Produktkategorie - Product category

"Produkt von Kategorien" leitet hier weiter. Informationen zur Operation an Objekten einer Kategorie finden Sie unter Produkt (Kategorietheorie) .

Im mathematischen Bereich der Kategorietheorie ist das Produkt zweier Kategorien C und D , das als C × D bezeichnet und als Produktkategorie bezeichnet wird, eine Erweiterung des Konzepts des kartesischen Produkts zweier Mengen . Produktkategorien werden verwendet, um Bifunktoren und Multifunktoren zu definieren .

Definition

Die Produktkategorie C × D hat:

  • als Objekte :
    Objektpaare ( A , B ) , wobei A ein Objekt von C und B von D ist ;
  • als Pfeile von ( A 1 , B 1 ) bis ( A 2 , B 2 ) :
    Pfeilpaare ( f , g ) , wobei f  : A 1 → A 2 ein Pfeil von C und g  : B 1 → B 2 ein Pfeil von D ist ;
  • als Zusammensetzung komponentenweise Zusammensetzung aus den beitragenden Kategorien:
    ( f 2 , g 2 ) o ( f 1 , g 1 ) = ( f 2 o f 1 , g 2 o g 1 ) ;
  • als Identitäten Identitätspaare aus den beitragenden Kategorien:
    1 ( A , B ) = (1 A , 1 B ).

Beziehung zu anderen kategorialen Konzepten

Für kleine Kategorien entspricht dies der Aktion für Objekte des kategorialen Produkts in der Kategorie Cat . Ein Funktor, dessen Domain eine Produktkategorie ist, wird als Bifunktor bezeichnet . Ein wichtiges Beispiel ist der Hom-Funktor , der das Gegenteil einer Kategorie mit der ursprünglichen Kategorie als Domäne aufweist:

Hom: C op × C → Einstellen .

Verallgemeinerung auf mehrere Argumente

So wie das binäre kartesische Produkt leicht auf ein n- kartesisches Produkt verallgemeinert werden kann, kann das binäre Produkt zweier Kategorien völlig analog auf ein Produkt aus n Kategorien verallgemeinert werden . Die Produktoperation für Kategorien ist bis zum Isomorphismus kommutativ und assoziativ , und daher bringt diese Verallgemeinerung aus theoretischer Sicht nichts Neues.

Verweise

  • Definition 1.6.5 in Borceux, Francis (1994). Handbuch der kategorialen Algebra . Enzyklopädie der Mathematik und ihrer Anwendungen 50-51, 53 [dh 52]. Band 1. Cambridge University Press. p. 22 . ISBN 0-521-44178-1.
  • Produktkategorie in nLab
  • Mac Lane, Saunders (1978). Kategorien für den Arbeitsmathematiker (2. Aufl.). New York, NY: Springer New York. S. 49–51. ISBN 1441931236. OCLC  851741862 .