Home-Funktor - Hom functor

In der Mathematik , speziell in der Kategorientheorie , führen Hom-Mengen , dh Mengen von Morphismen zwischen Objekten, zu wichtigen Funktoren zur Kategorie der Mengen . Diese Funktoren werden Hom-Funktoren genannt und haben zahlreiche Anwendungen in der Kategorientheorie und anderen Zweigen der Mathematik.

Formale Definition

Sei C eine lokal kleine Kategorie (dh eine Kategorie, für die hom-Klassen tatsächlich Mengen und keine echten Klassen sind ).

Für alle Objekte A und B in C definieren wir zwei Funktoren zur Kategorie der Mengen wie folgt:

Der Funktor Hom(–, B ) wird auch Punktfunktor des Objekts B genannt .

Beachten Sie, dass die Fixierung des ersten Arguments von Hom natürlich zu einem kovarianten Funktor führt und die Fixierung des zweiten Arguments natürlich einen kontravarianten Funktor ergibt. Dies ist ein Artefakt der Art und Weise, wie man die Morphismen zusammensetzen muss.

Das Funktorpaar Hom( A ,–) und Hom(–, B ) sind auf natürliche Weise verwandt . Für jedes Morphismenpaar f  : B → B ′ und h  : A ′ → A kommutiert das folgende Diagramm :

Beide Wege senden g  : A → B an f  ∘  g  ∘  h  : A ′ → B ′.

Die Kommutativität des obigen Diagramms impliziert, dass Hom(–,–) ein Bifunktor von C × C nach Set ist, der im ersten Argument kontravariant und im zweiten kovariant ist. Äquivalent können wir sagen, dass Hom(–,–) ein kovarianter Bifunktor ist

Hom(–,–) : C ^op × C → Set

wobei C ^op die entgegengesetzte Kategorie zu C ist . Die Notation Hom _C (–,–) wird manchmal für Hom(–,–) verwendet, um die Kategorie hervorzuheben, die das Gebiet bildet.

Yonedas Lemma

Mit Bezug auf das obige kommutative Diagramm beobachtet man, dass jeder Morphismus

h  : A ′ → A

führt zu einer natürlichen Transformation

Hom( h ,–) : Hom( A ,–) → Hom( A ′,–)

und jeder Morphismus

f  : B → B ′

führt zu einer natürlichen Transformation

Hom(–, f ) : Hom(–, B ) → Hom(–, B ′)

Das Lemma von Yoneda impliziert, dass jede natürliche Transformation zwischen Hom-Funktoren diese Form hat. Mit anderen Worten, die Hom-Funktoren führen zu einer vollständigen und getreuen Einbettung der Kategorie C in die Funktor-Kategorie Menge ^{C op} (kovariant oder kontravariant, je nachdem, welcher Hom-Funktor verwendet wird).

Interner Hom-Funktor

Einige Kategorien können einen Funktor besitzen, der sich wie ein Hom-Funktor verhält, aber Werte in der Kategorie C selbst und nicht in Set annimmt . Ein solcher Funktor wird als interner Hom-Funktor bezeichnet und oft geschrieben als

${\displaystyle \left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C}$

um seinen produktähnlichen Charakter zu betonen, oder als

${\displaystyle \Rightarrow :C^{\text{op}}\times C\to C}$

um seinen funktionalen Charakter zu betonen, oder manchmal nur in Kleinbuchstaben:

${\displaystyle \operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.}$Beispiele finden Sie in der Kategorie der Beziehungen .

Kategorien, die einen internen Hom-Funktor besitzen, werden als geschlossene Kategorien bezeichnet . Das hat man

${\displaystyle \operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)}$,

wobei I das Einheitsobjekt der geschlossenen Kategorie ist. Für den Fall einer geschlossenen monooidalen Kategorie erstreckt sich dies auf den Begriff des Currys , nämlich dass

${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)}$

Dabei ist ein Bifunktor , der interne Produktfunktor , der eine monoide Kategorie definiert . Der Isomorphismus ist sowohl in X als auch in Z natürlich . Mit anderen Worten, in einer geschlossenen monooidalen Kategorie ist der interne Hom-Funktor ein adjungierter Funktor zum internen Produkt-Funktor. Das Objekt wird als internes Hom bezeichnet . Wenn das kartesische Produkt ist , wird das Objekt als exponentielles Objekt bezeichnet und oft als geschrieben . ${\displaystyle \otimes}$${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$${\displaystyle \otimes}$ ${\displaystyle \times}$${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$${\displaystyle Z^{Y}}$

Interne Homs bilden, wenn sie miteinander verkettet sind, eine Sprache, die als interne Sprache der Kategorie bezeichnet wird. Die bekanntesten davon sind einfach typisierter Lambda-Kalkül , der die interne Sprache der kartesischen geschlossenen Kategorien ist , und das lineare Typsystem , der die interne Sprache der geschlossenen symmetrischen monoiden Kategorien ist .

Eigenschaften

Beachten Sie, dass ein Funktor der Form

Hom(–, A) : C ^op → Set

ist eine Pregarbe ; ebenso ist Hom(A, –) eine Kopregarbe.

Ein Funktor F  : C → Menge , der für ein A in C von Natur aus isomorph zu Hom(A, –) ist, heißt darstellbarer Funktor (oder darstellbare Kopresheaf); ebenso könnte ein kontravarianter Funktor, der zu Hom(–, A) äquivalent ist, als kerndarstellbar bezeichnet werden.

Beachten Sie, dass Hom(–, –) : C ^op × C → Set ein Profunctor ist , und zwar der Identitäts-Profunctor . ${\displaystyle \operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C}$

Der interne Hom-Funktor bewahrt Grenzen ; das heißt, sendet Grenzen an Grenzen, während Grenzen in , dh colimits , in Grenzen gesendet werden . In gewissem Sinne kann dies als Definition eines Limits oder Colimits verstanden werden. ${\displaystyle \operatorname {hom} (X,-):C\to C}$${\displaystyle \operatorname {hom} (-,X):C^{\text{op}}\to C}$${\displaystyle C^{\text{op}}}$${\displaystyle C}$

Andere Eigenschaften

Wenn A eine ist abelschen Gruppe und A ein Objekt von A , dann Hom _A ( A -) ist ein kovarianten links genaue Funktors von A zu der Kategorie Ab der abelschen Gruppen . Es ist genau , wenn und nur wenn A ist projektive .

Lassen R a sein Ring und M ein links R - Modul . Der Funktor Hom _R ( M , -): Mod - R → Ab Recht adjoint zum Tensorprodukt Funktors - _R M: Ab → Mod - R . ${\displaystyle \otimes}$

Siehe auch

• Externer Funktor
• Funktorkategorie
• Darstellbarer Funktor

Anmerkungen

Verweise

• Mac Lane, Saunders (September 1998). Kategorien für den arbeitenden Mathematiker (Zweite Aufl.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, die kategoriale Analyse der Logik (überarbeitete Hrsg.). Dover-Publikationen . ISBN 978-0-486-45026-1. Abgerufen 2009-11-25 .
• Jacobson, Nathan (2009). Grundlegende Algebra . 2 (2. Aufl.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

Externe Links

• Hom-Funktor in nLab
• Internes Home in nLab