Modulationsraum - Modulatory space
Die in diesem Artikel beschriebenen Räume sind Tonhöhenklassenräume, die die Beziehungen zwischen Tonhöhenklassen in einem Musiksystem modellieren . Diese Modelle sind häufig Diagramme , Gruppen oder Gitter . Eng verwandt mit dem Tonhöhenklassenraum sind der Tonhöhenraum , der eher Tonhöhen als Tonhöhenklassen darstellt, und der Akkordraum , der die Beziehungen zwischen Akkorden modelliert.
Klassenraum mit kreisförmigem Abstand
Das einfachste Pitch-Space-Modell ist die reale Linie. Im MIDI-Tuning-Standard werden beispielsweise die Grundfrequenzen f gemäß der Gleichung auf Zahlen p abgebildet
Dies erzeugt einen linearen Raum, in dem Oktaven die Größe 12 haben, Halbtöne (der Abstand zwischen benachbarten Tasten auf der Klaviertastatur) die Größe 1 haben und A440 die Nummer 69 zugewiesen wird (was bedeutet, dass dem mittleren C die Nummer 60 zugewiesen wird). Um einen Klassenraum mit kreisförmiger Tonhöhe zu erzeugen, identifizieren oder "kleben" wir die Tonhöhen p und p + 12 zusammen. Das Ergebnis ist ein kontinuierlicher Klassenraum mit kreisförmiger Tonhöhe , den Mathematiker Z / 12 Z nennen .
Kreise von Generatoren
Andere Modelle des Tonhöhenklassenraums, wie der Quintenkreis , versuchen, die spezielle Beziehung zwischen Tonhöhenklassen zu beschreiben, die durch perfekte Quinten verbunden sind. Bei gleichem Temperament entsprechen zwölf aufeinanderfolgende Quinten genau sieben Oktaven, und daher schließt sich die Tonhöhenklasse in Bezug auf Tonhöhenklassen zu sich selbst zurück und bildet einen Kreis. Wir sagen , dass die Tonigkeit der fünften erzeugt - oder ist ein Generator von - der Raum von zwölf Tonigkeiten.
Durch Teilen der Oktave in n gleiche Teile und Wählen einer ganzen Zahl m <n, so dass m und n relativ prim sind - dh keinen gemeinsamen Teiler haben - erhalten wir ähnliche Kreise, die alle die Struktur endlicher zyklischer Gruppen haben. Indem wir eine Linie zwischen zwei Tonhöhenklassen zeichnen, wenn sie sich durch einen Generator unterscheiden, können wir den Generatorkreis als Zyklusdiagramm in Form eines regulären Polygons darstellen .
Toroidale Modulationsräume
Wenn wir die Oktave in n Teile teilen, wobei n = rs das Produkt zweier relativ primärer Ganzzahlen r und s ist, können wir jedes Element des Tonraums als Produkt einer bestimmten Anzahl von "r" -Generatoren mal einer bestimmten Anzahl darstellen von "s" Generatoren; mit anderen Worten, als direkte Summe zweier zyklischer Ordnungsgruppen r und s. Wir können nun einen Graphen mit n Eckpunkten definieren, auf die die Gruppe einwirkt, indem wir eine Kante zwischen zwei Tonhöhenklassen hinzufügen, wenn sie sich entweder durch einen "r" -Generator oder einen "s" -Generator unterscheiden (der sogenannte Cayley-Graph von mit Generatoren r) und s ). Das Ergebnis ist ein Diagramm der Gattung 1, dh ein Diagramm mit einer Donut- oder Torusform . Ein solcher Graph wird als Toroidgraph bezeichnet .
Ein Beispiel ist gleiches Temperament ; zwölf ist das Produkt von 3 und 4, und wir können jede Tonhöhenklasse als eine Kombination aus Dritteln einer Oktave oder großen Dritteln und Vierteln einer Oktave oder kleinen Dritteln darstellen und dann einen Toroidgraphen zeichnen, indem wir immer eine Kante zeichnen Zwei Tonhöhenklassen unterscheiden sich um ein Dur- oder Moll-Drittel.
Wir können sofort auf eine beliebige Anzahl von relativ primären Faktoren verallgemeinern, wobei die Erzeugung von Graphen regelmäßig auf einem n-Torus gezeichnet werden kann .
Generatorketten
Ein lineares Temperament ist ein reguläres Temperament von Rang zwei, das durch die Oktave und ein anderes Intervall erzeugt wird, das üblicherweise als "der" Generator bezeichnet wird. Das mit Abstand bekannteste Beispiel ist ein Temperament , dessen Generator ein abgeflachtes, ein Fünftel ist. Die Tonhöhenklassen eines linearen Temperaments können so dargestellt werden, dass sie entlang einer unendlichen Kette von Generatoren liegen. in gemeintem Fall wäre dies beispielsweise -FCGDA- usw. Dies definiert einen linearen Modulationsraum.
Zylindrische Modulationsräume
Ein Temperament von Rang zwei, das nicht linear ist, hat einen Generator, der einen Bruchteil einer Oktave darstellt und als Periode bezeichnet wird. Wir können den Modulationsraum eines solchen Temperaments als n Ketten von Generatoren in einem Kreis darstellen, die einen Zylinder bilden. Hier ist n die Anzahl der Perioden in einer Oktave.
Zum Beispiel ist diaschismisches Temperament das Temperament, das das Diaschisma oder 2048/2025 auslöst. Es kann als zwei Ketten mit leicht (3,25 bis 3,55 Cent) scharfen Quinten im Abstand von einer halben Oktave dargestellt werden, die als zwei Ketten senkrecht zu einem Kreis und auf der gegenüberliegenden Seite dargestellt werden können. Das zylindrische Erscheinungsbild dieser Art von Modulationsraum wird deutlicher, wenn die Periode ein kleinerer Bruchteil einer Oktave ist; Zum Beispiel hat das Ennealimmal-Temperament einen Modulationsraum, der aus neun Ketten kleinerer Drittel in einem Kreis besteht (wobei die Drittel nur 0,02 bis 0,03 Cent scharf sein können).
Modulationsraum mit fünf Grenzen
Die Intonation mit fünf Grenzwerten hat einen Modulationsraum, der auf der Tatsache basiert, dass ihre Tonhöhenklassen durch 3 a 5 b dargestellt werden können , wobei a und b ganze Zahlen sind. Es ist daher eine freie abelsche Gruppe mit den beiden Generatoren 3 und 5 und kann als quadratisches Gitter mit Quinten entlang der horizontalen Achse und Hauptdrittel entlang der vertikalen Achse dargestellt werden.
In vielerlei Hinsicht ergibt sich ein aufschlussreicheres Bild, wenn wir es stattdessen als hexagonales Gitter darstellen . Dies ist der Tonnetz von Hugo Riemann , der ungefähr zur gleichen Zeit von Shohé Tanaka unabhängig entdeckt wurde . Die Quinten liegen entlang der horizontalen Achse, und die Hauptdrittel zeigen in einem Winkel von 60 Grad nach rechts. Weitere sechzig Grad geben uns die Achse der großen Sechstel, die nach links zeigt. Die nicht unisono Elemente des Diamanten mit 5 Grenzwerten , 3/2, 5/4, 5/3, 4/3, 8/5, 6/5, sind jetzt in einem regelmäßigen Sechseck um 1 angeordnet. Die Triaden sind die gleichseitige Dreiecke dieses Gitters, wobei die nach oben weisenden Dreiecke Haupttriaden und die nach unten weisenden Dreiecke kleine Triaden sind.
Dieses Bild des Modulationsraums mit fünf Grenzen ist im Allgemeinen vorzuziehen, da es die Konsonanzen einheitlich behandelt und nicht darauf hindeutet, dass beispielsweise ein großes Drittel eher eine Konsonanz als ein großes Sechstel ist. Wenn zwei Gitterpunkte so nahe wie möglich sind, ein Einheitsabstand voneinander, dann und nur dann werden sie durch ein Konsonantenintervall getrennt. Daher liefert das hexagonale Gitter ein überlegenes Bild der Struktur des Modulationsraums mit fünf Grenzen.
In abstrakteren mathematischen Begriffen können wir dieses Gitter als die ganzzahligen Paare (a, b) beschreiben, wobei wir anstelle des üblichen euklidischen Abstands einen euklidischen Abstand haben, der in Bezug auf die Vektorraumnorm definiert ist
Modulationsraum mit sieben Grenzen
In ähnlicher Weise können wir einen Modulationsraum für die Intonation mit sieben Grenzen definieren , indem wir 3 a 5 b 7 c in Form eines entsprechenden kubischen Gitters darstellen . Wiederum ergibt sich jedoch ein aufschlussreicheres Bild, wenn wir es stattdessen als dreidimensionales Analogon des hexagonalen Gitters darstellen, eines Gitters namens A 3 , das dem flächenzentrierten kubischen Gitter oder D 3 entspricht . Abstrakt kann es als die ganzzahligen Tripel (a, b, c) definiert werden, die 3 a 5 b 7 c zugeordnet sind , wobei das Abstandsmaß nicht der übliche euklidische Abstand ist, sondern der aus der Vektorraumnorm abgeleitete euklidische Abstand
In diesem Bild sind die zwölf nicht-unisono-Elemente des Diamanten mit sieben Grenzwerten um 1 in Form eines Kuboktaeders angeordnet .
Siehe auch
Verweise
- Riemann, Hugo, Ideen zu einer Lehre von den Tonvorstellungen , Jahrbuch der Musikbibliothek Peters, (1914/15), Leipzig 1916, S. 1–26. [1]
- Tanaka, Shohé, Studien im Gebiet der reinen Stimmung , Vierteljahrsschrift für Musikwissenschaft vol. 6 nr. 1, Friedrich Chrysander, Philipp Spitta, Guido Adler (Hrsg.), Breitkopf und Härtel, Leipzig, S. 1–90. [2]
Weiterführende Literatur
- Cohn, Richard, Einführung in die Neo-Riemannsche Theorie: Ein Überblick und eine historische Perspektive , The Journal of Music Theory, (1998) 42 (2), S. 167–80
- Lerdahl, Fred (2001). Tonal Pitch Space , S. 42–43. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-505834-8 .
- Lubin, Steven, 1974, Techniken zur Analyse der Entwicklung in der Mittelperiode Beethoven , Ph. D. Diss., New York University, 1974