Zahl, die die norwegischen Mathematiker Geir Ellingsrud und Stein Arild Strømme mit angeblich strengeren Techniken erhalten haben. Viele Mathematiker auf der Konferenz gingen davon aus, dass Candelas' Arbeit einen Fehler enthielt, da sie nicht auf strengen mathematischen Argumenten beruhte. Nachdem sie ihre Lösung untersucht hatten, entdeckten Ellingsrud und Strømme jedoch einen Fehler in ihrem Computercode und erhielten beim Beheben des Codes eine Antwort, die mit der von Candelas und seinen Mitarbeitern übereinstimmte.

1990 führte Edward Witten die topologische Stringtheorie ein, eine vereinfachte Version der Stringtheorie, und Physiker zeigten, dass es eine Version der Spiegelsymmetrie für die topologische Stringtheorie gibt. Diese Aussage zur topologischen Stringtheorie wird in der mathematischen Literatur üblicherweise als Definition der Spiegelsymmetrie verstanden. In einer Rede auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1994 stellte der Mathematiker Maxim Kontsevich eine neue mathematische Vermutung vor, die auf der physikalischen Idee der Spiegelsymmetrie in der topologischen Stringtheorie basiert. Diese als homologische Spiegelsymmetrie bekannte Vermutung formalisiert Spiegelsymmetrie als Äquivalenz zweier mathematischer Strukturen: der abgeleiteten Kategorie der kohärenten Garben auf einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit und der Fukaya-Kategorie ihres Spiegels.

Ebenfalls um 1995 analysierte Kontsevich die Ergebnisse von Candelas, der eine allgemeine Formel für das Problem des Zählens rationaler Kurven auf einer Quintendrei gab , und formulierte diese Ergebnisse als präzise mathematische Vermutung um. 1996 veröffentlichte Alexander Givental ein Papier, das behauptete, diese Vermutung von Kontsevich zu beweisen. Anfangs fanden viele Mathematiker diese Arbeit schwer verständlich, sodass Zweifel an ihrer Richtigkeit bestanden. Anschließend veröffentlichten Bong Lian, Kefeng Liu und Shing-Tung Yau einen unabhängigen Beweis in einer Reihe von Artikeln. Trotz Kontroversen darüber, wer den ersten Beweis veröffentlicht hatte, werden diese Arbeiten heute kollektiv als mathematischer Beweis für die Ergebnisse angesehen, die ursprünglich von Physikern mit Spiegelsymmetrie erzielt wurden. Im Jahr 2000 lieferten Kentaro Hori und Cumrun Vafa einen weiteren physikalischen Beweis der Spiegelsymmetrie basierend auf der T-Dualität.

Die Arbeit an der Spiegelsymmetrie wird heute mit wichtigen Entwicklungen im Zusammenhang mit Strings auf Oberflächen mit Begrenzungen fortgesetzt . Darüber hinaus wurde die Spiegelsymmetrie mit vielen aktiven Gebieten der Mathematikforschung in Verbindung gebracht, wie der McKay-Korrespondenz , der topologischen Quantenfeldtheorie und der Theorie der Stabilitätsbedingungen . Gleichzeitig quälen weiterhin grundlegende Fragen. Mathematikern fehlt zum Beispiel immer noch das Verständnis dafür, wie man Beispiele für Spiegel-Calabi-Yau-Paare konstruiert, obwohl es Fortschritte beim Verständnis dieses Problems gegeben hat.

Anwendungen

Aufzählungsgeometrie

Drei schwarze Kreise in der Ebene und acht zusätzliche überlappende Kreise tangential zu diesen drei.

Kreise des Apollonius : Acht farbige Kreise tangieren die drei schwarzen Kreise.

Viele der wichtigen mathematischen Anwendungen der Spiegelsymmetrie gehören zum Zweig der Mathematik, der als Aufzählungsgeometrie bezeichnet wird. In der enumerativen Geometrie ist man daran interessiert, die Anzahl der Lösungen geometrischer Fragen zu zählen, wobei typischerweise die Techniken der algebraischen Geometrie verwendet werden . Eines der frühesten Probleme der enumerative Geometrie wurde um das Jahr 200 gestellt BCE von dem antiken griechischen Mathematiker Apollonios , der fragte , wie viele Kreise in der Ebene tangential zu drei gegebenen Kreisen. Im Allgemeinen besteht die Lösung des Apollonius-Problems darin, dass es acht solcher Kreise gibt.

Der Clebsch kubisch

Aufzählungsprobleme in der Mathematik betreffen oft eine Klasse geometrischer Objekte, die als algebraische Varietäten bezeichnet werden und durch das Verschwinden von Polynomen definiert werden . Zum Beispiel wird der Clebsch-Kubik (siehe Abbildung) durch ein bestimmtes Polynom vom Grad drei von vier Variablen definiert. Ein berühmtes Ergebnis der Mathematiker Arthur Cayley und George Salmon des 19. Jahrhunderts besagt, dass es genau 27 Geraden gibt, die vollständig auf einer solchen Oberfläche liegen.

Um dieses Problem zu verallgemeinern, kann man fragen, wie viele Linien auf einer quintischen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit, wie der oben gezeigten, die durch ein Polynom vom Grad fünf definiert ist, gezeichnet werden können. Dieses Problem wurde von dem deutschen Mathematiker Hermann Schubert des 19. Jahrhunderts gelöst , der herausfand, dass es genau 2.875 solcher Zeilen gibt. 1986 bewies der Geometer Sheldon Katz, dass die Anzahl der Kurven, wie Kreise, die durch Polynome zweiten Grades definiert sind und vollständig in der Quinte liegen, 609.250 beträgt.

Bis zum Jahr 1991 waren die meisten klassischen Probleme der Aufzählungsgeometrie gelöst und das Interesse an der Aufzählungsgeometrie begann nachzulassen. Der Mathematiker Mark Gross sagt: "Da die alten Probleme gelöst waren, gingen die Leute zurück, um Schuberts Zahlen mit modernen Techniken zu überprüfen, aber das wurde ziemlich langweilig." Das Feld wurde im Mai 1991 neu belebt, als die Physiker Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green und Linda Parkes zeigten, dass die Spiegelsymmetrie verwendet werden kann, um die Anzahl der Kurven dritten Grades auf einer Quinte Calabi-Yau zu zählen. Candelas und seine Mitarbeiter fanden heraus, dass diese sechsdimensionalen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten genau 317.206.375 Kurven vom Grad drei enthalten können.

Candelas und seine Mitarbeiter erzielten neben dem Zählen von Kurven dritten Grades auf einer quintischen Dreiergruppe eine Reihe allgemeinerer Ergebnisse zum Zählen rationaler Kurven, die weit über die von Mathematikern erzielten Ergebnisse hinausgingen. Obwohl die in dieser Arbeit verwendeten Methoden auf physikalischer Intuition beruhten, haben Mathematiker einige der Vorhersagen der Spiegelsymmetrie rigoros bewiesen. Insbesondere die enumerativen Vorhersagen der Spiegelsymmetrie sind nun rigoros bewiesen.

Theoretische Physik

Neben ihren Anwendungen in der enumerativen Geometrie ist die Spiegelsymmetrie ein grundlegendes Werkzeug für Berechnungen in der Stringtheorie. Im A-Modell der topologischen Stringtheorie werden physikalisch interessante Größen durch unendlich viele Zahlen ausgedrückt , die Gromov-Witten-Invarianten genannt werden und die extrem schwer zu berechnen sind. Im B-Modell lassen sich die Berechnungen auf klassische Integrale reduzieren und sind viel einfacher. Durch Anwendung der Spiegelsymmetrie können Theoretiker schwierige Berechnungen im A-Modell in gleichwertige, aber technisch einfachere Berechnungen im B-Modell übersetzen. Diese Berechnungen werden dann verwendet, um die Wahrscheinlichkeiten verschiedener physikalischer Prozesse in der Stringtheorie zu bestimmen. Spiegelsymmetrie kann mit anderen Dualitäten kombiniert werden, um Berechnungen in einer Theorie in äquivalente Berechnungen in einer anderen Theorie zu übersetzen. Durch die Auslagerung von Berechnungen an verschiedene Theorien auf diese Weise können Theoretiker Größen berechnen, die ohne die Verwendung von Dualitäten nicht zu berechnen sind.

Außerhalb der Stringtheorie wird Spiegelsymmetrie verwendet, um Aspekte der Quantenfeldtheorie zu verstehen , dem Formalismus, den Physiker verwenden, um Elementarteilchen zu beschreiben . Zum Beispiel Eichtheorien sind eine Klasse von hochsymmetrischen physikalischen Theorien im Standardmodell der Teilchenphysik und in anderen Teilen der theoretischen Physik erscheinen. Einige Eichtheorien, die nicht Teil des Standardmodells sind, aber aus theoretischen Gründen dennoch wichtig sind, entstehen aus Strings, die sich auf einem nahezu singulären Hintergrund ausbreiten. Für solche Theorien ist die Spiegelsymmetrie ein nützliches Rechenwerkzeug. Tatsächlich kann die Spiegelsymmetrie verwendet werden, um Berechnungen in einer wichtigen Eichtheorie in vier Raumzeit-Dimensionen durchzuführen, die von Nathan Seiberg und Edward Witten untersucht wurde und auch in der Mathematik im Zusammenhang mit Donaldson-Invarianten bekannt ist . Es gibt auch eine Verallgemeinerung der Spiegelsymmetrie, die als 3D-Spiegelsymmetrie bezeichnet wird und Paare von Quantenfeldtheorien in drei Raum-Zeit-Dimensionen in Beziehung setzt.

Ansätze

Homologische Spiegelsymmetrie

Offene Schnüre, die an einem Paar D-Branes befestigt sind

In der Stringtheorie und verwandten Theorien in der Physik ist eine Brane ein physikalisches Objekt, das den Begriff eines Punktteilchens auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Beispielsweise kann ein Punktpartikel als Brane der Dimension null angesehen werden, während ein String als Brane der Dimension eins angesehen werden kann. Es ist auch möglich, höherdimensionale Branes zu berücksichtigen. Das Wort Brane kommt von dem Wort "Membran", das sich auf eine zweidimensionale Brane bezieht.

In der Stringtheorie kann ein String offen sein (ein Segment mit zwei Endpunkten bilden) oder geschlossen sein (eine geschlossene Schleife bilden). D-Branes sind eine wichtige Klasse von Branes, die entstehen, wenn man offene Saiten betrachtet. Da sich ein offener String durch die Raumzeit ausbreitet, müssen seine Endpunkte auf einer D-Brane liegen. Der Buchstabe "D" in D-brane bezieht sich auf eine Bedingung, die es erfüllt, die Dirichlet-Randbedingung .

Mathematisch können Branes mit dem Begriff einer Kategorie beschrieben werden . Dies ist eine mathematische Struktur, die aus Objekten besteht , und für jedes Paar von Objekten, einer Reihe von Morphismen zwischen ihnen. In den meisten Beispielen sind die Objekte mathematische Strukturen (wie Mengen , Vektorräume oder topologische Räume ) und die Morphismen sind Funktionen zwischen diesen Strukturen. Man kann auch Kategorien betrachten , wo die Objekte D-branes und die Morphismen zwischen zwei branes und sind Zustände der offenen Saiten gespannt zwischen und . ${\displaystyle\alpha}$ $\beta$ ${\displaystyle\alpha}$ $\beta$

Im B-Modell der topologischen Stringtheorie sind die D-Branen komplexe Untermannigfaltigkeiten eines Calabi-Yau zusammen mit zusätzlichen Daten, die physikalisch durch Ladungen an den Endpunkten von Strings entstehen. Intuitiv kann man sich eine Untermannigfaltigkeit als eine im Calabi-Yau eingebettete Fläche vorstellen, obwohl Untermannigfaltigkeiten auch in anderen Dimensionen als zwei existieren können. In der mathematischen Sprache ist die Kategorie, die diese Branes als ihre Objekte hat, als abgeleitete Kategorie der kohärenten Garben auf dem Calabi-Yau bekannt. Im A-Modell können die D-Branen wiederum als Untermannigfaltigkeiten einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit betrachtet werden. Grob gesagt sind sie das, was Mathematiker spezielle Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten nennen . Das bedeutet unter anderem, dass sie die Hälfte des Raumes haben, in dem sie sitzen, und sie sind längen-, flächen- oder volumenminimierend. Die Kategorie mit diesen Branes als Objekten wird Fukaya-Kategorie genannt.

Die abgeleitete Kategorie der kohärenten Scheiben wird mit Werkzeugen aus der komplexen Geometrie konstruiert , einem Zweig der Mathematik, der geometrische Kurven algebraisch beschreibt und geometrische Probleme mit algebraischen Gleichungen löst . Auf der anderen Seite wird die Fukaya-Kategorie mit der symplektischen Geometrie konstruiert , einem Zweig der Mathematik, der aus dem Studium der klassischen Physik hervorgegangen ist . Symplektische Geometrie untersucht Räume, die mit einer symplektischen Form ausgestattet sind , einem mathematischen Werkzeug, mit dem die Fläche in zweidimensionalen Beispielen berechnet werden kann .

Die homologische Spiegelsymmetrie-Vermutung von Maxim Kontsevich besagt, dass die abgeleitete Kategorie der kohärenten Garben auf einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit in gewissem Sinne der Fukaya-Kategorie ihres Spiegels entspricht. Diese Äquivalenz liefert eine präzise mathematische Formulierung der Spiegelsymmetrie in der topologischen Stringtheorie. Darüber hinaus bietet sie eine unerwartete Brücke zwischen zwei Zweigen der Geometrie, nämlich der komplexen und der symplektischen Geometrie.

Strominger–Yau–Zaslow-Vermutung

Ein Torus kann als Vereinigung von unendlich vielen Kreisen wie dem roten im Bild betrachtet werden. Für jeden Punkt auf dem rosa Kreis gibt es einen solchen Kreis.

Ein anderer Ansatz zum Verständnis der Spiegelsymmetrie wurde 1996 von Andrew Strominger, Shing-Tung Yau und Eric Zaslow vorgeschlagen . Nach ihrer Vermutung, die heute als SYZ-Vermutung bekannt ist, kann Spiegelsymmetrie verstanden werden, indem eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit in einfachere Teile unterteilt wird und sie dann umzuwandeln, um den Spiegel Calabi-Yau zu erhalten.

Das einfachste Beispiel einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit ist eine zweidimensionale Torus- oder Donutform. Betrachten Sie einen Kreis auf dieser Fläche, der einmal durch das Loch des Donuts geht. Ein Beispiel ist der rote Kreis in der Abbildung. Es gibt unendlich viele ähnliche Kreise auf einem Torus; tatsächlich ist die gesamte Oberfläche eine Vereinigung solcher Kreise.

Man kann einen Hilfskreis (der rosa Kreis in der Abbildung) so wählen, dass jeder der unendlich vielen Kreise, die den Torus zerlegen, durch einen Punkt von geht . Dieser Hilfskreis soll die Kreise der Zerlegung parametrisieren , was bedeutet, dass es eine Übereinstimmung zwischen ihnen und Punkten von gibt . Der Kreis ist jedoch mehr als nur eine Liste, denn er bestimmt auch, wie diese Kreise auf dem Torus angeordnet sind. Dieser Hilfsraum spielt bei der SYZ-Vermutung eine wichtige Rolle. $B$ $B$ $B$ $B$

Die Idee, einen Torus in durch einen Hilfsraum parametrisierte Teile zu unterteilen, kann verallgemeinert werden. Erhöht man die Dimension von zwei auf vier reale Dimensionen, wird die Calabi-Yau zu einer K3-Fläche . So wie der Torus in Kreise zerlegt wurde, kann eine vierdimensionale K3-Fläche in zweidimensionale Tori zerlegt werden. In diesem Fall ist der Raum eine gewöhnliche Kugel . Jeder Punkt auf der Kugel entspricht einem der zweidimensionalen Tori, mit Ausnahme von vierundzwanzig "schlechten" Punkten, die "eingeklemmten" oder singulären Tori entsprechen. $B$

Die Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten von primärem Interesse in der Stringtheorie haben sechs Dimensionen. Man kann eine solche Mannigfaltigkeit in 3-Tori (dreidimensionale Objekte, die den Begriff eines Torus verallgemeinern) unterteilen, die durch eine 3-Sphäre (eine dreidimensionale Verallgemeinerung einer Kugel) parametrisiert sind . Jeder Punkt von entspricht einem 3-Torus, mit Ausnahme von unendlich vielen "schlechten" Punkten, die ein gitterartiges Muster von Segmenten auf dem Calabi-Yau bilden und singulären Tori entsprechen. $B$ $B$

Sobald die Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit in einfachere Teile zerlegt wurde, kann die Spiegelsymmetrie auf intuitive geometrische Weise verstanden werden. Betrachten Sie als Beispiel den oben beschriebenen Torus. Stellen Sie sich vor, dass dieser Torus die "Raumzeit" für eine physikalische Theorie darstellt . Die grundlegenden Objekte dieser Theorie werden Strings sein, die sich nach den Regeln der Quantenmechanik durch die Raumzeit ausbreiten . Eine der grundlegenden Dualitäten der Stringtheorie ist die T-Dualität, die besagt, dass ein String, der sich um einen Radiuskreis ausbreitet, äquivalent zu einem String ist, der sich um einen Radiuskreis ausbreitet, in dem Sinne, dass alle beobachtbaren Größen in einer Beschreibung mit Größen in . identifiziert werden die Doppelbeschreibung. Zum Beispiel hat eine Saite Schwung, wenn sie sich um einen Kreis ausbreitet, und sie kann sich auch einmal oder mehrmals um den Kreis wickeln. Die Anzahl der Windungen der Saite um einen Kreis wird als Windungszahl bezeichnet . Wenn eine Saite Schwung und Windungszahl in einer Beschreibung hat, hat sie Schwung und Windungszahl in der Doppelbeschreibung. Durch gleichzeitiges Anwenden der T-Dualität auf alle Kreise, die den Torus zerlegen, werden die Radien dieser Kreise invertiert, und man erhält einen neuen Torus, der "fetter" oder "dünner" als das Original ist. Dieser Torus ist der Spiegel des ursprünglichen Calabi-Yau. $R$ $1/R$ $p$ $n$ $n$ $p$

Die T-Dualität kann von Kreisen auf die zweidimensionalen Tori erweitert werden, die bei der Zerlegung einer K3-Fläche auftreten, oder auf die dreidimensionalen Tori, die bei der Zerlegung einer sechsdimensionalen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit auftreten. Im Allgemeinen besagt die SYZ-Vermutung, dass Spiegelsymmetrie der gleichzeitigen Anwendung der T-Dualität auf diese Tori entspricht. In jedem Fall liefert der Raum eine Art Blaupause, die beschreibt, wie diese Tori zu einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit zusammengesetzt werden. $B$

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

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Popularisierungen

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Lehrbücher

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