Punktprozess - Point process

In der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Punktprozess oder ein Punktfeld eine Sammlung mathematischer Punkte, die sich zufällig auf einem mathematischen Raum wie der realen Linie oder dem euklidischen Raum befinden. Punktprozesse können als mathematische Modelle von Phänomenen oder Objekten verwendet werden, die als Punkte in einem bestimmten Raumtyp dargestellt werden können.

Es gibt verschiedene mathematische Interpretationen eines Punktprozesses, z. B. ein Zufallszählmaß oder eine Zufallsmenge. Einige Autoren betrachten einen Punktprozess und einen stochastischen Prozess als zwei verschiedene Objekte, so dass ein Punktprozess ein zufälliges Objekt ist, das aus einem stochastischen Prozess entsteht oder mit diesem verbunden ist, obwohl angemerkt wurde, dass der Unterschied zwischen Punktprozessen und stochastischen Prozessen nicht klar ist . Andere betrachten einen Punktprozess als einen stochastischen Prozess, bei dem der Prozess durch Mengen des zugrunde liegenden Raums indiziert wird, auf dem er definiert ist, wie z. B. die reale Linie oder der eindimensionale euklidische Raum. Andere stochastische Prozesse wie Erneuerungs- und Zählprozesse werden in der Theorie der Punktprozesse untersucht. Manchmal wird der Begriff "Punktprozess" nicht bevorzugt, da das Wort "Prozess" historisch eine zeitliche Entwicklung eines Systems bezeichnet, so dass der Punktprozess auch als zufälliges Punktfeld bezeichnet wird. ${\ displaystyle n}$

Punktprozesse sind gut untersuchte Objekte in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Gegenstand leistungsfähiger statistischer Werkzeuge zur Modellierung und Analyse von Geodaten , die in so unterschiedlichen Disziplinen wie Forstwirtschaft, Pflanzenökologie, Epidemiologie, Geographie, Seismologie, Materialwissenschaften, Astronomie und Telekommunikation von Interesse sind , Computational Neuroscience, Economics und andere.

Punktprozesse auf der realen Linie bilden einen wichtigen Sonderfall, der besonders untersucht werden kann, da die Punkte auf natürliche Weise geordnet sind und der gesamte Punktprozess vollständig durch die (zufälligen) Intervalle zwischen den Punkten beschrieben werden kann. Diese Punktprozesse werden häufig als Modelle für zufällige zeitliche Ereignisse verwendet, z. B. das Eintreffen von Kunden in einer Warteschlange ( Warteschlangentheorie ), von Impulsen in einem Neuron ( Computational Neuroscience ), von Partikeln in einem Geigerzähler oder von der Position von Radiosendern in einem Telekommunikationsnetz oder Suchanfragen im World Wide Web .

Allgemeine Punktprozesstheorie

In der Mathematik ist ein Punktprozess ein zufälliges Element, dessen Werte "Punktmuster" auf einer Menge S sind . Während in der genauen mathematischen Definition ein Punktmuster als lokal endliches Zählmaß angegeben wird, reicht es für angewandte Zwecke aus, sich ein Punktmuster als zählbare Teilmenge von S vorzustellen , die keine Grenzpunkte hat .

Definition

Um allgemeine Punktprozesse zu definieren, beginnen wir mit einem Wahrscheinlichkeitsraum und einem messbaren Raum, in dem es sich um einen lokal kompakten zweiten zählbaren Hausdorff-Raum und dessen Borel-σ-Algebra handelt . Betrachten Sie nun einen lokal endlichen Kernel mit ganzzahligem Wert von in , dh eine Zuordnung, so dass: ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$ ${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle \ Omega \ times {\ mathcal {S}} \ mapsto \ mathbb {Z} _ {+}}$

Für jeden , ist ein lokal endliches Maß auf . ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ xi (\ omega, \ cdot)}$ ${\ displaystyle S}$
Für jeden , ist eine Zufallsvariable über . ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ xi (\ cdot, B): \ Omega \ mapsto \ mathbb {Z} _ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {+}}$

Dieser Kernel definiert ein Zufallsmaß auf folgende Weise. Wir möchten uns vorstellen, eine Zuordnung zu definieren, die einer Kennzahl (nämlich ) zugeordnet ist, auf der sich die Menge aller lokal endlichen Kennzahlen befindet . Um dieses Mapping messbar zu machen, müssen wir ein Feld über definieren . Diese -field ist als die minimale Algebra so konstruiert, dass alle Bewertungskarten des Formulars , wo ist relativ kompakt , messbar sind. Ausgestattet mit diesem -field, dann ist ein Zufallselement, in dem für jeden , ein lokal endliches Maß ist vorbei . ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ xi _ {\ omega} \ in {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle \ Omega \ mapsto {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ pi _ {B}: \ mu \ mapsto \ mu (B)}$ ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ xi _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle S}$

Nun, bei einem Punkt - Prozess auf wir einfach bedeuten , ein ganzzahlige Zufall Maß (oder äquivalent, ganzzahlwertige kernel) aufgebaut ist, wie oben. Das häufigste Beispiel für den Zustandsraum S ist der euklidische Raum R ⁿ oder eine Teilmenge davon, wobei ein besonders interessanter Sonderfall durch die reelle Halblinie [0, ∞] gegeben ist. Punktprozesse sind jedoch nicht auf diese Beispiele beschränkt und können unter anderem auch verwendet werden, wenn die Punkte selbst kompakte Teilmengen von R ⁿ sind. In diesem Fall wird ξ üblicherweise als Partikelprozess bezeichnet . ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ xi}$

Es wurde festgestellt, dass der Begriff Punktprozess nicht sehr gut ist, wenn S keine Teilmenge der realen Linie ist, da dies darauf hindeuten könnte, dass ξ ein stochastischer Prozess ist . Der Begriff ist jedoch auch im allgemeinen Fall gut etabliert und unbestritten.

Darstellung

Jede Instanz (oder jedes Ereignis) eines Punktprozesses ξ kann als dargestellt werden

{\ displaystyle \ xi = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ delta _ {X_ {i}},}

wobei das Dirac-Maß bezeichnet , n eine ganzzahlige Zufallsvariable ist und zufällige Elemente von S sind . Wenn 's fast sicher verschieden sind (oder gleichwertig, fast sicher für alle ), dann ist der Punktprozess als einfach bekannt . ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle \ xi (x) \ leq 1}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

Eine weitere unterschiedliche , aber nützliche Darstellung eines Ereignisses (ein Ereignis in den Ereignisraum, dh eine Reihe von Punkten) ist die Auszählung Notation, wobei jede Instanz als dargestellt wird Funktion eine kontinuierliche Funktion , die ganzzahlige Werte annimmt: : ${\ displaystyle N (t)}$ ${\ displaystyle N: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {Z} ^ {+}}}$

{\ displaystyle N (t_ {1}, t_ {2}) = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ xi (t) dt}

Dies ist die Anzahl der Ereignisse im Beobachtungsintervall . Es wird manchmal mit und oder gemein bezeichnet . ${\ displaystyle (t_ {1}, t_ {2}]}$ ${\ displaystyle N_ {t_ {1}, t_ {2}}}$ ${\ displaystyle N_ {T}}$ ${\ displaystyle N (T)}$ ${\ displaystyle N_ {0, T}}$

Erwartungsmaßnahme

Das Erwartungsmaß Eξ (auch als mittleres Maß bekannt ) eines Punktprozesses ξ ist ein Maß für S , das jeder Borel-Teilmenge B von S die erwartete Anzahl von Punkten von ξ in B zuweist . Das ist,

{\ displaystyle E \ xi (B): = E {\ bigl (} \ xi (B) {\ bigr)} \ quad {\ text {für jedes}} B \ in {\ mathcal {B}}.}

Laplace funktionsfähig

Die Laplace-Funktion eines Punktprozesses N ist eine Abbildung aus der Menge aller positiv bewerteten Funktionen f im Zustandsraum von N , die wie folgt definiert ist: ${\ displaystyle \ Psi _ {N} (f)}$ ${\ displaystyle [0, \ infty)}$

{\ displaystyle \ Psi _ {N} (f) = E [\ exp (-N (f))]}

Sie spielen eine ähnliche Rolle wie die charakteristischen Funktionen für Zufallsvariablen . Ein wichtiger Satz besagt: Zwei-Punkt-Prozesse haben das gleiche Gesetz, wenn ihre Laplace-Funktionen gleich sind.

Moment messen

Die dritte Potenz eines Punktprozesses wird im Produktraum wie folgt definiert: ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ xi ^ {n},}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$

{\ displaystyle \ xi ^ {n} (A_ {1} \ times \ cdots \ times A_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ xi (A_ {i})}

Durch den Satz der monotonen Klasse definiert dies eindeutig das Produktmaß für Die Erwartung wird als Maß für den dritten Moment bezeichnet . Das erste Momentmaß ist das mittlere Maß. ${\ displaystyle (S ^ {n}, B (S ^ {n})).}$ ${\ displaystyle E \ xi ^ {n} (\ cdot)}$ ${\ displaystyle n}$

Lass . Die Gelenkintensitäten eines Punktprozesses für das Lebesgue-Maß sind Funktionen , die für alle disjunkten begrenzten Borel-Teilmengen gelten ${\ displaystyle S = \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {(k)}: (\ mathbb {R} ^ {d}) ^ {k} \ bis [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {k}}$

{\ displaystyle E \ left (\ prod _ {i} \ xi (B_ {i}) \ right) = \ int _ {B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {k}} \ rho ^ {(k )} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) \, dx_ {1} \ cdots dx_ {k}.}

Gelenkintensitäten existieren für Punktprozesse nicht immer. Angesichts der Tatsache, dass Momente einer Zufallsvariablen in vielen Fällen die Zufallsvariable bestimmen, ist ein ähnliches Ergebnis für Gelenkintensitäten zu erwarten. In der Tat wurde dies in vielen Fällen gezeigt.

Stationarität

Ein Punktprozess wird als stationär bezeichnet, wenn er die gleiche Verteilung wie für alle hat. Bei einem stationären Punktprozess ist das mittlere Maß für eine Konstante und wo steht für das Lebesgue-Maß. Dies wird als Intensität des Punktprozesses bezeichnet. Ein stationärer Punktprozess hat mit ziemlicher Sicherheit entweder 0 oder eine unendliche Anzahl von Punkten insgesamt. Weitere Informationen zu stationären Punktprozessen und Zufallsmessungen finden Sie in Kapitel 12 von Daley & Vere-Jones. Stationarität wurde für Punktprozesse in allgemeineren Räumen als definiert und untersucht . ${\ displaystyle \ xi \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ xi + x: = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ delta _ {X_ {i} + x}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}.}$ ${\ displaystyle E \ xi (\ cdot) = \ lambda \ | \ cdot \ |}$ ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Beispiele für Punktprozesse

Wir werden einige Beispiele für Punktprozesse in sehen ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}.}$

Poisson-Punkt-Prozess

Das einfachste und allgegenwärtigste Beispiel für einen Punktprozess ist der Poisson-Punktprozess , eine räumliche Verallgemeinerung des Poisson-Prozesses . Ein Poisson-Prozess (Zählen) auf der Linie kann durch zwei Eigenschaften charakterisiert werden: Die Anzahl der Punkte (oder Ereignisse) in disjunkten Intervallen ist unabhängig und weist eine Poisson-Verteilung auf . Mit diesen beiden Eigenschaften kann auch ein Poisson-Punkt-Prozess definiert werden. Wir sagen nämlich, dass ein Punktprozess ein Poisson-Punktprozess ist, wenn die folgenden zwei Bedingungen gelten ${\ displaystyle \ xi}$

1) sind unabhängig für disjunkte Teilmengen ${\ displaystyle \ xi (B_ {1}), \ ldots, \ xi (B_ {n})}$ ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}.}$

2) Für jede beschränkte Teilmenge , hat eine Poisson - Verteilung mit dem Parameter , wo die bezeichnet Lebesguemaß . ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ xi (B)}$ ${\ displaystyle \ lambda \ | B \ |,}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

Die beiden Bedingungen können wie folgt kombiniert und geschrieben werden: Für alle disjunkten begrenzten Teilmengen und nicht negativen ganzen Zahlen haben wir das ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$ ${\ displaystyle k_ {1}, \ ldots, k_ {n}}$

{\ displaystyle \ Pr [\ xi (B_ {i}) = k_ {i}, 1 \ leq i \ leq n] = \ prod _ {i} e ^ {- \ lambda \ | B_ {i} \ |} {\ frac {(\ lambda \ | B_ {i} \ |) ^ {k_ {i}}} {k_ {i}!}}.}

Die Konstante wird als Intensität des Poisson-Punkt-Prozesses bezeichnet. Beachten Sie, dass der Poisson-Punktprozess durch den einzelnen Parameter gekennzeichnet ist. Es handelt sich um einen einfachen stationären Punktprozess. Genauer gesagt nennt man den obigen Punktprozess einen homogenen Poisson-Punktprozess. Ein inhomogener Poisson-Prozess wird wie oben definiert, jedoch durch Ersetzen durch wo eine nicht negative Funktion aktiviert ist ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda.}$ ${\ displaystyle \ lambda \ | B \ |}$ ${\ displaystyle {\ stackrel {} {}} \ int _ {B} \ lambda (x) \, dx}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}.}$

Cox-Punkt-Prozess

Ein Cox-Prozess (benannt nach Sir David Cox ) ist eine Verallgemeinerung des Poisson-Punkt-Prozesses, indem wir anstelle von zufällige Maße verwenden . Formeller gesagt, sei ein Zufallsmaß . Ein Cox-Punktprozess, der durch das Zufallsmaß gesteuert wird , ist der Punktprozess mit den folgenden zwei Eigenschaften: ${\ displaystyle \ lambda \ | B \ |}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ xi}$

Gegeben , wird mit dem Parameter Poisson verteilt für jede beschränkte Teilmenge ${\ displaystyle \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ xi (B)}$ ${\ displaystyle \ Lambda (B)}$ ${\ displaystyle B.}$
Für jede endliche Sammlung von disjunkten Teilmengen, die davon abhängig sind, haben wir diese unabhängig. ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$ ${\ displaystyle \ Lambda (B_ {1}), \ ldots, \ Lambda (B_ {n}),}$ ${\ displaystyle \ xi (B_ {1}), \ ldots, \ xi (B_ {n})}$

Es ist leicht zu erkennen, dass Poisson-Punkt-Prozesse (homogen und inhomogen) als Sonderfälle von Cox-Punkt-Prozessen folgen. Das mittlere Maß eines Cox-Punkt-Prozesses ist und somit im Sonderfall eines Poisson-Punkt-Prozesses ${\ displaystyle E \ xi (\ cdot) = E \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ lambda \ | \ cdot \ |.}$

Wird für einen Cox-Punkt-Prozess als Intensitätsmaß bezeichnet . Wenn eine (zufällige) Dichte ( Radon-Nikodym-Derivat ) vorliegt, dh ${\ displaystyle \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ cdot)}$

{\ displaystyle \ Lambda (B) {\ stackrel {\ text {as}} {=}} \ int _ {B} \ lambda (x) \, dx,}

dann heißt das Intensitätsfeld des Cox-Punkt-Prozesses. Die Stationarität der Intensitätsmaße oder Intensitätsfelder impliziert die Stationarität der entsprechenden Cox-Punkt-Prozesse. ${\ displaystyle \ lambda (\ cdot)}$

Es gab viele spezifische Klassen von Cox-Punkt-Prozessen, die im Detail untersucht wurden, wie zum Beispiel:

Log-Gauß-Cox-Punkt-Prozesse: für ein Gauß-Zufallsfeld ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ exp (X (y))}$ ${\ displaystyle X (.)}$
Schussrauschen Cox-Punkt-Prozesse: Für einen Poisson-Punkt-Prozess und einen Kernel ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ sum _ {X \ in \ Phi} h (X, y)}$ ${\ displaystyle \ Phi (\ cdot)}$ ${\ displaystyle h (\ cdot, \ cdot)}$
Verallgemeinertes Schussrauschen Cox-Punktprozesse: für einen Punktprozess und einen Kernel ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ sum _ {X \ in \ Phi} h (X, y)}$ ${\ displaystyle \ Phi (\ cdot)}$ ${\ displaystyle h (.,.)}$
Cox-Punkt-Prozesse auf Lévy-Basis : für eine Lévy-Basis und einen Kernel und ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ int h (x, y) L (dx)}$ ${\ displaystyle L (\ cdot)}$ ${\ displaystyle h (.,.)}$
Permanental Cox Punkt Prozesse: für k unabhängige Gauß'sche Zufallsfelder ‚s ${\ displaystyle \ lambda (y) = X_ {1} ^ {2} (y) + \ cdots + X_ {k} ^ {2} (y)}$ ${\ displaystyle X_ {i} (\ cdot)}$
Sigmoidale Gaußsche Cox-Punkt-Prozesse: für ein Gaußsches Zufallsfeld und zufällig ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ lambda ^ {\ star} / (1+ \ exp (-X (y)))}$ ${\ displaystyle X (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {\ star}> 0}$

Durch Jensens Ungleichung kann überprüft werden, ob Cox-Punkt-Prozesse die folgende Ungleichung erfüllen: für alle begrenzten Borel-Teilmengen , ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle \ operatorname {Var} (\ xi (B)) \ geq \ operatorname {Var} (\ xi _ {\ alpha} (B)),}

Dabei steht für einen Poisson-Punkt-Prozess mit Intensitätsmessung. Daher werden Punkte in einem Cox-Punkt-Prozess im Vergleich zu einem Poisson-Punkt-Prozess variabler verteilt. Dies wird manchmal als Clustering oder attraktive Eigenschaft des Cox-Punkt-Prozesses bezeichnet. ${\ displaystyle \ xi _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha (\ cdot): = E \ xi (\ cdot) = E \ Lambda (\ cdot).}$

Determinantenpunktprozesse

Eine wichtige Klasse von Punktprozessen mit Anwendungen auf Physik , Zufallsmatrixtheorie und Kombinatorik sind determinante Punktprozesse .

Hawkes (selbsterregende) Prozesse

Ein Hawkes-Prozess , auch als selbsterregender Zählprozess bekannt, ist ein einfacher Punktprozess, dessen bedingte Intensität ausgedrückt werden kann als ${\ displaystyle N_ {t}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ lambda (t) & = \ mu (t) + \ int _ {- \ infty} ^ {t} \ nu (ts) dN_ {s} \\ & = \ mu (t) + \ sum _ {T_ {k} <t} \ nu (t-T_ {k}) \ end {array}}}$

Dabei handelt es sich um eine Kernelfunktion, die den positiven Einfluss vergangener Ereignisse auf den aktuellen Wert des Intensitätsprozesses ausdrückt , eine möglicherweise instationäre Funktion ist, die den erwarteten, vorhersagbaren oder deterministischen Teil der Intensität darstellt, und um den Zeitpunkt des Auftretens der i-te Ereignis des Prozesses. ${\ displaystyle \ nu: \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle T_ {i}}$ ${\ displaystyle \ lambda (t)}$ ${\ displaystyle \ mu (t)}$ ${\ displaystyle \ {T_ {i}: T_ {i} <T_ {i + 1} \} \ in \ mathbb {R}}$

Geometrische Prozesse

Bei einer Folge nicht negativer Zufallsvariablen: Wenn sie unabhängig sind und das cdf von gegeben ist für , wobei es sich um eine positive Konstante handelt, wird dies als geometrischer Prozess (GP) bezeichnet. ${\ displaystyle \ {X_ {k}, k = 1,2, \ dots \}}$ ${\ displaystyle X_ {k}}$ ${\ displaystyle F (a ^ {k-1} x)}$ ${\ displaystyle k = 1,2, \ dots}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ {X_ {k}, k = 1,2, \ ldots \}}$

Der geometrische Prozess hat mehrere Erweiterungen, einschließlich des α-Reihenprozesses und des doppelt geometrischen Prozesses .

Punktprozesse auf der realen Halblinie

Historisch gesehen hatten die ersten untersuchten Punktprozesse die reale Halblinie R ₊ = [0, ∞) als ihren Zustandsraum, der in diesem Zusammenhang üblicherweise als Zeit interpretiert wird. Diese Studien wurden durch den Wunsch motiviert, Telekommunikationssysteme zu modellieren, bei denen die Punkte Ereignisse in der Zeit darstellten, wie beispielsweise Anrufe an eine Telefonzentrale.

Punktprozesse auf R ₊ werden typischerweise beschrieben, indem die Folge ihrer (zufälligen) Zwischenereigniszeiten ( T ₁ , T ₂ , ...) angegeben wird, aus denen die tatsächliche Folge ( X ₁ , X ₂ , ...) von Ereigniszeiten können als erhalten werden

{\ displaystyle X_ {k} = \ sum _ {j = 1} ^ {k} T_ {j} \ quad {\ text {for}} k \ geq 1.}

Wenn die Zwischenereigniszeiten unabhängig und identisch verteilt sind, wird der erhaltene Punktprozess als Erneuerungsprozess bezeichnet .

Intensität eines Punktprozesses

Die Intensität λ ( t | H _t ) eines Punktprozesses auf der realen Halblinie in Bezug auf eine Filtration H _t ist definiert als

{\ displaystyle \ lambda (t \ mid H_ {t}) = \ lim _ {\ Delta t \ bis 0} {\ frac {1} {\ Delta t}} \ Pr ({\ text {Ein Ereignis tritt in der auf Zeitintervall}} \, [t, t + \ Delta t] \ mid H_ {t}),}

H _t kann den Verlauf von Ereignispunktzeiten vor dem Zeitpunkt t bezeichnen , kann aber auch anderen Filtrationen entsprechen (zum Beispiel im Fall eines Cox-Prozesses).

In der -Notation kann dies in einer kompakteren Form geschrieben werden : . ${\ displaystyle N (t)}$ ${\ displaystyle \ lambda (t \ mid H_ {t}) = \ lim _ {\ Delta t \ bis 0} {\ frac {1} {\ Delta t}} \ Pr (N (t + \ Delta t) -N (t) = 1 \ mid H_ {t})}$

Der Kompensator eines Punktprozesses, auch als doppelt vorhersagbare Projektion bekannt , ist die integrierte bedingte Intensitätsfunktion, die durch definiert ist

${\ displaystyle \ Lambda ^ {} (s _ {}, u) = \ int _ {s} ^ {u} \ lambda ^ {} (t | H_ {t}) \ mathrm {d} t}$

Punktprozesse in der räumlichen Statistik

Die Analyse von Punktmusterdaten in einer kompakten Teilmenge S von R ⁿ ist ein Hauptuntersuchungsobjekt innerhalb der räumlichen Statistik . Solche Daten erscheinen in einem breiten Spektrum von Disziplinen, darunter

Forstwirtschaft und Pflanzenökologie (Positionen von Bäumen oder Pflanzen im Allgemeinen)
Epidemiologie (Heimatorte infizierter Patienten)
Zoologie (Höhlen oder Nester von Tieren)
Geographie (Positionen menschlicher Siedlungen, Städte)
Seismologie (Epizentren von Erdbeben)
Materialwissenschaft (Positionen von Defekten in Industriematerialien)
Astronomie (Standorte von Sternen oder Galaxien)
Computational Neuroscience (Spitzen von Neuronen).

Die Notwendigkeit, Punktprozesse zur Modellierung dieser Art von Daten zu verwenden, liegt in ihrer inhärenten räumlichen Struktur. Dementsprechend ist eine erste interessante Frage häufig, ob die gegebenen Daten eine vollständige räumliche Zufälligkeit aufweisen (dh eine Realisierung eines räumlichen Poisson-Prozesses sind ), anstatt entweder eine räumliche Aggregation oder eine räumliche Hemmung aufzuweisen.

Im Gegensatz dazu bestehen viele Datensätze, die in der klassischen multivariaten Statistik berücksichtigt werden, aus unabhängig generierten Datenpunkten, die von einer oder mehreren Kovariaten (normalerweise nicht räumlich) gesteuert werden können.

Neben den Anwendungen in der Raumstatistik sind Punktprozesse eines der grundlegenden Objekte in der stochastischen Geometrie . Die Forschung hat sich auch intensiv auf verschiedene Modelle konzentriert, die auf Punktprozessen wie Voronoi-Tessellationen, zufälligen geometrischen Graphen, Booleschen Modellen usw. basieren.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

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