Multivektor - Multivector

In multi Algebra , eine Multi , manchmal genannt Clifford Zahl , ist ein Element der Außen Algebra Λ ( V ) von einem Vektorraum V . Diese Algebra ist abgestuft , assoziativ und alternierende , und besteht aus Linearkombinationen von einfachen k -Vektoren (auch bekannt als zersetzbarer k -Vektoren oder k -Blades der Form)

${\displaystyle v_{1}\wedge\cdots\wedge v_{k},}$

wo sind in V . ${\displaystyle v_{1},\ldots,v_{k}}$

Ein k -Vektor ist eine solche Linearkombination, die vom Grad k homogen ist (alle Terme sind k -Klingen für dasselbe k ). Abhängig von den Autoren kann ein "Multivektor" entweder ein k- Vektor oder ein beliebiges Element der äußeren Algebra (jede Linearkombination von k- Klingen mit potentiell unterschiedlichen Werten von k ) sein.

In der Differentialgeometrie ist ein k- Vektor ein Vektor in der äußeren Algebra des Tangentialvektorraums ; das heißt, es ist ein antisymmetrischer Tensor, der erhalten wird, indem man Linearkombinationen des äußeren Produkts von k Tangensvektoren für eine ganze Zahl k 0 nimmt . Eine differentielle k- Form ist ein k- Vektor in der äußeren Algebra des Dualen des Tangentialraums, der auch der Dual der äußeren Algebra des Tangentialraums ist.

Für k = 0, 1, 2 und 3 werden k- Vektoren oft als Skalare , Vektoren , Bivektoren und Trivektoren bezeichnet ; sie sind jeweils dual zu 0-Formen, 1-Formen, 2-Formen und 3-Formen .

Außenprodukt

Das zur Konstruktion von Multivektoren verwendete äußere Produkt (auch Keilprodukt genannt) ist multilinear (linear in jeder Eingabe), assoziativ und alternierend. Das heißt für Vektoren u , v und w in einem Vektorraum V und für Skalare α , β hat das äußere Produkt die Eigenschaften:

• Linear in einer Eingabe: ${\displaystyle\mathbf{u}\wedge (\alpha\mathbf{v} +\beta\mathbf{w})=\alpha\mathbf{u}\wedge\mathbf{v} +\beta\mathbf{u} \keil\mathbf{w};}$
• Assoziativ: ${\displaystyle(\mathbf{u}\wedge\mathbf{v})\wedge\mathbf{w}=\mathbf{u}\wedge(\mathbf{v}\wedge\mathbf{w});}$
• Abwechselnd: ${\displaystyle\mathbf{u}\wedge\mathbf{u}=0.}$

Das äußere Produkt von k Vektoren oder eine Summe dieser Produkte (für eine einzelne k ) ist eine Klasse genannt k multivektoralen oder ein k -Vektor. Der maximale Grad eines Multivektors ist die Dimension des Vektorraums V .

Linearität in einer der Eingaben zusammen mit der alternierenden Eigenschaft impliziert Linearität in der anderen Eingabe. Die Multilinearität des äußeren Produkts ermöglicht es, einen Multivektor als Linearkombination äußerer Produkte von Basisvektoren von V auszudrücken . Das äußere Produkt von k Basisvektoren von V ist die Standardmethode, um jedes Basiselement für den Raum der k -Vektoren zu konstruieren, das die Dimension (ⁿ
_k) in der äußeren Algebra eines n- dimensionalen Vektorraums.

Fläche und Volumen

Die k -Vektor von der Außenseite des erhaltenen Produkts k getrennten Vektoren in einem n - dimensionalen Raum hat Komponenten, die die projizierten definieren ( k - 1) -volumes des k - Parallelotop durch die Vektoren aufgespannt. Die Quadratwurzel der Summe der Quadrate dieser Komponenten definiert das Volumen des k- Parallelotops.

Die folgenden Beispiele zeigen, dass ein Bivektor in zwei Dimensionen die Fläche eines Parallelogramms misst und die Größe eines Bivektors in drei Dimensionen ebenfalls die Fläche eines Parallelogramms misst. In ähnlicher Weise misst ein Drei-Vektor in drei Dimensionen das Volumen eines Parallelepipeds.

Es ist leicht zu überprüfen, dass die Größe eines Dreiervektors in vier Dimensionen das Volumen des von diesen Vektoren aufgespannten Parallelepipeds misst.

Multivektoren in R ²

Eigenschaften von Multivektoren können durch Betrachten des zweidimensionalen Vektorraums V = R ^{2 gesehen werden} . Seien die Basisvektoren e ₁ und e ₂ , also sind u und v gegeben durch

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e}_{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\ mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}$

und der Multivektor u ∧ v , auch Bivektor genannt, berechnet sich zu

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ ( \mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2}).}$

Die vertikalen Balken bezeichnen die Determinante der Matrix, die die Fläche des Parallelogramms ist, die von den Vektoren u und v aufgespannt wird . Der Betrag von u ∧ v ist die Fläche dieses Parallelogramms. Beachten Sie, dass der Basisbivektor e ₁ ∧ e ₂ der einzige Multivektor in Λ V ist , da V die Dimension zwei hat .

Die Beziehung zwischen der Größe eines Multivektors und der von den Vektoren aufgespannten Fläche oder Volumen ist ein wichtiges Merkmal in allen Dimensionen. Darüber hinaus wird die lineare funktionale Version eines Multivektors, der dieses Volumen berechnet, als Differentialform bezeichnet.

Multivektoren in R ³

Weitere Merkmale von Multivektoren können durch Betrachten des dreidimensionalen Vektorraums V = R ^{3 gesehen werden} . In diesem Fall seien die Basisvektoren e ₁ , e ₂ und e ₃ , also sind u , v und w gegeben durch

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3} ,\quad\mathbf{v} =v_{1}\mathbf{e}_{1}+v_{2}\mathbf{e} _{2}+v_{3}\mathbf{e}_{3} ,\quad\mathbf{w} =w_{1}\mathbf{e}_{1}+w_{2}\mathbf{e} _{2}+w_{3}\mathbf{e}_{3} ,}$

und der Bivektor u ∧ v berechnet sich zu

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\ ( \mathbf {e} _{2}\keil \mathbf {e} _{3})+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix }}\ (\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{3})+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2} \end{vmatrix}}\ (\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2}).}$

Die Komponenten dieses Bivektors sind die gleichen wie die Komponenten des Kreuzprodukts. Der Betrag dieses Bivektors ist die Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Komponenten.

Dies zeigt, dass der Betrag des Bivektors u ∧ v die Fläche des von den Vektoren u und v aufgespannten Parallelogramms ist, wie sie im dreidimensionalen Raum V liegt . Die Komponenten des Bivektors sind die projizierten Flächen des Parallelogramms auf jeder der drei Koordinatenebenen.

Beachten Sie, dass es in Λ V einen Basis-Drei-Vektor gibt , da V die Dimension drei hat . Berechnen Sie den Drei-Vektor

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_ {2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf{e}_{1}\keil\mathbf{e}_{2}\ Keil \mathbf{e}_{3}).}$

Dies zeigt, dass der Betrag des Dreiervektors u ∧ v ∧ w das Volumen des von den drei Vektoren u , v und w aufgespannten Parallelepipeds ist .

In höherdimensionalen Räumen sind die Komponenten-Dreivektoren Projektionen des Volumens eines Parallelepipeds auf die Koordinaten-Dreiräume, und die Größe des Drei-Vektors ist das Volumen des Parallelepipeds, wie es im höherdimensionalen Raum sitzt.

Grassmann-Koordinaten

In diesem Abschnitt betrachten wir Multivektoren auf einem projektiven Raum P ⁿ , die einen bequemen Satz von Koordinaten für Linien, Ebenen und Hyperebenen bereitstellen, die ähnliche Eigenschaften wie die homogenen Koordinaten von Punkten haben, die Grassmann-Koordinaten genannt werden .

Punkte in einem reellen projektiven Raum P ⁿ werden als Linien durch den Ursprung des Vektorraums R ^{n +1 definiert} . Beispielsweise ist die projektive Ebene P ² die Menge von Linien durch den Ursprung von R ³ . Somit können Multivektoren, die auf R ^{n +1 definiert} sind, als Multivektoren auf P ^{n angesehen werden} .

Eine bequeme Möglichkeit, einen Multivektor auf P ⁿ anzuzeigen, besteht darin, ihn in einer affinen Komponente von P ^{n zu untersuchen} , die der Schnittpunkt der Linien durch den Ursprung von R ^{n +1} mit einer ausgewählten Hyperebene ist, z. B. H: x _{n +1} = 1 . Linien durch den Ursprung von R ³ schneiden die Ebene E: z = 1 , um eine affine Version der projektiven Ebene zu definieren, der nur die Punkte fehlen, für die z = 0 , die Punkte im Unendlichen genannt werden.

Multivektoren auf P ²

Punkte in der affinen Komponente E: z = 1 der projektiven Ebene haben die Koordinaten x = ( x , y , 1) . Eine Linearkombination von zwei Punkten p = ( p ₁ , p ₂ , 1) und q = ( q ₁ , q ₂ , 1) definiert eine Ebene in R ³ , die E in der Verbindungslinie von p und q schneidet . Der Multivektor p ∧ q definiert ein Parallelogramm im R ³ gegeben durch

${\displaystyle\mathbf{p}\wedge\mathbf{q}\=\(p_{2}-q_{2})(\mathbf{e}_{2}\wedge\mathbf{e}_{3} )+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\keil \mathbf {e}_{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1} p_{2})(\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2}).}$

Beachten Sie, dass die Substitution von α p + β q für p diesen Multivektor mit einer Konstanten multipliziert. Daher sind die Komponenten von p ∧ q homogene Koordinaten für die Ebene durch den Ursprung von R ³ .

Die Punktmenge x = ( x , y , 1) auf der Geraden durch p und q ist der Schnittpunkt der durch p ∧ q definierten Ebene mit der Ebene E: z = 1 . Diese Punkte erfüllen x ∧ p ∧ q = 0 , d.h.

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\keil {\big (}(p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\keil \mathbf {e}_{3})+( p_{1}-q_{1})(\mathbf{e}_{1}\keil\mathbf{e}_{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2 })(\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2}){\big)}=0,}$

was sich auf die Geradengleichung vereinfacht

${\displaystyle \lambda :x(p_{2}-q_{2})+y(p_{1}-q_{1})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2} )=0.}$

Diese Gleichung wird durch die Punkte x = α p + β q für reelle Werte von α und β erfüllt .

Die drei Komponenten von p ∧ q , die die Gerade λ definieren, werden Grassmann-Koordinaten der Geraden genannt. Da drei homogene Koordinaten sowohl einen Punkt als auch eine Linie definieren, wird die Geometrie der Punkte als dual zur Geometrie der Linien in der projektiven Ebene bezeichnet. Dies wird das Prinzip der Dualität genannt .

Multivektoren auf P ³

Der dreidimensionale projektive Raum P ³ besteht aus allen Linien durch den Ursprung von R ⁴ . Die dreidimensionale Hyperebene H: w = 1 sei die affine Komponente des durch die Punkte x = ( x , y , z , 1) definierten projektiven Raums . Der Multivektor p ∧ q ∧ r definiert ein Parallelepiped in R ⁴ gegeben durch

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} ={\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3 }&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e}_{2}\wedge\mathbf{e} _{3}\wedge\mathbf{e}_{4}+{\begin{ vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e}_{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\keil \mathbf {e}_{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2 }\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{ 1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _ {1}\keil\mathbf{e}_{2}\keil\mathbf{e}_{3}.}$

Beachten Sie, dass die Substitution von α p + β q + γ r für p diesen Multivektor mit einer Konstanten multipliziert. Daher sind die Komponenten von p ∧ q ∧ r homogene Koordinaten für den 3-Raum durch den Ursprung von R ⁴ .

Eine Ebene in der affinen Komponente H: w = 1 ist die Menge der Punkte x = ( x , y , z , 1) im Schnittpunkt von H mit dem durch p ∧ q ∧ r definierten 3-Raum . Diese Punkte erfüllen x ∧ p ∧ q ∧ r = 0 , d.h.

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{ 2}+z\mathbf{e}_{3}+\mathbf{e}_{4})\keil\mathbf{p}\keil\mathbf{q}\keil\mathbf{r}=0,}$

was sich auf die Gleichung einer Ebene vereinfacht

${\displaystyle \lambda :x{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+y {\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+z{\begin{vmatrix}p_ {1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_ {1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

Diese Gleichung wird durch die Punkte x = α p + β q + γ r für reelle Werte von α , β und γ erfüllt .

Die vier Komponenten von p ∧ q ∧ r , die die Ebene λ definieren, werden Grassmann-Koordinaten der Ebene genannt. Da vier homogene Koordinaten sowohl einen Punkt als auch eine Ebene im projektiven Raum definieren, ist die Geometrie der Punkte dual zur Geometrie der Ebenen.

Eine Gerade als Verbindung zweier Punkte: Im projektiven Raum kann man die Gerade λ durch zwei Punkte p und q als Schnittpunkt des affinen Raums H: w = 1 mit der Ebene x = α p + β q in R ⁴ auffassen . Der Multivektor p ∧ q liefert homogene Koordinaten für die Gerade

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\lambda :\mathbf {p} \wedge \mathbf {q} &=(p_{1}\mathbf {e} _{1}+p_{2}\mathbf {e} _{2}+p_{3}\mathbf{e} _{3}+\mathbf{e}_{4})\keil (q_{1}\mathbf{e}_{1}+q_{2} \mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4}),\\&={\begin{vmatrix}p_{1}&q_ {1}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\1&1 \end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\keil \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\1&1\end{vmatrix}} \mathbf{e}_{3}\keil \mathbf{e}_{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\p_{3}&q_{3}\end{vmatrix} }\mathbf {e} _{2}\keil \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\p_{1}&q_{1}\end{vmatrix }}\mathbf {e} _{3}\keil \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}\end{ vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.\end{ausgerichtet}}}$

Diese sind als Plücker-Koordinaten der Linie bekannt, obwohl sie auch ein Beispiel für Grassmann-Koordinaten sind.

Eine Gerade als Schnittpunkt zweier Ebenen: Eine Gerade μ im projektiven Raum kann auch als die Menge von Punkten x definiert werden , die den Schnittpunkt zweier Ebenen π und ρ bilden, die durch Multivektoren Grad drei definiert sind, also sind die Punkte x die Lösungen der lineare Gleichungen

${\displaystyle\mu:\mathbf{x}\wedge\pi=0,\mathbf{x}\wedge\rho=0.}$

Um die Pflücker Koordinaten der Linie zu erhalten , μ , Karte , um die Multivektoren & pgr; und & rgr; auf ihre Doppelpunktkoordinaten unter Verwendung des Hodge Sternoperators ,

${\displaystyle\mathbf{e}_{1}={\star}(\mathbf{e}_{2}\wedge\mathbf{e}_{3}\wedge\mathbf{e}_{4}) ,-\mathbf{e}_{2}={\star}(\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{3}\wedge\mathbf{e}_{4}), \mathbf{e}_{3}={\star}(\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2}\wedge\mathbf{e}_{4}),-\ mathbf{e}_{4}={\star}(\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2}\wedge\mathbf{e}_{3}),}$

dann

${\displaystyle {\star}\pi =\pi_{1}\mathbf {e} _{1}+\pi_{2}\mathbf {e} _{2}+\pi_{3}\mathbf {e}_{3}+\pi_{4}\mathbf{e}_{4},\quad{\star}\rho =\rho_{1}\mathbf{e}_{1}+\ rho_{2}\mathbf{e}_{2}+\rho_{3}\mathbf{e}_{3}+\rho_{4}\mathbf{e}_{4}.}$

Die Plücker-Koordinaten der Geraden μ sind also gegeben durch

${\displaystyle \mu :({\star }\pi )\wedge ({\star }\rho )={\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{ 4}&\rho_{4}\end{vmatrix}}\mathbf{e}_{1}\keil \mathbf{e}_{4}+{\begin{vmatrix}\pi_{2}&\ rho _{2}\\\pi_{4}&\rho_{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\keil \mathbf {e} _{4}+{\begin {vmatrix}\pi_{3}&\rho_{3}\\\pi_{4}&\rho_{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e}_{3}\keil \mathbf {e}_{4}+{\begin{vmatrix}\pi_{2}&\rho_{2}\\\pi_{3}&\rho_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e}_{2}\keil\mathbf{e}_{3}+{\begin{vmatrix}\pi_{3}&\rho_{3}\\\pi_{1}&\rho_ {1}\end{vmatrix}}\mathbf{e}_{3}\keil \mathbf{e}_{1}+{\begin{vmatrix}\pi_{1}&\rho_{1}\ \\pi_{2}&\rho_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.}$

Da die sechs homogenen Koordinaten einer Linie aus der Verbindung zweier Punkte oder dem Schnitt zweier Ebenen erhalten werden können, heißt die Linie im projektiven Raum selbstdual.

Clifford-Produkt

WK Clifford kombinierte Multivektoren mit dem auf dem Vektorraum definierten inneren Produkt , um eine allgemeine Konstruktion für hyperkomplexe Zahlen zu erhalten, die die üblichen komplexen Zahlen und Hamiltonsche Quaternionen enthält .

Das Clifford-Produkt zwischen zwei Vektoren u und v ist bilinear und assoziativ wie das äußere Produkt und hat die zusätzliche Eigenschaft, dass der Multivektor uv durch die Clifford-Relation an das innere Produkt u ⋅ v gekoppelt ist ,

${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathbf {u} = 2\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}$

Die Clifford-Relation behält die Antikommutierungseigenschaft für senkrechte Vektoren bei. Dies ist aus den zueinander orthogonalen Einheitsvektoren e _i , i = 1, ..., n in R ⁿ ersichtlich : Die Clifford-Relation ergibt

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i }\cdot\mathbf{e}_{j}=\delta_{i,j},}$

was zeigt, dass sich die Basisvektoren gegenseitig antikommutieren,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i},\quad i\neq j=1 ,\ldots,n.}$

Im Gegensatz zum äußeren Produkt ist das Clifford-Produkt eines Vektors mit sich selbst nicht null. Um dies zu sehen, berechne das Produkt

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i }\cdot\mathbf{e}_{i}=2,}$

was ergibt

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=1,\quad i=1,\ldots,n.}$

Der Satz von Multivektoren, der unter Verwendung des Clifford-Produkts konstruiert wurde, ergibt eine assoziative Algebra, die als Clifford-Algebra bekannt ist . Innere Produkte mit unterschiedlichen Eigenschaften können verwendet werden, um verschiedene Clifford-Algebren zu konstruieren.

Geometrische Algebra

Der Begriff k-Blade wurde in Clifford Algebra to Geometric Calculus (1984) verwendet.

Multivektoren spielen eine zentrale Rolle in der mathematischen Formulierung der Physik, der sogenannten geometrischen Algebra. Laut David Hestenes ,

[Nicht-skalare] k- Vektoren werden manchmal als k-Blades oder einfach Blades bezeichnet , um die Tatsache zu betonen, dass sie im Gegensatz zu 0-Vektoren (Skalaren) "direktionale Eigenschaften" haben.

Im Jahr 2003 wurde von C. Doran und A. Lasenby der Begriff Blade für einen Multivektor verwendet, der als das äußere Produkt von [einem Skalar und] einer Menge von Vektoren geschrieben werden kann. Hier werden Skalare durch die Aussage "Jeder Multivektor kann als Summe von Blättern ausgedrückt werden" implizit als 0-Klingen definiert.

In der geometrischen Algebra ist ein Multivektor definiert als die Summe von k- Klingen unterschiedlichen Grades , wie die Summe eines Skalars , eines Vektors und eines 2-Vektors. Eine Summe von nur k -grade Komponenten ist eine sogenannte k -Vektor oder eine homogene Multi.

Das Element mit dem höchsten Grad in einem Raum wird als Pseudoskalar bezeichnet .

Wenn ein gegebenes Element homogen vom Grad k ist , dann ist es ein k- Vektor, aber nicht notwendigerweise ein k- Blade. Ein solches Element ist ein k- Blade, wenn es als das äußere Produkt von k Vektoren ausgedrückt werden kann. Eine geometrische Algebra, die von einem 4-dimensionalen Vektorraum erzeugt wird, veranschaulicht den Punkt an einem Beispiel: Die Summe von zwei beliebigen Schaufeln, von denen eines aus der XY-Ebene und das andere aus der ZW-Ebene genommen wird, ergibt einen 2-Vektor, der nicht ist eine 2-Klinge. In einer geometrischen Algebra, die durch einen Vektorraum der Dimension 2 oder 3 erzeugt wird, können alle Summen von 2-Blatt als ein einzelnes 2-Blatt geschrieben werden.

Beispiele

Orientierung durch einen geordneten Satz von Vektoren definiert.

Die umgekehrte Orientierung entspricht der Negation des Außenprodukts.

Geometrische Interpretation von Elementen der Klasse n in einer realen äußeren Algebra für n = 0 (Vorzeichenpunkt), 1 (gerichtetes Liniensegment oder Vektor), 2 (orientiertes ebenes Element), 3 (orientiertes Volumen). Das äußere Produkt von n Vektoren kann als jede visualisiert werden n -dimensionalen Form (zB n - Parallelotop , n - ellipsoid ); mit Größe ( Hypervolumen ) und Orientierung definiert durch die an seiner ( n − 1) -dimensionalen Grenze und auf welcher Seite sich das Innere befindet.

• 0-Vektoren sind Skalare;
• 1-Vektoren sind Vektoren;
• 2-Vektoren sind Bivektoren ;
• ( n − 1)-Vektoren sind Pseudovektoren ;
• n- Vektoren sind Pseudoskalare .

Bei Vorhandensein einer Volumenform (z. B. bei gegebenem inneren Produkt und einer Orientierung) können Pseudovektoren und Pseudoskalare mit Vektoren und Skalaren identifiziert werden, was in der Vektorrechnung Routine ist , aber ohne Volumenform ist dies nicht ohne eine willkürliche Auswahl.

In der Algebra des physikalischen Raums (der geometrischen Algebra des euklidischen 3-Raums, die als Modell der (3+1)-Raumzeit verwendet wird) wird eine Summe eines Skalars und eines Vektors als Paravektor bezeichnet und repräsentiert einen Punkt in der Raumzeit ( der Vektor der Raum, der Skalar die Zeit).

Bivektoren

Ein Bivektor ist ein Element des antisymmetrischen Tensorprodukts eines Tangentialraums mit sich selbst.

Auch in der geometrischen Algebra ist ein Bivektor ein Element 2. Grades (ein 2-Vektor), das sich aus dem Keilprodukt zweier Vektoren ergibt , und ist somit geometrisch eine orientierte Fläche , genauso wie ein Vektor ein orientiertes Liniensegment ist. Wenn a und b sind zwei Vektoren, der Bivektor a ∧ b hat

• eine Norm, die ihre Fläche ist, gegeben durch

  ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right \|\,\sin(\phi_{a,b})}$

• a Richtung: die Ebene, auf der dieser Bereich liegt, dh die durch a und b bestimmte Ebene , solange sie linear unabhängig sind;
• eine Orientierung (von zwei), die durch die Reihenfolge bestimmt wird, in der die Ursprungsvektoren multipliziert werden.

Bivektoren sind mit Pseudovektoren verbunden und werden verwendet, um Drehungen in der geometrischen Algebra darzustellen.

Da Bivektoren Elemente eines Vektorraums Λ ² V sind (wobei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit dim V = n ist ), ist es sinnvoll, ein inneres Produkt auf diesem Vektorraum wie folgt zu definieren . Schreiben Sie zunächst ein beliebiges Element F ∈ Λ ² V in Bezug auf eine Basis ( e _i ∧ e _j ) _{1 ≤ i < j ≤ n} von Λ ² V as

${\displaystyle F=F^{ab}\mathbf {e} _{a}\keil \mathbf {e} _{b}\quad (1\leq a<b\leq n),}$

wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wird.

Definieren Sie nun eine Abbildung G : Λ ² V × Λ ² V → R, indem Sie darauf bestehen, dass

${\displaystyle G(F,H):=G_{abcd}F^{ab}H^{cd},}$

wo sind eine Reihe von Zahlen. ${\displaystyle G_{abcd}}$

Anwendungen

Bivektoren spielen in der Physik viele wichtige Rollen, beispielsweise bei der Klassifizierung elektromagnetischer Felder .

Siehe auch

• Klinge (Geometrie)
• Paravektor

Verweise